重积分在球坐标系下的计算

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1、三 重 积 分 在 球 坐 标 系 下 的 计 算 0 x z yx y z M(r,)r N yx z. 一 、 球 面 坐 标 系 cos sinr sin sinr cosr . . ., ,),( 来 确 定可 用 三 个 有 次 序 的 数 则 点为 空 间 内 一 点 设 rM zyxM 轴 正 向 的 夹 角的 投 影 向 量 与 面 上在有 向 线 段 xxOyOM : ,: 间 的 距 离与 点原 点 MOr , : 所 夹 的 角 轴 正 向与有 向 线 段 zOM ., 的 球 面 坐 标叫 做 点这 样 的 三 个 数 Mr S rM y z x 0r =常 数 : =

2、常 数 : 球 面 S动 点 M(r,) 球 面 坐 标 的 坐 标 面 .20 ,0,0 r规 定 r =常 数 : =常 数 : 球 面 S半 平 面 P动 点 M(r,) M yz x 0 =常 数 : 锥 面 C.球 面 坐 标 的 坐 标 面 r dr drsinx z y0 圆 锥 面 rd 球 面 r 圆 锥 面 +d球 面 r+d r元 素 区 域 由 六 个 坐 标 面 围 成 ： drsind 16. 球 面 坐 标 下 的 体 积 元 素半 平 面 及 +d ； 半 径 为 r及 r+dr的 球 面 ；圆 锥 面 及 +d r drdx z y0Vd ,sinsin,co

3、ssin( rrf d rd元 素 区 域 由 六 个 坐 标 面 围 成 ： rsind16. 球 面 坐 标 下 的 体 积 元 素 . 半 平 面 及 +d ； 半 径 为 r及 r+dr的 球 面 ；圆 锥 面 及 +d zyxzyxf ddd),( r 2 sin drddsin drddr 2rcos ) x yzO d drsinr rd dsinr dr.dddsind 2 rrv 体 积 元 素把 三 重 积 分 的 变 量 从 直 角 坐标 变 换 为 球 面 坐 标 的 公 式 zyxzyxf ddd),( .dddsin)cos,sinsin,cossin( 2 rrr

4、rrf 二 、 典 型 例 题适 用 范 围1) 积 分 域 表 面 用 球 面 坐 标 表 示 时 方 程 简 单 ;2) 被 积 函 数 用 球 面 坐 标 表 示 时 变 量 互 相 分 离 0 x z yr R 对 r: 从 0R积 分 ,得 半 径任 取 球 体 内 一 点 。所 围 成 的 区 域 在 第 一 卦 限及 平 面球 面 z,y,xRzyx:1 zyxzyxfI ddd),( 求 0 x z yMr R对 r: 从 0R积 分 ,得 半 径任 取 球 体 内 一 点对 : 从 0 积 分 ， 。所 围 成 的 区 域 在 第 一 卦 限及 平 面球 面 z,y,xRzy

5、x:.1 zyxzyxfI ddd),( 求 2 对 r: 从 0R积 分 ,得 半 径任 取 球 体 内 一 点对 : 从 0 积 分 ， R对 : 从 0 积 分 ， 得 球 体 。所 围 成 的 区 域 在 第 一 卦 限及 平 面球 面 z,y,xRzyx: . 1 zyxzyxfI ddd),( 求 0 x z y22 得 锥 面 0 x z yR . 对 r: 从 0R积 分 ,得 半 径任 取 球 体 内 一 点对 : 从 0 积 分 ，对 : 从 0 积 分 ， 得 球 体 得 锥 面 I=V当 f =1,。所 围 成 的 区 域 在 第 一 卦 限及 平 面球 面 z,y,x

6、Rzyx: . 1 zyxzyxfI ddd),( 求 rrrrrfI R dsin)cos,sinsin,cossin(dd 0 22020 22 球 系 下 确 定 积 分 限 练 习1 为 全 球 体2 为 空 心 球 体3 为 上 半 球 体4 为 右 半 球 体 5 为 球 体 的 第 一 、 二 卦 限 部 分 rrfI R dsindd 0 2 02 0 为 洞添 加 Rzyx rrfI RR dsindd 2 2 02 0 rrfI R dsindd 0 22 02 0 rrfI R dsindd 0 2 0 0 rrfI R dsindd 0 22 0 0 . . . . .

7、 Rzyx. 2 zyxzyxfI ddd),( 求 rrrrrfI sa dsin )cos,sinsin,cossin(dd co2 0 24 02 0 计 算已 知 )( .zyx,aazyx: z 0 x ya r=2a cos4 . M.cos20: ar 20 40 rM 3 zyxzyxfI ddd),(P164.10.(2) .20,40,cos0: ar zyxyx ddd)( 22 rra dsindd 40 cos0 3420 .10 5a .)0( :,ddd)( 22222 所 围 的 立 体面 与 平锥 面求 aaz zyxzyxyx例 4:解 1: 在 球 面 坐

8、 标 系 中 计 算 .20 ,0 ,: aaz aa z ddd 2020 .10 5a zyxyx ddd)( 22解 2 .222 zzyx .: 222 ayxDxy 在 柱 面 坐 标 系 中 计 算 例 5. 计 算 三 重 积 分 ,)( 222 zdydxdzyx22 yxz 为 锥 面 2222 Rzyx 解 : 在 球 面 坐 标 系 下: zyxzyx ddd)( 222 所 围 立 体 .40 Rr0 20 其 中 与 球 面 dddsind 2 rrvR rr0 4d)22(51 5 R 40 dsin 20 d x yz o4 Rr 机 动 目 录 上 页 下 页

9、返 回 结 束 P165.10.(1) 例 6.计 算 由 两 个 半 球 面,)( 22 dxdydzyxI .0 )0(, 222222 围 成平 面 及 z bayxazyxbz解 : 的 表 达 式 中 含 x2+y2+z2, 可 用 球 面 坐 标 求 积 分 . x = r sin cos, y=rsinsin, z=rcos.且 两 球 面 方 程 分 别 为 r=b和 r=a,(ab). 0 ar=az yx br=bP165.11,(4) 0 ar=az yx br=b由 的 形 状 知 ,arb,0 , 02. dvyxI )( 22 20 20 222 sinsinba

10、drrrdd ba drrd 420 3sin2 cos)cos1()(52 20 255 dab )(154 55 ab 2 .1 ,d122 222 所 围 成与 平 面 由 圆 锥 面其 中计 算 zyxz vzyx ,222 zyx 由 于 被 积 函 数 含 .所 以 宜 用 球 面 坐 标 计 算 .对 值 记 号先 去 掉 被 积 函 数 中 的 绝,422 系 中 的 坐 标 面 为 球 面 坐 标圆 锥 面 yxz解例 7 x yzO1 ,12221 的 部 分中为记 zyx ,1222 以 外 的 部 分中 位 于 球 面即 zyx,12 ;20 ,40 ,cos11:1

11、r则 .20,40 ,10:2 r x yzO1 12如 图 ， vzyx d1222 于 是 vzyxvzyx d)1(d)1( 21 222222 rrr rrr dsin)1(dd dsin)1(dd 220 0 10220 0 1 44 cos1 221622236 ).12(6 计 算 三 重 积 分 应 注 意 的 问 题1.适 当 地 选 取 坐 标 系 ： 当 积 分 区 域 是 柱 体 （ 或 其 一 部 分 ） ，或 在 某 坐 标 面 上 投 影 为 圆 域 （ 或 一 部 分 ） ，要 不 然 被 积 函 数 为 型 时 采 用 柱 面 坐 标 ， 一 般 先 对 Z次

12、 对 p后 对 积 分 。 当 为 球 域 （ 或 其 一 部 分 ） 或 被 积 函 数 采 用 球 面 坐 标 ， 否 则 采 用 直 角 坐 标 。),( 22 zyxf 球 面 坐 标 系 下 )( 222 zyxf )( 2pf 2.三 重 积 分 化 为 三 次 定 积 分 ， 无 论 选择 什 么 坐 标 系 和 积 分 次 序最 里 层 积 分 上 下 限 一 般 是 外 面 两 层 积 分 变 量 的 函 数 ，中 层 积 分 上 下 限 是 外 层 积 分 变 量 函 数 ，最 外 层 上 下 限 一 定 是 常 数 ， 无 论 哪 层 上 限 必 大 于 下 限 。 3。

13、 关 于 最 里 层 积 分 的 定 限 ：若 积 分 变 量 是 dx一 用 平 行 x轴 直 线若 积 分 变 量 是 dy一 用 平 行 y轴 直 线 若 积 分 变 量 是 dz一 用 平 行 z轴 直 线 穿 过 ， 观 察 穿 入穿 出 的 情 况 定 限 。若 积 分 变 量 是 dp时 一 定 要 从 原 点 出 发 发 出 射 线穿 过 区 域 观 察 穿 进 穿 出 情 况 定 限 。 内 容 小 结 zyx ddd zddd dddsin2 rr 积 分 区 域 多 由 坐 标 面被 积 函 数 形 式 简 洁 , 或坐 标 系 体 积 元 素 适 用 情 况直 角 坐 标 系柱 面 坐 标 系球 面 坐 标 系 变 量 可 分 离 .围 成 ; 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束