垂径定理的逆定理

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1、 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。条件结论（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧OA BCDM 垂 径 定 理 OA BCDM AC =BC, AD =BD.条件 CD为直径 CD AB CD平分弧ADB CD平分弦AB CD平分弧A B结论 CD AB,AB是 O的一条弦（非直径）,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.O右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由 CD是直径 AM=BM可推得 AC=BC, AD=BD. MA B探 究 一 ： 如图,

2、小明的理由是: 连 接 OA,OB, OA BCDM则O A=O B.在O AM和O BM中, O A=O B，O M=O M，AM=BMO AMO BM. AMO = BMO . CD AB O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, AC和BC重合, AD和BD重合. AC =BC, AD =BD.垂 径 定 理 的 逆 定 理平 分 弦 （ 不 是 直 径 ） 的 直 径 垂 直 于弦 ,并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧 . CD AB,垂 径 定 理 的 逆 定 理 一OCD 由 CD是直径 AM=BM可推得 AC=BC, AD=BD. A BM 例 、已知

3、： O 中， AB为 弦，D为 AB 中点，O C交AB 于C ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求 O 的半径O A. D O A B C CD是直径, AB是 O的一条弦,且AM=BM.且CD AB于点M，O CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？为什么？CD由 CD AB于M AM=BM可推得 AC=BC, AD=BD. MA B探 究 二 ： 垂径定理的逆定理二弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 O由 CD AB于M AM=BM可推得 AC=BC, AD=BD. MA BCD CD是直径, 若D是BC的中点AD BC,BC=24,AD=9, 求 O的半径。OAB C

4、D 通过前面的两个探究，你发现了什么？ OCD CD AB于M CD是直径, AM=BM可推得 AC=BC, AD=BD. MA B比如还有如下正确结论： 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论找到本质： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的逆定理：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所

5、对的另一条弧垂径定理再梳理一下： 例3、 如图所示， C是AB的中点， O C交AB于点D ，AB=6cm, CD=1cm 求 O的半径长A BCDO 练习一、判断正误：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。A BC DO(1) A BC DO(2) A BC DO(3) (4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。A BCO(4) ABC DO(5) A BCDO(6)E 练习二、已知 o的半径为2cm，弦AB的长为2求这弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离。cm3 练习三、如图所示, o的直径长4cm，C是AB的中点，弦AB、CD交于点P， CD=2 求 APC的度数。cm3 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。请你想一想：可以得到垂径定理的多少个逆定理呢？垂径定理记忆