重积分的计算方法

《重积分的计算方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重积分的计算方法（37页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、6.1.2 二 重 积 分 的 计 算 法 D dyxf ),( iini if ),(lim 10 . 按 定 义 :二 重 积 分 是 一 个 特 定 乘 积 和 式 极 限 然 而 ， 用 定 义 来 计 算 二 重 积 分 ， 一 般 情 况下 是 非 常 麻 烦 的 . 那 么 ， 有 没 有 简 便 的 计 算 方 法 呢 ?这 就 是 我们 今 天 所 要 研 究 的 课 题 。 下 面 介 绍 :一 、 问 题 的 提 出 二 、 利 用 直 角 坐 标 计 算 二 重 积 分 二 重 积 分 仅 与 被 积 函 数 及 积 分 域 有关 ,为 此 , 先 介 绍 ： 1、 积

2、 分 域 D: 如 果 积 分 区 域 为 ： ,bxa ).()( 21 xyx X 型 )(2 xy a bD )(1 xy D ba )(2 xy )(1 xy X型 区 域 的 特 点 ： a、 平 行 于 y轴 且 穿 过 区 域 的 直 线与 区 域 边 界 的 交 点 不 多 于 两 个 ； b、 ).()( 21 xx （ 1） X-型 域 （ 2） Y-型 域 ： ,dyc Y 型 )(2 yx )(1 yx Dcd cd )(2 yx )(1 yx D Y型 区 域 的 特 点 ： a、 穿 过 区 域 且 平 行 于 x轴 的 直线 与 区 域 边 界 的 交 点 不 多

3、 于 两 个 。 b、 ).()( 21 yy ).()( 21 yxy a x bzy x)(xA ),( yxfz )(1 xy )(2 xy 2、 X-型 域 下 二 重 积 分 的计 算 : 由 几 何 意 义 ， 若 此 为 平 行 截 面 面 积 为 已 知 的 立 体 的 体 积 .截 面 为 曲边 梯 形 面 积 为 ： D Vdxdyyxf ),(曲 顶 柱 体 的 体 积 ) 0),( yxf则 yZ )(x1 )(x2 ),( yxfz )( )( ),()( xx dyyxfxA 21 D ba A(x)dxf(x,y)dxdy所 以 ： dxdy.yf(xba (x)

4、(x) ) 2 1 dy.yf(xdxba (x)(x) )21 注 : 若 (x,y)0 仍 然 适 用 。注 意 : 1） 上 式 说 明 : 二 重 积 分 可 化 为 二 次 定积 分 计 算 ;2） 积 分 次 序 : X-型 域 先 Y后 X;3） 积 分 限 确 定 法 : 投 影 定 限 法 。为 方 便 ， 上 式 也 常 记 为 ： 3、 Y-型 域 下 二 重 积 分 的 计 算 ： 同 理 ： Y 型 域 下 )( )(21 ),()( yy dxyxfyB 于 是 D dc yy dyyxfdyxf ),(),( )( )(21面 积 为 ： 为 曲 边 梯 形 ，常

5、 数 截 立 体 ， 其 截 面 也用 y 知 的 立 体 体 积 .亦 为 平 行 截 面 面 积 为 已 1） 积 分 次 序 : Y-型 域 ,先 x后 Y;dxyxfdyD dc yy ),(: )( )(21 也 可 记 为注 意 : 注 意 ： 二 重 积 分 转 化 为 二 次 定 积 分 时 ， 关 键在 于 正 确 确 定 积 分 限 ,一 定 要 做 到 熟 练 、 准 确 。4、 利 用 直 系 计 算 二 重 积 分 的 步 骤（ 1） 画 出 积 分 区 域 的 图 形 ,求 出 边 界 曲 线 交 点 坐 标 ；（ 3） 确 定 积 分 限 ， 化 为 二 次 定

6、积 分 ；（ 2） 根 据 积 分 域 类 型 , 确 定 积 分 次 序 ；（ 4） 计 算 两 次 定 积 分 ， 即 可 得 出 结 果 . 例 1 求 D dxdyyx )( 2 ， 其 中 D 是 由 抛 物 线2xy 和 2yx 所 围 平 面 闭 区 域 .解 ： 两 曲 线 的 交 点 ),1,1(,)0,0(22 yx xy 2xy 2yx 2xy 2yx X 型 xyx x2 10 D dxdyyx )( 2 dxdyyxxx )( 10 2 2 dxxxxxx )(21)( 4210 2 .14033 2xy 2yx Y 型 yxy y 2 10 D dxdyyx )(

7、2 dydxyxyy 10 2 2 )(.14033 D例 2解 ： 围 成 由其 中计 算 2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型 xxD dyyxdxdyx 1 222122 21 12 dxyx xx 21 3 )( dxxx .49.21,1: xxyxD ），左 边 交 点 坐 标 为 （ 11 所 围 成 的 闭 区 域 。 及是 由 抛 物 线其 中计 算 2 , 2 xy xyDxydD 例 3解 ： （ 如 图 ） 将 D作 Y型 221 2yyD xydxdyxyd dyyyy dyyx y y 21 52221 2 )2(21 2 2 8556234421 2162

8、34 yyyy 2,4-12 2yx 2 yx 1,1 xy)( yx后先 5 若 区 域 为 组 合域 ， 如 图 则 ： 3D 2D1D.321 DDDD 0 6、 如 果 积 分 区 域 既 是 X 型 ， 又 是 Y 型 , 则 有 D ba xx dxfdydyxf )( )(21 ),( dc yy dyfdx)( )(21 例 4 改 变 积 分 y y dxyxfdydxyxfdy 20 303110 ),(),( 的积 分 次 序 . xx dyyxfdx 32120 ),( . 解 ： 积 分 区 域 如 图 x yo 231 yx 3yx 2yxy 20,10 yxy 3

9、0,31 xyxx 321,20原 式 例 5 改 变 积 分 )0(),(20 22 2 adyyxfdxa ax xax 的 次 序 . axy 2解 ： = a yaaay dxyxfdy0 2 222 ),( 原 式 a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),( .),(2 222 aa aay dxyxfdy 22 xaxy 22 yaax a2aa2a 例 6解 ： .10,11:.2 yxDdxyD 其 中计 算 1D 2D3D先 去 掉 绝 对 值 符 号 ， 如 图 dxydyx dxy DDDD 321 )()( 22 2 1 2110 211 22 )()( xx

10、dyxydxdyyxdx .1511 例 7 计 算 积 分 y xydxedyI 212141 yy xydxedy121 . 解 dxexy 不 能 用 初 等 函 数 表 示 先 改 变 积 分 次 序 . 原 式 xx xydyedxI 2211 121 )( dxeex x .2183 ee 2xy xy 二 重 积 分 在 直 角 坐 标 下 的 计 算 公 式（ 在 积 分 中 要 正 确 选 择 积 分 次 序 ） .),(),( )( )(21 D ba xx dyyxfdxdyxf .),(),( )( )(21 D dc yy dxyxfdydyxf Y 型 X 型 7.

11、小 结 三 利 用 极 坐 标 系 计 算 二 重 积 分 当 一 些 二 重 积 分 的 积 分 区 域 D用 极 坐 标 表 示 比较 简 单 ， 或 者 一 些 函 数 它 们 的 二 重 积 分 在 直 角 坐 标系 下 根 本 无 法 计 算 时 ， 我 们 可 以 在 极 坐 标 系 下 考 虑其 计 算 问 题 。 等例 222222222 22 )cos(,)sin(, 2222 ayxayxayx yx dxdyyxdxdyyxdxdye Ao D iirr ii rrr ii i iiii rrr )2(21 iiiii rrrr 2 )( ,iii rr .)sin,co

12、s()sin,cos(lim ),(lim),(0 0 Di iiiiiii i iiiD rdrdrrfrrrrf fdxdyyxf 1 直 系 与 极 系 下 的 二 重 积 分 关 系 （ 如 图 ） iiiii rrr 22 21)(21i（ 1） 面 积 元 素 变 换 为 极 系 下 ：（ 2） 二 重 积 分 转 换 公 式 ： .)sin,cos(),( DD rdrdrrfdxdyyxf （ 3） 注 意 ： 将 直 角 坐 标 系 的 二 重 积 分 化 为 极 坐 标 系 下的 二 重 积 分 需 要 进 行 “ 三 换 ” ： rdrddxdy DD ry rx rxy

13、 sincos 2 极 系 下 的 二 重 积 分 化 为 二 次 积 分的 上 下 限关 键 是 定 出 ,r的 上 下 限 ：定 用 两 条 过 极 点 的 射 线 夹 平 面 区 域 ，由 两 射 线 的 倾 角 得 到 其 上 下 限的 上 下 限 ：定 r任 意 作 过 极 点 的 半 射 线 与 平 面 区 域 相 交 ，由 穿 进 点 ， 穿 出 点 的 极 径 得 到 其 上 下 限 。将 直 系 下 的 二 重 积 分 化 为 极 系 后 ， 极 系 下 的二 重 积 分 仍 然 需 要 化 为 二 次 积 分 来 计 算 。 .)sin,cos()( )(21 rdrrrf

14、d ADo )(1 r )(2 rD rdrdrrf )sin,cos(（ 1） 区 域 如 图 1, ).()( 21 r具 体 地 （ 如 图 ） 图 1 （ 2） 区 域 如 图 2, ).()( 21 r .)sin,cos()( )(2 1 rdrrrfdD rdrdrrf )sin,cos( Ao D )(2 r)(1 r 图 2 Ao D .)sin,cos()(0 rdrrrfd（ 3） 区 域 如 图 3, ).(0 rD rdrdrrf )sin,cos( )(r图 3 D rdrdrrf )sin,cos( .)sin,cos()(020 rdrrrfd（ 4） 区 域

15、如 图 4 ).(0 r Do A,20 )(r图 4 例 1 计 算 dxdyeD yx 22 ， 其 中 D 是 由 中 心 在 原 点 ， 半 径 为 R的 圆 周 所 围 成 的 闭 区 域 . 解 在 极 坐 标 系 下 D： Rr 0 ， 20 . dxdyeD yx 22 R r rdred 020 2 ).1( 2Re 20 )1(21 2 de R 1yx 122 yx解 如 图 ： 在 极 坐 标 系 下 sincosry rx圆 方 程 为 1r , 直 线 方 程 为 cossin 1r ,D dxdyyxf ),( .)sin,cos(20 1 cossin 1 rd

16、rrrfd 20 解 |),( 2221 RyxyxD 2|),( 2222 RyxyxD 0,0 yx 0,0|),( RyRxyxS 显 然 有 21 DSD ,022 yxe 1 22D yx dxdye S yx dxdye 22 .2 22 D yx dxdye 1D 2DS S2D R R2 又 S yx dxdyeI 22 R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2 R x dxe 1I 1 22D yx dxdye R r rdred 00 22 );1(4 2Re 同 理 2I 2 22D yx dxdye );1(4 22Re 当 R 时 , ,41 I ,4

17、2 I 故 当 R 时 , ,4I 即 20 )( 2dxe x 4, 所 求 广 义 积 分 0 2dxe x 2. ,21 III );1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee 解 根 据 对 称 性 有 14DD在 极 坐 标 系 下 )(2)( 222222 yxayx ,2cos2 ar ,222 arayx 1D 由 arar 2cos2 , 得 交 点 )6,( aA , 所 求 面 积 D dxdy 14D dxdy 2cos2064 aa rdrd ).33(2 a 计 算 二 重 积 分 应 该 注 意 以 下 几 点 ： 先 要 考 虑 积 分 区 域

18、的 形 状 ，看 其 边 界 曲 线 用 直 系 方 程 表 示 简 单 还 是 极 系 方程 表 示 简 单 ， 其 次 要 看 被 积 函 数 的 特 点 ， 看 使用 极 坐 标 后 函 数 表 达 式 能 否 简 化 并 易 于 积 分 。首 先 ， 选 择 坐 标 系 。其 次 ， 化 二 重 积 分 为 二 次 积 分 。 根 据 区 域 形 状 和类 型 确 定 积 分 次 序 ， 从 而 穿 线 确 定 内 限 ， 夹 线 确定 外 限 。最 后 ， 计 算 二 次 积 分 。 由 内 向 外 逐 层 计 算 ， 内 层积 分 计 算 时 ， 外 层 积 分 变 量 看 做 常 量 。四 、 小 结