微分中值定理与导数的应用第四节

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1、第 四 节 函 数 的 单 调 性 与 曲 线 的 凹 凸 性一 、 函 数 单 调 性 的 判 定 法 函 数 的 单 调 性 与 导 数 符 号 的 关 系观 察 与 思 考 ：函 数 单 调 增 加 函 数 单 调 减 少 函 数 的 单 调 性 与 导 数 的 符 号 有 什 么 关 系 ？ 0)( xf 0)( xf 函 数 单 调 增 加 时 导 数 大 于 零 ， 函 数 单 调 减 少 时 导 数小 于 零 。 0)( xf 0)( xf函 数 的 单 调 性 与 导 数 符 号 的 关 系观 察 结 果 ： 函 数 单 调 减 少函 数 单 调 增 加 xyo )(xfy x

2、yo )(xfy 0)( xf 0)( xf定 理 .),(,)( 内 可 导上 连 续 ， 在在设 函 数 babaxfy 上 单 调 增 加 ；在 ， 那 末 函 数内如 果 在）（ , )(0)(),(1 ba xfyxfba ., )(0)(),()2( 上 单 调 减 少在 ， 那 末 函 数内如 果 在ba xfyxfba 证 ),(, 21 baxx ,21 xx 且 应 用 拉 格 朗 日 定 理 ,得)()()()( 211212 xxxxfxfxf ,012 xx ,0)(),( xfba 内 ，若 在 ,0)( f则).()( 12 xfxf ；上 单 调 增 加在 ,)

3、( baxfy ,0)(),( xfba 内 ，若 在 ,0)( f则).()( 12 xfxf .,)( 上 单 调 减 少在 baxfy 例 1解 .ln 的 单 调 性讨 论 函 数 xy .1e xy ,)0,( 内在 ,0y 函 数 单 调 减 少 ；,),0( 内在 ,0y .函 数 单 调 增 加 ).,(: D定 义 域又 例 2 .1e 的 单 调 性讨 论 函 数 xy xxy 1 ,0 .)(ln 单 调 增 加严 格在 定 义 域 内所 以 xy 解 例 3解 .)( 3 2 的 单 调 性确 定 函 数 xxf ).,(: D )0(,3 2)( 3 xxxf .,0

4、 导 数 不 存 在时当 x 时 ，当 0 x ,0)( xf 上 单 调 增 加 ；在 ),0 时 ，当 x0 ,0)( xf 上 单 调 减 少 ；在 0,( 3 2xy 例 4解 .312 92)( 23的 单 调 区 间确 定 函 数 x xxxf ).,(: D 12186)( 2 xxxf ，)2)(1(6 xx得 ，解 方 程 0)( xf .2,1 21 xx时 ，当 1 x ,0)( xf 上 单 调 增 加 ；在 1,(时 ，当 21 x ,0)( xf 上 单 调 减 少 ；在 2,1时 ，当 x2 ,0)( xf 上 单 调 增 加 ；在 ),2 例 4解 .312 9

5、2)( 23的 单 调 区 间确 定 函 数 x xxxf ).,(: D 12186)( 2 xxxf ，)2)(1(6 xx得 ，解 方 程 0)( xf .2,1 21 xx也 可 用 列 表 的 方 式 ，x 1,( 2,1 ),2 y y . ,)(内 导 数 的 符 号 然 后 判 断 区 间的 定 义 区 间数 分 函用 驻 点 及 不 可 导 点 来 划xf导 数 等 于 零 的 点 和 不 可 导 点 ， 可 能是 单 调 区 间 的 分 界 点 方 法 :注 意 : 区 间 内 个 别 点 导 数 为 零 ,不 影 响 区间 的 单 调 性 .例 如 , ,3xy .),(

6、 上 严 格 单 调 增 加但 在 ,03 2 xy y2 O 24224 x y=x3 驻 点 ,0)0( y 例 5证 .)1ln(,0 成 立试 证时当 xxx ),1ln()( xxxf 设 .1)( xxxf 则 ,0)( ,),0(,),0)( xfxf 且上 可 导在上 连 续在 上 单 调 增 加 ；在 ),0 ,0)0( f而 时 ，当 0 x,0)( xf ).1ln( xx 即 利 用 函 数 的 单 调 性 证 明 不 等 式 ，)0()( fxf .)10( ,11e 2 xxxx证 明 不 等 式 ,10 原 不 等 式 等 价 于 x )1()e(1)( 2 xx

7、xf x 设 1)e2(1)( 2 xxxf .0,1)( 内 单 调 减 少在xf(0,1)0,)0()( xfxf .)(0,1 单 调 减 少时 ，当 xfx ,0(0)(0,1) fxfx 时 ，当 即 原 式 成 立 。0e4)( 2 xxxf 例 6证 0)1()e(1 2 xx x 有 且 只 有 一 个 实 根 。证 明 方 程 0arctan4 xx ，设 xxxf arctan4)( .1)1( ,4)0( ff .)( 至 少 有 一 个 零 点函 数 xf.)( 至 多 有 一 个 零 点xf .)( 单 调 增 加xf01 11)( 2 xxf又由 连 续 函 数 的

8、 零 点 存 在 定 理 知 ，有 且 只 有 一 个 实 根 。0)( xf 利 用 函 数 的 单 调 性 讨 论 方 程 的 根 。例 7证 小 结单 调 性 的 判 别 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 定 理 的重 要 应 用 .定 理 中 的 区 间 换 成 其 它 有 限 或 无 限 区 间 ，结 论 仍 然 成 立 .应 用 ： 利 用 函 数 的 单 调 性 可 以 确 定 某 些 方程 实 根 的 个 数 和 证 明 不 等 式 . 问 题 :如 何 研 究 曲 线 的 弯 曲 方 向 ?二 、 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 xyo NA BM 观 察 与 思 考 ：函

9、 数 曲 线 除 了 有 上 升 和 下 降 外 ， 还 有 什 么 特 点 ？ 定 义 一 如 果 在 某 区 间 内 ， 曲 线 弧 位 于 其 上 任 意 一点 的 切 线 的 上 方 ， 则 称 曲 线 在 这 个 区 间 内 是 凹 的 ； 如 果在 某 区 间 内 ， 曲 线 弧 位 于 其 上 任 意 一 点 的 切 线 的 下 方 ，则 称 曲 线 在 这 个 区 间 内 是 凸 的 。曲 线 凹 向 的 定 义凹 的 凸 的 设 函 数 )(xf 在 , ba 上 连 续 ， 在 ),( ba 内 可 导 . 若 对 ),( ba 中 任 一 点 0 x ,有 ,)()()(

10、)( 000 xxxfxfxf ,),( bax 0 xx 则 称 函 数 曲 线 在 , ba 上 是 上 (下 )凹 的 曲 线 凹 向 的 定 义凹 的 凸 的 xyo )(xfy 图 形 上 任 意 弧 段 位 于所 张 弦 的 上 方 ： 凸 的xyo )(xfy1x 2x图 形 上 任 意 弧 段 位 于所 张 弦 的 下 方 ： 凹 的2 21 xx 2 21 xx )2( 21 xxf )2( 21 xxf 2 )()( 21 xfxf 2 )()( 21 xfxf 1x 2x ;),()( ,2 )()()2(, ),(,),()( 212121 内 的 图 形 是 凹 的在

11、那 末 称 恒 有两 点 内 任 意如 果 对内 连 续在设 baxf xfxfxxfxx babaxf ;),()( ,2 )()()2( ,),( 2121 21内 的 图 形 是 凸 的在那 末 称 恒 有内 任 意 两 点如 果 对 baxf xfxfxxf xxba 定 义 二 xyo 1x 2x)(xfy xyo 1x 2x)(xfy 观 察 与 思 考 ： 曲 线 的 凹 向 与 函 数 的 导 数 的 单 调 性 有 什 么 关 系 ？拐 点凹 的 凸 的当 曲 线 是 凹 的 时 ， f (x)单 调 增 加 。当 曲 线 是 凸 的 时 ， f (x)单 调 减 少 。曲

12、线 凹 向 的 判 定曲 线 上 凹 与 下 凹 的 分 界 点 称 为 曲 线 的 拐 点 。 设 函 数 )(xf 在 , ba 上 连 续 ， 在 ),( ba 内 二 阶 可 导 . xyo )(xfy xyo )(xfya bA B递 增)(xf a bBA0y 递 减)(xf 0y定 理 (1) 如 果 ,0)( xf ,),( bax 则 曲 线 )(xfy 在 , ba 上 是 凹 的 ； (2) 如 果 ,0)( xf ,),( bax 则 曲 线 )(xfy 在 , ba 上 是 凸 的 ； 例 8 .3 的 凹 凸 性判 断 曲 线 xy 解 ,3 2xy ,6xy 时

13、，当 0 x ,0y 为 凸 的 ；在曲 线 0,( 时 ，当 0 x ,0y 为 凹 的 ；在曲 线 ),0 .)0,0( 是 曲 线 的 拐 点点 x yO 3xy 例 9 .143 34 的 凹 凸 区 间 及 拐 点求 曲 线 xxy解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令 .32,0 21 xx得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0上 凹 下 凹 上 凹拐 点 拐 点)1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹 凸 区 间 为 例 10解拐 点 的 求 法 ：1.找 出 二 阶 导 数 为 零

14、的 点 或 不 可 导 点 ；2. 若 它 两 边 的 二 阶 导 数 值 异 号 ,则 为 拐 点 ,若 同 号 则 不 是 拐 点 .3 的 拐 点求 曲 线 xy ,0时当 x ,31 32 xy ,92 35 xy .,0 均 不 存 在是 不 可 导 点 yyx ,0,)0,( y内但 在 ,0,),0( y内在 .)0,0( 3 的 拐 点是 曲 线点 xy 例 11 .32 的 拐 点求 曲 线 xy 解 当 0 x 和 当 0 x 时 ,均 有 0y , ，3132 xy ，3494 xy .,0 均 不 存 在是 不 可 导 点 yyx 故 )0,0( 不 是 拐 点 . n

15、nn yxyx )2()(21 )1,0,0( nyxyx 作 函 数 nttf )( , ),0( t , 因 为 1n ,所 以 0)1( 2 ntnny , 即 )(tf 在 ),0( 内 是 凹 的 , 由 凹 性 定 义 , 任 取 ),0(, yx , yx ,有 即 nnn yxyx )2()(21 . 利 用 函 数 图 形 的 凹 凸 性 ,证 明 不 等 式 例 12证 ，)2(2 )()( yxfyfxf 练 习 ：P151 习 题 3-43.(1)(4)(5)(7) 4.(1)(4) 7.(1)(4) 8.(1)(4) 9.(3) 10. 2 1 1 22112O x y.33 的 单 调 区 间确 定 函 数 xxy xxy 33 解 ： f (x)3x233(x1)(x1)。 当 x(, 1)时 ， f (x)0，函 数 f(x)在 (, 1)内 单 调 增 加 ； 当 x(1, 1)时 ， f (x)0，函 数 f(x)在 (1, )内 单 调 增 加 。