无穷级数第一节常数项级数

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1、第 一 节 常 数 项 级 数 一 常 数 项 级 数 的 概 念 及 基 本 性 质1 常 数 项 级 数 的 概 念 引 例 1. 用 圆 内 接 正 多 边 形 面 积 逼 近 圆 面 积 .依 次 作 圆 内 接 正 ),2,1,0(23 nn 边 形 , 这 个 和 逼 近 于 圆 的 面 积 A .0a 1a 2a na 设 a0 表 示,时n即 naaaaA 210内 接 正 三 角 形 面 积 , ak 表 示 边 数增 加 时 增 加 的 面 积 , 则 圆 内 接 正边 形 面 积 为n23 引 例 2.小 球 从 1 米 高 处 自 由 落 下 , 每 次 跳 起 的 高

2、 度 减少 一 半 , 问 小 球 是 否 会 在 某 时 刻 停 止 运 动 ? 说 明 道 理 .由 自 由 落 体 运 动 方 程 2g21 ts 知 g2st 则 小 球 运 动 的 总 时 间 为1tT 22t 32t g2 1 212 2)2( 1 设 tk 表 示 第 k 次 小 球 落 地 的 时 间 , 第 k 次 小 球 跳 起 的高 度 为 112k 米 ， 因 此 12 .2k kt g 定 义 ： 给 定 一 个 数 列 , 321 nuuuu 将 各 项 依,1n nu 即1n nu nuuuu 321称 上 式 为 无 穷 级 数 ， 其 中 第 n 项 nu 叫

3、 做 级 数 的 一 般 项 ,级 数 的 前 n 项 和 nk kn uS 1称 为 级 数 的 部 分 和 . nuuuu 321次 相 加 , 简 记 为 ,lim 存 在若 SSnn 收 敛 , 则 称 无 穷 级 数并 称 S 为 级 数 的 和 , 记 作 1n nuS当 级 数 收 敛 时 , 称 差 值 21 nnnn uuSSr为 级 数 的 余 项 . ,lim 不 存 在若 nn S 则 称 无 穷 级 数 发 散 .显 然 0lim nn r 例 1. 讨 论 等 比 级 数 (又 称 几 何 级 数 ) )0(20 aqaqaqaaqa nn n ( q 称 为 公

4、比 ) 的 敛 散 性 . 解 : 1) 若 ,1q 12 nn qaqaqaaS qaqa n 1时 ，当 1q ,0lim nn q由 于 从 而 qaSnn 1lim因 此 级 数 收 敛 , ;1 qa,1时当 q ,lim nn q由 于 从 而 ,lim nn S则 部 分 和因 此 级 数 发 散 . 其 和 为 2). 若 ,1q ,1时当 q anSn 因 此 级 数 发 散 ;,1时当 q aaaaa n 1)1(因 此 nS n 为 奇 数n 为 偶 数从 而 nn Slim综 合 1)、 2)可 知 , 1q 时 , 等 比 级 数 收 敛 ;1q 时 , 等 比 级

5、数 发 散 .则 ,级 数 成 为,a,0不 存 在 , 因 此 级 数 发 散 . 此 时qaaqn n 10 如 果 级 数11n n n131211是 发 散 的 。解例 2. 说 明 调 和 级 数 :11k k 是 收 敛 的 ， 则,lim SSnn ,lim 2 SS nn ,0)(lim 2 nnn SS但 nn SS 2 nnnn 12111 12,0)(lim 2 nnn SS所 以 ， 级 数 11k k 是 发 散 的 例 3. 判 别 下 列 级 数 的 敛 散 性 : .)1( 1)2( ;1ln)1( 11 nn nnnn解 : (1) 12lnnS nn ln)

6、1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n ） n(所 以 级 数 (1) 发 散 ; 技 巧 :利 用 “ 拆 项 相 消 ” 求和23ln 34ln nn 1ln (2) )1(1431321211 nnSn 211 111 n ） n(1所 以 级 数 (2) 收 敛 , 其 和 为 1 . 3121 4131 111 nn技 巧 :利 用 “ 拆 项 相 消 ” 求和 .)1( 1)2( 1 n nn 例 4. 判 别 级 数 2 211lnn n 的 敛 散 性 .解 : 211ln n 22 1ln nn nnn ln2)1ln()1ln( 22 11ln kS nk

7、n 2ln21ln3ln 3ln22ln4ln ln2)1ln()1ln( nnn 5ln4ln23ln 2ln nn ln)1ln( 2ln)1ln( 1 n,2lnlim nn S 故 原 级 数 收 敛 , 其 和 为 .2ln 2 无 穷 级 数 的 基 本 性 质 性 质 1 若 级 数 1n nu 收 敛 于 S , ,1 n nuS 则 各 项乘 以 常 数 c 所 得 级 数 1n nuc 也 收 敛 ,证 : 令 ,1 nk kn uS 则 nk kn uc1 ,nScnn lim Sc这 说 明 1n nuc 收 敛 , 其 和 为 c S . nn Sc lim说 明 :

8、 级 数 各 项 乘 以 非 零 常 数 后 其 敛 散 性 不 变 .即 其 和 为 c S .即 11 n nn n cuuc 性 质 2 设 有 两 个 收 敛 级 数,1 n nuS 1n nv则 级 数 )(1 nn n vu 也 收 敛 , 其 和 为 .S证 : 令 ,1 nk kn uS ,1 nk kn v 则)(1 knk kn vu nnS )( nS 这 说 明 级 数 )(1 nn n vu 也 收 敛 , 其 和 为 .S即 111 )(n nnn nn n vuvu 说 明 :(2) 若 两 级 数 中 一 个 收 敛 一 个 发 散 , 则 )(1 nn n v

9、u 必 发 散 . 但 若 二 级 数 都 发 散 , )(1 nn n vu 不 一 定 发 散 .例 如 , ,)1( 2nnu 取 ,)1( 12 nnv0 nn vu而(1) 性 质 2 表 明 收 敛 级 数 可 逐 项 相 加 或 减 .(用 反 证 法 可 证 ) 例 5 判 别 下 列 级 数 的 敛 散 性 ， 如 果 收 敛 ， 求 其 和 1 )2 )1(32()1( n n nn )232()2( 1 nn nn 解 （ 1） 因 为 11 2 )1(,32 n n nn n 均 收 敛 ， 所 以 1 )2 )1(32(n n nn收 敛 ， 且 1 )2 )1(32

10、(n n nn 1 1)31(32n n 1 1)21(21n n311132 211 121 32（ 2） 因 为 132n nn 收 敛 ， 12n n 发 散 ， )232(1 nn nn 发 散 。 性 质 3. 在 级 数 前 面 加 上 或 去 掉 有 限 项 , 不 会 影 响 级数 的 敛 散 性 .证 : 将 级 数 1n nu 的 前 k 项 去 掉 , 1n nku的 部 分 和 为 nl lkn u1 knk SS nkn S 与,时由 于 n数 敛 散 性 相 同 . 当 级 数 收 敛 时 , 其 和 的 关 系 为 .kSS 类 似 可 证 前 面 加 上 有 限

11、 项 的 情 况 .极 限 状 况 相 同 , 故 新 旧 两 级所 得 新 级 数 性 质 4. 收 敛 级 数 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 仍 收 敛 于 原 级数 的 和 .证 : 设 收 敛 级 数 ,1 n nuS 若 按 某 一 规 律 加 括 弧 , )()( 54321 uuuuu则 新 级 数 的 部 分 和 序 列 ),2,1( mm 为 原 级 数 部 分 和序 列 ),2,1( nSn 的 一 个 子 序 列 ,nnmm S limlim S推 论 : 若 加 括 弧 后 的 级 数 发 散 , 则 原 级 数 必 发 散 .注 意 : 收 敛 级 数 去 括

12、弧 后 所 成 的 级 数 不 一 定 收 敛 .,0)11()11( 但 1111 发 散 .因 此 必 有例 如 ， 用 反 证 法 可 证例 如 例 6.判 断 级 数 的 敛 散 性 : 141141131131121121解 : 考 虑 加 括 号 后 的 级 数 )()()( 141141131131121121 1111 nnan 21n nn a 2 发 散 , 从 而 原 级 数 发 散 .nn 12 1 设 收 敛 级 数 ,1 n nuS 则 必 有 .0lim nn u证 : 1 nnn SSu 1limlimlim nnnnnn SSu 0 SS可 见 : 若 级 数

13、 的 一 般 项 不 趋 于 0 , 则 级 数 必 发 散 .性 质 5. 收 敛 级 数 的 必 要 条 件注 意 : 0lim nn u 并 非 级 数 收 敛 的 充 分 条 件 .例 如 , 调 和 级 数 nnn 13121111虽 然 ，01limlim nu nnn 但 此 级 数 发 散 . 例 7.说 明 下 列 级 数 是 发 散 的 1 92)1( n nn 11)2( n n nn 1 23 )1()3( n nn n ;!)4( 1n nnnne解 92 nnun（ 1） ),(21 n 所 以 原 级 数 是 发 散 的（ 2） nn nnu 1 ),( n 所

14、以 原 级 数 是 发 散 的（ 3） 2622 nnu n ,31 56 1212 nnu n ,31 级 数 是 发 散 （ 4） nnuu 1 nne )1( 1 ),2,1(1 n11 )1( !)1( nnn ne nnnne !,!nnn nneu 111 )1()1( nnnn e故 011 uuu nn 从 而 ,0lim nn u 这 说 明 级 数 (1) 发 散 . 二 正 项 级 数 及 其 判 敛 法若 ,0nu 1n nu基 本 定 理 1n nu 收 敛 的 充 要 条 件 是 部 分 和nS ),2,1( n 有 界 .若 1n nu 收 敛 , ,收 敛则 n

15、S,0nu 部 分 和 数 列 nS nS 有 界 , 故 nS 1n nu从 而又 已 知 故 有 界 .则 称 为 正 项 级 数 . 单 调 递 增 , 收 敛 , 也 收 敛 .证 : “ ”“ ”正 项 级 数序 列 ,Zn ,nn vku 都 有定 理 2 (比 较 审 敛 法 ) 设 ,1n nu 1n nv且 存 在 ,ZN 对 一 切 ,Nn 有(1) 若 级 数 1n nv 则 级 数 1n nu(2) 若 级 数 1n nu 则 级 数 1n nv证 :设 对 一 切 和令 nS n则 有 收 敛 , 也 收 敛 ;发 散 , 也 发 散 .分 别 表 示 级 数 nn

16、vku 是 两 个 正 项 级 数 , (常 数 k 0 ),因 在 级 数 前 加 、 减 有 限 项 不 改 变 其 敛 散 性 , 故 不 妨部 分 和 , 则 有,1n nu 1n nv (1) 若 级 数 1n nv 则 有 nn lim因 此 对 一 切 ,Zn 有 nS由 定 理 1 可 知 , 1n nu则 有(2) 若 级 数 1n nu ,lim nn S因 此 ,lim nn 这 说 明 级 数 1n nv 也 发 散 .knS nk 也 收 敛 .发 散 ,收 敛 ,级 数 pppp n14131211 ).0( p例 8. 讨 论 p-级 数的 收 敛 性解 : 1)

17、 若 ,1p 因 为 对 一 切 ,Zn而 调 和 级 数 1 1n n 由 比 较 审 敛 法 可 知 p 级 数 1 1n pnn1发 散 . 发 散 ,pn1 ,1p 因 为 当 nxn 1 ,11 pp xn 故 nn pp xnn 1 d11 nn p xx1 d1 11 1)1( 111 pp nnp考 虑 级 数 112 1)1( 1 ppn nn 的 部 分 和n 111 )1( 11 ppnk kk n故 级 数 时 , 1)1( 11 pn 11111 )1( 113121211 ppppp nn 12) 若p 级 数 收 敛 . 112 1)1( 1 ppn nn 收 敛

18、 , 由 比 较 审 敛 法 知 发 散时当 收 敛时当级 数 ,1 ,111 ppnp n p重 要 参 考 级 数 : 几 何 级 数 , p-级 数 , 调 和 级 数 .1 5tan)1( n n 1 4 12)2( n nn 1 10 41)3( n n dxxx 1 0 4 411)4( n n dxx例 9. 判 别 下 列 级 数 的 敛 散 性 解 nn 55tan (1) 而 11n n 发 散 , 所 以 原 级 数 发 散 (2) 12 4 nn 442 nn n 231n1 231n n 收 敛 ， 所 以 1 4 12n nn 收 敛 .(3) n dxxx10 4

19、1 n dxx10 23132n1 231n n 收 敛 ， 所 以 1 10 41n n dxxx 收 敛 .(4) n dxx0 4 411 n xdx0 1 22n 1 21n n 所 以 原 级 数 收 敛 收 敛 例 10. 判 别 下 列 级 数 的 敛 散 性2 ln1)1( n nn 2 2ln1)2( n nn解 (1) 当 )1, nnx 时 ， xxnn ln1ln1 nnln1 1 ln1nn dxnn 1 ln1nn dxxx nn lnln)1ln(ln 则 级 数 2 )lnln)1ln(lnn nnn 2lnln3lnln nn lnln)1ln(ln 2lnl

20、n)1ln(ln n )( n发 散 ，所 以 级 数 2 ln1n nn 发 散 . (2) ,1( nnx 时 ， )2(ln1ln1 22 nxxnnnn 2ln1 nn dxnn1 2ln1 nn dxxx1 2ln1 nn ln1)1ln( 1 对 于 级 数 ,ln1)1ln( 13 n nn 由 于n 3ln12ln1 4ln13ln1 nn ln1)1ln(1 nln12ln1 )(2ln1 n则 收 敛 ， 所 以 级 数 2 2ln1n nn 收 敛 . 定 理 3. (比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 ),1n nu 1n nv ,lim lvunnn 则 有两 个

21、 级 数 同 时 收 敛 或 发 散 ;(2) 当 l = 0 ,1 收 敛 时且 n nv ;1 也 收 敛n nu(3) 当 l = ,1 发 散 时且 n nv .1 也 发 散n nu证 : 据 极 限 定 义 , ,0对 ,ZN存 在lvunn )( l 设 两 正 项 级 数满 足(1) 当 0 l 时 , ,时当 Nn nnn vluvl )()( ,l取 由 定 理 2 可 知 与1n nu 1n nv同 时 收 敛 或 同 时 发 散 ; )( Nn),()( Nnvlu nn 利 用(3) 当 l = 时 , ,ZN存 在 ,时当 Nn ,1nnvu 即nn vu 由 定

22、理 2可 知 , 若 1n nv 发 散 , ;1 也 收 敛则 n nu(1) 当 0 l 时 ,(2) 当 l = 0时 , 由 定 理 2 知1n nv 收 敛 , 若 .1 也 发 散则 n nu 特 别 取 ,1pn nv 推 论 （ 极 限 判 别 法 ） 设 1n nu 为 正 项 级 数 ，)(lim 或lun npn如 果 ,0,1 lp 则 级 数 1n nu 收 敛 ；如 果 ,0,1 lp 则 级 数 1n nu 发 散 ； 例 11 判 别 下 列 级 数 的 敛 散 性nn 1sin)1( 1 1 4 12)2( n nn 1 2)21ln()3( n n 2 1)

23、4( n n nn解 (1) nlim n n1sin nnn 1lim 1 1sinn n1根 据 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 知 .1sin1 发 散n n(2) 12lim 423 nnnn 22根 据 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 知 1 4 12n nn 收 敛 (3) nlim 2n 211ln n )11ln( 2n 21n22 1lim nnn 1根 据 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 知 .11ln1 2 收 敛 n n(4) nnnn 1lim )1(lim ln1 nnn en 1ln nne nnlnnnnn lnlim nnn lnlim

24、 0根 据 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 知 .12 收 敛 n n nn23n 例 12 判 别 级 数 )0(1 11 aan n 的 敛 散 性 .解 当 10 a 时 nn a 1 1lim ,1当 1a 时 ， nn a 1 1lim 21当 10 a 时 11 1n na 发 散 ，当 1a 时 ， nnn aa 1 1lim ,1 1 1n na 收 敛根 据 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 知 .1 12 收 敛 n na nnn uu 1lim由定 理 4 . 比 值 审 敛 法 ( Dalembert 判 别 法 )设 nu 为 正 项 级 数 , 且 ,

25、lim 1 nnn uu 则(1) 当 1(2) 当 1证 : (1) ,1时当 11 nnuunn uu )(1 12)( nu 1)( NNn u ,1 使取收 敛 , .收 敛 nu时 , 级 数 收 敛 ;或 时 , 级 数 发 散 .,ZN知 存 在 ,时当 Nnk)( 由 比 较 审 敛 法 可 知 ,1 时或 ,0, NuZN必 存 在,11 nnuu ,0lim Nnn uu因 此 所 以 级 数 发 散 . Nn当时 (2) 当 nn uu 1 1 nu Nu1lim 1 nnn uu说 明 : 当 时 ,级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .例 如 , p 级 数

26、:11n pn nnn uu 1lim p pnnn 1 )1( 1lim 1但 ,1p 级 数 收 敛 ;,1p 级 数 发 散 .从 而 注 意 (1) 当 1 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;,11 发 散级 数例 如 n n ,11 2 收 敛级 数 n n )1( 条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 . (2) ,2 )1(211 收 敛级 数例 如 n n nn nu ,)1(2(2 )1(2 11 nnnnn auu 但 ,61lim 2 nn a,23lim 12 nn a .limlim 1 不 存 在nnnnn auu (3) 在 判 别 收 敛 时 ， 求 极 限

27、 过 程 不 可 缺 ，而 11 nnuu 发 散1n nu事 实 上 11 nnuu nn uu 1 01 u0lim nn u 1 !n nnn 110!n nn 1 2)12( 1n nn例 13 判 别 下 列 级 数 的 收 敛 性 :(1) (2) (3)解 (1) nnuu 1 n nnnnn !)1( )!1( 1 nn)11( 1nlim nlim nlim e1 1所 以 1 !n nnn 收 敛 . )3( nnuu 1 ,1比 值 审 敛 法 失 效 , 改 用 比 较 审 敛 法2 1 1lim ,(2 1) 2 4n n n n .)12(2 11 收 敛故 级 数

28、 n nn )22()12( 2)12( nn nnnlim nlim(2) nnuu 1 nnnn10!10 )!1( 1 101 n )9(1 n所 以 发 散110!n nn lim n )0(1 1 xxnn n 的 敛 散 性 .解 : nnn uu 1lim nxn )1( 1nxn x根 据 定 理 4可 知 :,10 时当 x 级 数 收 敛 ;,1时当 x 级 数 发 散 ; .1 发 散级 数 n n,1时当 x例 14. 讨 论 级 数 对 任 意 给 定 的 正 数 ,lim n nn u定 理 5. 根 值 审 敛 法 ( Cauchy判 别 法 ) 设 1n nu

29、为 正,lim n nn u 则 ;,1)1( 级 数 收 敛时当 .,1)2( 级 数 发 散时当 证 明 提 示 : ,ZN存 在 n nu 有时当 ,Nn即 nnn u )()( 分 别 利 用 上 述 不 等 式 的 左 ,右 部 分 , 可 推 出 结 论 正 确 .,)1( 1 11 1项 级 数 , 且 例 15. 证 明 级 数 1 1n nn 收 敛 于 S ,近 似 代 替 和 S 时 所 产 生 的 误 差 . 解 : n nn n nu 1 n1 )(0 n由 定 理 5可 知 该 级 数 收 敛 .令 ,nn SSr 则 所 求 误 差 为 21 )2( 1)1( 1

30、0 nnn nnr 21 )1( 1)1( 1 nn nn 1)1( 1 nn nnn )1( 1111 1 n 并 估 计 以 部 分 和 Sn 三 任 意 项 级 数 则 各 项 符 号 正 负 相 间 的 级 数 nn uuuu 1321 )1(称 为 交 错 级 数 .定 理 6 . ( Leibnitz 判 别 法 ) 若 交 错 级 数 满 足 条 件 :则 级 数 ;),2,1()1 1 nuu nn ,0lim)2 nn u nn n u 1 1)1( 收 敛 , 且 其 和 ,1uS 其 余 项 满 足.1 nn ur ,2,1,0 nun设1 交 错 级 数 证 : )()

31、()( 21243212 nnn uuuuuuS )()()( 1222543212 nnn uuuuuuuS 1u是 单 调 递 增 有 界 数 列 ,nS2 12lim uSS nn 又 )(limlim 12212 nnnnn uSS nn S2lim故 级 数 收 敛 于 S, 且 ,1uS :的 余 项nS 0nu2 nn SSr )( 21 nn uu 21 nnn uur 1 nu故 S 例 16 判 别 级 数 2 1)1()2( n nn n的 收 敛 性 . 1 1)1()1( n nn解 (1) nun 1 ,11 1 nun 且 ,0lim nn u 所 以11n n

32、收 敛 .(2) 2)1(2 )1()1( xx xx x )2(0 x,1单 调 递 减故 函 数 x x ,1 nn uu1limlim n nu nnn又 .0 原 级 数 收 敛 . 2、 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 定 义 : 对 任 意 项 级 数 ,1n nu 若若 原 级 数 收 敛 , 但 取 绝 对 值 以 后 的 级 数 发 散 , 则 称 原 级 1 11)1(n n n ,!)1( 1)1(1 1 n n n 1 110)1(n nn n1n nu 收 敛 ,1n nu数 1n nu 为 条 件 收 敛 . 均 为 绝 对 收 敛 .例 如 ： 绝 对 收 敛

33、 ； 则 称 原 级数 条 件 收 敛 . 证 : 设 1n nunv ),2,1( n根 据 比 较 审 敛 法显 然 ,0nv 1n nv 收 敛 ,收 敛12n nvnnn uvu 2 ,1n nu1n nu 也 收 敛 )(21 nn uu 且 nv ,nu收 敛 , 令定 理 7. 绝 对 收 敛 的 级 数 一 定 收 敛 . 例 17 判 别 下 列 级 数 敛 散 性 ， 如 果 收 敛 指 出 是 条 件收 敛 ， 还 是 绝 对 收 敛 。1 2sin)1( n nnx 1 1 3tan)1()2( n n n 1 114 )1()3( n nn n 2 )1()1()4(

34、 n nn n解 (1) |sin| 2nnx ,12n1 21n n 收 敛 ,所 以 1 2sinn nnx 收 敛 且 绝 对 收 敛 。 (2) |3tan)1(| 1 nn ,3tan nnnn 3tanlim ,3所 以 1 1 |3tan)1(|n n n 发 散 ，而 n3tan ,)1(3tan n且 ,03tanlim nn 1 1 3tan)1(n n n 条 件 收 敛 1 1 3tan)1()2( n n n (3) 41|14 )1(|lim 1 n nn ,0 1 114 )1(n nn n 发 散 .(4) |)1()1(| nn n ,1 n n)1(lim nn nn )1(lim ln nnn en nnnn lnlim 所 以2|( 1) ( 1)|n nn n 发 散 ， 令 ,1)( 1 xxxf)ln1()( 21 x xxxf x )(0 ex11 1 1( 3),n nn n n 而 ,0)1(lim nn n 所 以 2 )1()1(n nn n 收 敛 且 条 件 收 敛 。