高等数学wjfxx

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1、 1 4 “微 积 分 是 人 类 思 维 的 伟 大 成 果 之 一 这 门 学 课 乃 是 一 种 撼 人 心 灵 的 智 力 、奋 斗 的 结 晶 ” Courant “何 等 动 人 的 一 页 又 一 页 篇 章 ！ 这 些 是 人 类思 维 的 花 朵 。 这 些 是 空 谷 幽 兰 、 高 寒 杜 鹃 、老 林 中 的 人 参 、 冰 山 上 的 雪 莲 、 绝 顶 上 的灵 芝 、 抽 象 思 维 的 牡 丹 ”摘 自 徐 迟 散 文 哥 德 巴 赫 猜 想 从 某 种 意 义 上 说 , 态 度 决 定 学 习 的 结 果 00 0 00 0lim 0; lim ( ) (

2、); lim ( ) ( )x x x xy f x x f x f x f x 1.内 涵 （ 本 质 属 性 ） ：直 观 理 解 ： 当 自 变 量 变 化 很 小 时 ， 函 数 值 的 变 化 也 很 小 ；精 确 刻 画 ： 0 0( )y f x x f x2.几 何 意 义 ： 曲 线 在 点 （ , ( )） 处 “ 不 间 断 ”物 理 意 义 ：自 然 界 的 各 类 渐 变 现 象 。 sin 0 tan 21, 0, 01, 0 xy x y x xxxy xx 3.外 延 （ 对 象 总 和 ） ：适 例 ： 初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 内 任 一 点

3、处 均 连 续 ；反 例 ： 在 处 ； 在 处 ；在 处 00 0(1) : ( ) , lim ( ) ( );(2) ;(3) x xf x x f x f x 4.应 用 ：提 供 了 求 极 限 的 一 种 重 要 方 法 若 在 处 连 续 则以 后 讨 论 函 数 的 可 导 性 、 可 积 性 的 基 础给 出 了 函 数 有 最 大 值 、 最 小 值 及 函 数 有 零 点 的 重 要 依 据 .0 0 0 0:( ) ; ( ) ( ) ( )sin( ) 0 ;( ) 0 , .f x x f x x f x x f x xxf x xxg x x x 5.相 关 概

4、念 的 比 较在 处 有 极 限 在 处 连 续 ; 在 处 可 导 ; 在 处 可 微 .典 型 例 子 在 处 有 极 限 但 不 连 续在 处 连 续 但 不 可 导 也 不 可 微 0 00 0:( ) ; ( )( ) ( )sin( ) 0 ;( ) 0 , .f x x f x xf x x f x xxf x xxg x x x 5.相 关 概 念 的 比 较在 处 有 极 限 在 处 连 续 ;在 处 可 导 ; 在 处 可 微 .典 型 例 子 : 在 处 有 极 限 但 不 连 续在 处 连 续 但 不 可 导 也 不 可 微 22 22 26. , :, 1(1) (

5、) , ;, 1 31(2) ( ) , ( ) ;3 21 ln(1 ), 0(3) ( ) 0 , _., 0 x xf x x xxxf x f xx x x xf x x ax x a x 加 深 对 概 念 理 解 的 简 单 练 习 题 如研 究 的 连 续 性 并 画 出 函 数 图 形设 讨 论 的 间 断 点 及 其 类 型设 在 处 连 续 则 以 闭 区 间 a, b上 的 连 续 函 数 的 性 质 为 例 ， 定 理 的 条 件 是 什 么 ？ 是 充 分 条 件 ， 必 要 条 件还 是 充 要 条 件 ？ 定 理 解 决 了 什 么 问 题 ？ 有 哪 些 重 要

6、 应 用 ？ 从 几 何 上 看 ， 如 何 解 释 定 理 的 条 件 和 结 论 ？能 否 找 一 个 物 理 现 象 （ 比 如 温 度 随 时 间 变化 的 函 数 ） 来 说 明 定 理 ？ 如 何 利 用 零 点 定 理 来 证 明 根 的 存 在 性 （ 要 证明 哪 些 要 点 ） ？ 如 果 要 证 明 根 的 唯 一 性 ， 还 要添 加 什 么 条 件 ？ 如 果 要 证 明 f(x)=0 在 开 区 间 内有 根 ， 如 何 适 当 改 变 定 理 的 条 件 ？边做题，边思考这些问题 以 求 极 限 的 方 法 为 例 ， 基 本 方 法 为 以 下 几 种 ： 极

7、限 的 四 则 运 算 法 则 和 变 量 代 换 法 则 ， 利 用 两 个 重 要 极 限 ， 等 价 无 穷 小 的 替 换 ， 洛 必 达 法 则 （ 即 将 学 ） ， 对 递 推 公 式 给 出 的 数 列 用 单 调 有 界 收 敛 准 则 ， 对 某 些 极 限 用 夹 逼 准 则 求在做题时，注意总结规律 1( )1. , ( ) 0,sin ( )lim 1; lim(1 ( )( ) f xx xx f xf x f x ef x 由 重 要 极 限 到 重 要 极 限 模 式 :若 时 则 有 ( ) 22. :, ( ) 0, :( ) sin ( ) tan ( ) arcsin ( )arctan ( ) 1; ( )(1 ( ) 1 ( ) , 1 cos ( ) 2f xx f xf x f x f x f xf x e f xf x f x f x 由 重 要 的 等 价 无 穷 小 到 重 要 的 等 价 无 穷 小 模 式若 时 则 有