微分法在几何上的应用

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1、二 、 曲 面 的 切 平 面 与 法 线一 、 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面三 、 小 结 、 思 考 题四 、 作 业第 六 节 、 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 ( )( ) ( ), (1)( )x ty t tz t oz yx一 、 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 0M0 0 0( , , )M x x y y z z M设 空 间 曲 线 的 参 数 方 程其 中 ( ) ( ) ( )t t t 、 、 在 , 上 可 导 。设 在 上 取 一 点 0 0 0 0( , , )M x y z（ 对 应 于 参 数 0 )t t 及 邻

2、 近 一 点0 ).t t t （ 对 应 于 参 数 zzzyyyxxx 000 tt t上 式 分 母 同 除 以 ,t M M割 线 的 方 程 为MM ,000 zzzyyyxxx 当 M 沿 趋 于 M 时 ， 割 线的 极 限 位 置M M MT 称 为 曲线 在 点 M 处 的 切 线 。 Toz yx ,0, 时即当 tMM 0 0 00 0 0( ) ( ) ( ).x x y y z zt t t 切 向 量 ： 切 线 的 方 向 向 量 称 为 曲 线 的 切 向 量 . 0 0 0( ), ( ), ( ) ,T t t t 0 0 0 0 0 0( )( ) ( )

3、( ) ( )( ) 0t x x t y y t z z 曲 线 在 处 的 切 线 方 程M法 平 面 ： M点 且 与 切 线 垂 直 的 平 面 。过 tt t ,000 zzzyyyxxx ( ), ( ), ( )x t y t z t 解 当 0t 时 ， 0,x ,costex t ,sincos2 tty ,3 3tez ,1)0( x ,2)0( y ,3)0( z切 线 方 程 01x 法 平 面 方 程 1 ( 0)x .0832 zyx即例 1 求 曲 线 : 0 cos ,t ux e udu ty sin2cos ,t tez 31 在 0t 处 的 切 线 和

4、法 平 面 方 程 。 1,y 2,z 12y 2,3z2 ( 1)y 3 ( 2) 0,z 1. 空 间 曲 线 方 程 为 ,)( )( xz xy ,),( 000 处在 zyxM 0 0 00 01 ( ) ( ),x x y y z zx x 0 0 0 0 0( ) ( )( ) ( 0.( ) )x x x y y x z z 法 平 面 方 程 为特 殊 地 ： 则 取 x为 参 数 ，即 它 可 以 表 示 为 参 数 方 程 ( ) ,( )x xy xz x 切 线 方 程 为 2. 空 间 ( , , ) 0, (2)( , , ) 0F x y zG x y z 曲

5、线 方 程 为为),( 000 zyxM 上 的 一 点 ， ,F G 是 属 于 (1)C 类 的 函 数 ,( , ) 0,( , ) MF Gy z 且 则 方 程 组 （ 2） 在 点 ),( 000 zyxM 的 某 邻 域 内 确 定 了一 组 函 数 ( ), ( ).y x z x 于 是0 ( , )( , )( ) ,( , )( , ) MMF Gz xx F Gy z 0 ( , )( , )( ) ,( , )( , ) MMF Gx yx F Gy z 0 ( , )( , )( ) ,( , )( , ) MMF Gz xx F Gy z 0 ( , )( , )

6、( ) ,( , )( , ) MMF Gx yx F Gy z 切 线 方 程 为 0 0 0 ,( , ) ( , ) ( , )( , ) , ) ( , )M M Mx x y y z zF G F G F Gy z z x x y 法 平 面 方 程 为0 0 0( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( ) 0.( , ) ( , ) ( , )M M MF G F G F Gx x y y z zy z z x x y 0 01, ( ), ( )T x x 是 曲 线 在 点 M处 的 切 向 量 。T也 可 以 取 为( , ) ( , ) ( , ), ,( ,

7、) ( , ) ( , )M M MF G F G F GT y z z x x y x y zx y z Mi j kF F FG G G 例 2 求 曲 线 在 点处 的 切 线 及 法 平 面 方 程 。 2 2 22 2 22 3 9 ,3x y zz x y (1, 1,2)解 设 2 2 2( , , ) 2 3 9,F x y z x y z 2 2 2( , , ) 3 ,G x y z z x y 4 ,xF x在 点 (1, 1, 2) 处 切 向 量 为 6 ,xG x(1, 1,2)4 6 26 2 2i j kT x y zx y z 4 6 46 2 4i j k

8、4(8,10,7),6 ,yF y 2 ,zF z 2 ,yG y 2 ,zG z 所 求 切 线 方 程 为1 1 2,8 10 7x y z 法 平 面 方 程 为8( 1) 10( 1) 7( 2) 0,x y z 8 10 7 12 0 x y z 4(8,10,7)T (1, 1,2)点即 例3求球面与锥面所截出的曲线在点处的切线与法平面方程。解 将 所 给 方 程 组 两 边 对 x 求 导 并 移 项 得2 2 2 ,yy zz x 2 2 2 22 2 2 2x z y zy x z y z ,xy 3 ,4My 2 2 2 22 2 2 2y x y zz y x y z 0

9、,Mz 2 2 2yy zz x 0, 从 而 T 3 ,4My 0,Mz (3,4,5)M所 求 切 线 方 程 为3 4 5,4 3 0 x y z 所 求 法 平 面 方 程 为4( 3) ( 3)( 4) 0( 5) 0,x y z 即 4 3 0.x y 31, ,04 1 (4, 3,0),4 ( , , ) 0,F x y z 一 点 ， ( ): ( ), ( )x ty t tz t 二 、 曲 面 的 切 平 面 与 法 线设 曲 面 方 程 为通 过 点 的 曲 线M0 0 0( , , )M x y z 为 曲 面 上上 任 取 一 条在 曲 面并 设 ( , , )F

10、 x y z 的 偏导 数 在 该 点 连 续 且 不 同 时 为零 . O yz x M O yz x M 它 们 在 点 M 处 的 切 线 都 在事 实 上 ， ( ), ( ), ( ) 0,F t t t 0t t 对 应 于 ,M 且 0 0 0( ), ( ), ( )t t t 不 全 为 零 ， 0 0 0( ), ( ), ( ) .T t t t 处 的 切 向 量则 曲 线 M在因 为 曲 线 完 全 在 曲 面 上 ，因 ( , , )F x y z 在 点 0 0 0( , , )M x y z处 有 连 续 偏 导 数 ，0 0 0( ), ( ), ( )t t

11、 t 存 在 ，所 以 且 T在 曲 面 上 通 过 点 M且 在 点 M处 具 有 切 线 的 任 何曲 线 ，同 一 平 面 上 。 n 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ), ( , , ), ( , , )x y zn F x y z F x y z F x y z令 则 ,n T 由 于 曲 线 是 曲 面 上 通 过 M 的 任 意 一 条曲 线 ，曲 面 上 通 过 M 的 一 切 曲 线 在 点 M 的 切 线 都 在 同 一平 面 上 ， 切 平 面 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) (

12、 ) 0 x y zF x y z t F x y z t F x y z t M 的 切 线 都 与 同 一 向 量 垂 直 ，它 们 在 nM的这 个 平 面 称 为 曲 面 在 点 故所 以 上 式 左 边 的 复 合 函 数 在于 是 0( ), ( ), ( ) 0,t td F t t tdt 即 有 0t t 时 有 全 导 数 ， ( ), ( ), ( ) 0,F t t t 法 线 方 程 为 ),(),(),( 000 0000 0000 0 zyxF zzzyxF yyzyxF xx zyx 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ), ( , , ), ( ,

13、, )x y zn F x y z F x y z F x y z垂 直 于 曲 面 上 切 平 面 的 向 量 称 为 曲 面 的 通 过 点 ),( 000 zyxM 而 垂 直 于 切 平 面 的 直 线称 为 曲 面 在 该 点 的 法 线 . 法 向 量 .曲 面 在 处 的 法 向 量 为M0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( )x yF x y z x x F x y z y y 0 0 0 0( , , )( ) 0zF x y z z z 切 平 面 方 程 为 特 殊 地 ： 空 间 曲 面 方 程 形 为 ),( yxfz 0 0 0 0

14、0 0 0 x yf ( x ,y )( x x ) f ( x ,y )( y y ) z z , 0 0 00 0 0 0 1x yx x y y z z .f ( x ,y ) f ( x ,y ) ,),(),( zyxfzyxF 令曲 面 在 处 的 切 平 面 方 程 为M曲 面 在 处 的 法 线 方 程 为M )(,()(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切 平 面 上点 的 竖 坐标 的 增 量全 微 分 的 几 何 意 义因 为 曲 面 z = f (x, y) 在 M 处 的 切 平 面 方 程 为),( yxfz 在 ),( 00 yx 的 全 微

15、分 ， 表 示在 点),( yxfz ),( 000 zyx 处 的曲 面切 平 面 上 的 点 的 竖 坐 标 的 增 量 .函 数 在 点 的 全 微 分0 0( , )x y( , )z f x y ,1cos 22 yx x fff ,1cos 22 yx y fff .1 1cos 22 yx ff ),( 00 yxff xx ),( 00 yxff yy 其 中 若 、 、 表 示 曲 面 的 法 向 量 的 方 向 角 ，并 假 定 法 向 量 的 方 向 是 向 上 的 ，轴 的 正 向 所 成 的 角 是 锐 角 ，方 向 余弦 为 z即 使 得 它 与则 法 向 量 的

16、解 2 2 2( , , ) 2 3 6,F x y z x y z (1,1,1) (1,1,1)(2 , 4 ,6 )n x y z (2, 4,6),切 平 面 方 程 为 2( 1) 4( 1) 6( 1) 0,x y z 2 3 6 0,x y z 法 线 方 程 为 1 1 1.1 2 3x y z 例 4 在 点切 平 面 及 法 线 方 程 。求 椭 球 面 2 2 22 3 6x y z (1,1,1) 处 的令 例 5 求 曲 面 4 32 3z x y 在 点 (1,1,5) 处 的 切 平 面 和法 线 方 程 。解 3 8 ,xz x (1,1) 8,xz (1,1)

17、 9,yz 29 ,yz y (8,9, 1),n 切 平 面 方 程 为8( 1) 9( 1) ( 1)( 5) 0,x y z 8 9 12 0.x y z 法 线 方 程 为 1 1 5.8 9 1x y z 解 ,32),( xyezzyxF z(1,2,0) (1,2,0)2xF y (1,2,0)(1,2,0) 2yF x (1,2,0) (1,2,0)1 zzF e 令切 平 面 方 程法 线 方 程 ,0)0(0)2(2)1(4 zyx ,042 yx .001 221 zyx例 6 求 曲 面 32 xyez z 在 点 )0,2,1(切 平 面 及 法 线 方 程 . 处

18、的4, 2,0, 解 设 为 曲 面 上 的 切 点 ,),( 000 zyx切 平 面 方 程 为 0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx依 题 意 ， 切 平 面 方 程 平 行 于 已 知 平 面 ， 得,664412 000 zyx .2 000 zyx 例 7 求 曲 面 2132 222 zyx 平 行 于 平 面064 zyx 的 各 切 平 面 方 程 . 因 为 是 曲 面 上 的 切 点 ，),( 000 zyx ,10 x所 求 切 点 为满 足 方 程 , ),2,2,1( ),2,2,1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx 0)2

19、(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx切 平 面 方 程及 切 平 面 方 程 0 0 02 .x y z 2132 222 zyx 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面曲 面 的 切 平 面 与 法 线（ 当 空 间 曲 线 方 程 为 一 般 式 时 ， 求 切 向 量（ 求 法 向 量 的 方 向 余 弦 时 注 意 符 号 ）三 、 小 结注 意 采 用 推 导 法 ） 思 考 题 如 果 平 面 01633 zyx 与 椭 球 面163 222 zyx 相 切 ， 求 . 思 考 题 解 答 0 0 06 , 2 , 2 ,n x y z设 切 点 ),( 000 z

20、yx依 题 意 知 切 向 量 为 3, , 3 32236 000 zyx ,00 xy ,3 00 xz 切 点 满 足 曲 面 和 平 面 方 程 ,01693 01693 2020220 0020 xxx xxx .2 01633 zyx 163 222 zyx 练 习 题 四 、 求 椭 球 面 12 222 zyx 上 平 行 于 平 面 02 zyx 的 切 平 面 方 程 . 五 、 试 证 曲 面 )0( aazyx 上 任 何 点 处 的 切 平 面 在 各 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 等 于 a . 一 、 1、 011682,81421 21 zyxzyx ； 2、 0 211 2,042 z yxyx . 二 、 )271,91,31()1,1,1( 21 PP 及 . 三 、 02 0202111 1 z yxzyx 或 . 四 、 2112 zyx . 练 习 题 答 案 四 、 作 业