第4章5孤立奇点

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1、5 孤立孤立奇点奇点若若若若在在在在处处处处不不不不解析解析解析解析,但是在但是在但是在但是在的一个的一个的一个的一个去心邻域去心邻域去心邻域去心邻域内内内内解析解析,则则则则称为称为称为称为的的的的孤立孤立奇点奇点奇点奇点.若若若若在在在在内内内内解析解析,则则则则称为称为称为称为的的的的孤立孤立奇点奇点奇点奇点.例如例如例如例如的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点:存在存在存在存在正数正数正数正数使使使使的奇点的奇点的奇点的奇点:原点原点原点原点 和和和和负实轴负实轴负实轴负实轴上的上的上的上的 所有点，所有点，所有点，所有点，不是不是的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点1孤立奇点

2、的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类:在在在在内的内的内的内的 洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数负负幂项幂项幂项幂项，有有有有无穷无穷多个多个多个多个为为为为的的的的本性本性奇点奇点奇点奇点负负幂项幂项幂项幂项，没有没有为为为为的的的的可去可去奇点奇点奇点奇点有有有有有限有限多个多个多个多个负负幂项幂项幂项幂项，为为为为的的的的极极点点点点在在在在内的内的内的内的 洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数正正幂项幂项幂项幂项，有有有有无穷无穷多个多个多个多个为为为为的的的的本性本性奇点奇点奇点奇点正正幂项幂项幂项幂项，没有没有为为为为的的的的可去可去奇点奇点奇点奇点有有有有有限有限多个多个

3、多个多个正正幂项幂项幂项幂项，为为为为的的的的极极点点点点定理定理定理定理存在，存在，存在，存在，为为为为的的的的可去可去奇点奇点奇点奇点为为为为的的的的极极点点点点不存在，不存在，不存在，不存在，不为不为不为不为为为为为的的的的本性本性奇点奇点奇点奇点设设设设2证明证明证明证明不不存在，存在，存在，存在，不不为为为为证证证证当当当当时时时时当当当当时时时时动点动点动点动点沿实轴沿实轴沿实轴沿实轴 趋于趋于趋于趋于动点动点动点动点沿正虚轴沿正虚轴沿正虚轴沿正虚轴 趋于趋于趋于趋于结论正确结论正确结论正确结论正确是是是是本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点3不存在，不存在，不存在，不存在，不为不为不

4、为不为因为因为因为因为所以所以所以所以本性本性奇点奇点一、一、一、一、若若在在在在内内内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数负负幂项幂项幂项幂项，有有有有无穷无穷多个多个多个多个则则为为为为的的的的本性本性奇点。奇点。奇点。奇点。例如例如例如例如是它的是它的是它的是它的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点.重要结论重要结论重要结论重要结论 的的的的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点为为为为本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点若若在在在在内内内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数正正幂项幂项幂项幂项，有有有有无穷无穷多个多个多个多个则则为为为为的的的的本性本性奇点奇点奇点奇点例如例如例如例如是

5、是是是的奇点的奇点的奇点的奇点本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点,是它的是它的是它的是它的4可去可去奇点奇点二、二、二、二、若若在在在在内内内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数负负幂项幂项幂项幂项，没有没有则则为为为为的的的的可去可去奇点。奇点。奇点。奇点。例如例如例如例如是是是是可去可去奇点奇点奇点奇点是是是是可去可去奇点奇点奇点奇点是是是是可去可去奇点奇点奇点奇点或或或或若若若若存在，存在，存在，存在，则则则则为为为为的的的的可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点5如果如果在在在在内内内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数正正幂项幂项幂项幂项，没有没有则则为为为为的的的的可去可去奇点

6、奇点奇点奇点.例如例如的的的的可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点是是是是8686页页页页1515(6)(6)的孤立奇点为的孤立奇点为的孤立奇点为的孤立奇点为其中其中其中其中为为为为本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点为为为为可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点或或或或若若若若存在，存在，存在，存在，则则则则为为为为的的的的可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点6(13)(13)本性本性奇点。奇点。奇点。奇点。是它的是它的是它的是它的可去可去奇点奇点奇点奇点.是它的是它的是它的是它的7(9)(9)是它的是它的是它的是它的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点.是它的是它的是它的是它的可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点.

7、(12)(12)是它的是它的是它的是它的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点.是它的是它的是它的是它的 极极极极点点点点不是它的不是它的不是它的不是它的孤立孤立孤立孤立奇点奇点奇点奇点.(7)(7)的的的的孤立孤立孤立孤立奇点奇点奇点奇点:都是它的都是它的都是它的都是它的 本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点.8极点极点三、三、三、三、若若在在在在内内内内的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数的洛朗级数负负幂项幂项幂项幂项，有有有有有限有限多个多个多个多个则则为为为为的的的的极点极点例如例如例如例如的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点:当当当当时时时时是它的是它的是它的是它的极点极点.为为的的极极点点9极

8、点极点极点极点的阶的阶的阶的阶即即即即如果如果如果如果的最高幂为的最高幂为的最高幂为的最高幂为则则则则称为称为称为称为的的的的mm阶阶阶阶极点极点极点极点其中其中其中其中中括号里的幂级数中括号里的幂级数中括号里的幂级数中括号里的幂级数收敛收敛收敛收敛,其和函数其和函数其和函数其和函数在在在在解析解析解析解析,且且且且综上所述综上所述综上所述综上所述 如果如果如果如果是是是是的的的的mm阶阶阶阶极点极点极点极点,则存在函数则存在函数则存在函数则存在函数在在在在解析解析解析解析,且且且且使使使使洛朗级数中洛朗级数中洛朗级数中洛朗级数中 关于关于关于关于在在在在某个邻域内某个邻域内某个邻域内某个邻域

9、内反过来也正确反过来也正确反过来也正确反过来也正确10定理定理定理定理是是的的m阶阶极点极点存在函数存在函数存在函数存在函数在在在在解析解析解析解析,且且且且使使使使推论推论推论推论如果函数如果函数在在解析解析,且且则则 是是的的m阶阶极点极点例如例如例如例如有有有有五阶五阶五阶五阶极点极点极点极点有有有有一阶一阶一阶一阶极点极点极点极点三阶三阶三阶三阶极点极点极点极点有有有有二阶二阶二阶二阶极点极点极点极点四阶四阶四阶四阶极点极点极点极点有有有有二阶二阶二阶二阶极点极点极点极点一阶一阶一阶一阶极点极点极点极点11阶数的运算阶数的运算阶数的运算阶数的运算设设为为的的m阶阶零点零点、的的n阶阶零

10、点零点则则为为的的m+n阶阶零点零点,为为的的(m-n)阶阶为为的的可去可去奇点奇点,处解析处解析,在在零点零点,为为极点极点,的的(n-m)阶阶例如例如的奇点的奇点的奇点的奇点它的它的它的它的是是是是其中其中其中其中它的它的它的它的本性本性本性本性奇点奇点奇点奇点.是是是是?阶阶阶阶极点极点极点极点,二二二二阶阶阶阶极点极点极点极点,12例例例例1 1函数函数函数函数如果是极点如果是极点如果是极点如果是极点,指出它的阶指出它的阶指出它的阶指出它的阶.在扩充平面内在扩充平面内在扩充平面内在扩充平面内有什么类型的奇点？有什么类型的奇点？有什么类型的奇点？有什么类型的奇点？解解解解在扩充平面内的所

11、有奇点为在扩充平面内的所有奇点为在扩充平面内的所有奇点为在扩充平面内的所有奇点为所以所以所以所以是是是是的的的的二二二二阶阶阶阶极极极极点点点点是是是是的的的的可去可去可去可去奇点奇点奇点奇点是是是是的的的的三三三三阶阶阶阶极极极极点点点点的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点的孤立奇点.不是不是不是不是是是是是的的的的一一一一阶零点阶零点阶零点阶零点是是是是的的的的三三三三阶零点阶零点阶零点阶零点是是是是的的的的三三三三阶零点阶零点阶零点阶零点其中其中其中其中13例例例例2 2下列函数有什么奇点？下列函数有什么奇点？下列函数有什么奇点？下列函数有什么奇点？如果是极点如果是极点如果是极点如果是极点,指

12、出它的阶指出它的阶指出它的阶指出它的阶.在在在在上上上上的奇点的奇点的奇点的奇点是它的是它的是它的是它的二二二二阶极点阶极点阶极点阶极点是它的是它的是它的是它的一一一一阶极点阶极点阶极点阶极点不是不是不是不是其中其中其中其中它的孤立奇点它的孤立奇点它的孤立奇点它的孤立奇点.的奇点的奇点的奇点的奇点:其中其中其中其中是它的是它的是它的是它的一一一一阶极点阶极点阶极点阶极点为整数为整数为整数为整数不是不是不是不是 它的孤立奇点它的孤立奇点它的孤立奇点它的孤立奇点.14的奇点的奇点的奇点的奇点是原函数的是原函数的是原函数的是原函数的三三三三阶极点阶极点阶极点阶极点是原函数的是原函数的是原函数的是原函数的一一一一阶极点阶极点阶极点阶极点不是不是不是不是 它的孤立奇点它的孤立奇点它的孤立奇点它的孤立奇点.15(n(n为正整数为正整数为正整数为正整数)解解解解是它的是它的是它的是它的一一一一阶极点阶极点阶极点阶极点在在在在内内内内解析解析解析解析,为为为为的的的的孤立孤立孤立孤立奇点奇点奇点奇点.8383页第页第页第页第3 3行定理行定理行定理行定理4.254.25为为为为的的的的mm阶阶阶阶极点极点极点极点在在在在的的的的正幂项正幂项正幂项正幂项部分部分部分部分为为为为为为为为的的的的n n阶阶阶阶极点极点极点极点16作业作业86页习题页习题415单数单数17