一线三等角模型

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1、一个特殊图形的应用一线三等角模型 n 考 试 过 程 中 学 生 若 能 遇 到 自 己 平 时 非 常 熟 悉 的 题型 ， 快 速 找 到 解 决 问 题 的 突 破 口 ， 就 能 减 轻 思 维 量 ，提 高 做 题 速 度 ， 缓 解 考 试 紧 张 情 绪 ， 取 得 理 想 的 成 绩。 因 此 ， 平 时 教 学 中 模 型 的 渗 透 就 非 常 重 要 。n一 线 三 等 角 解 题 理 念 : 有 边 相 等 证 全 等 ; 没 边 相 等 证 相 似 . 建 立 模 型n 2013一 调 13 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 y= -2x+2

2、与 x轴 、y轴 分 别 相 交 于 点 A、 B， 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， 曲 线 在 第 一 象 限 经过 点 D.则 _ 2013一 调 22题 图 1 图 2 n（ 2） 问 题 探 究n如 图 3， ABC中 ，AG BC于 点 G， 以 A为 直 角 顶 点 ， 分 别 以AB、 AC为 直 角 边 ， 向 ABC外 作 等 腰Rt ABE和 等 腰Rt ACF， 过 点 E、 F作 射 线 GA的 垂 线 ， 垂足 分 别 为 P、 Q. 试 探 究EP与 FQ之 间 的 数 量 关系 ， 并 证 明 你 的 结 论 . 图 3 n （ 3） 拓 展 延 伸n 如

3、 图 4， ABC中 ， AG BC于 点 G， 分 别 以 AB、AC为 一 边 向 ABC外 作 矩 形 ABME和 矩 形 ACNF， 射 线GA交 EF于 点 H. 若 AB= k AE， AC= k AF， 试 探 究 HE与 HF之 间 的 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 . 图 4 模 型 应 用n （ 2012南 充 ） 19 矩 形 ABCD中 ， AB=2AD， E为 AD的 中 点 EF EC交 AB于 点 F 连 接 FC.n （ 1） 求 证 ： AEF DCE；n （ 2） 求 tan ECF的 值 n 已 知 ： 在 矩 形 AOBC中 ， OB=3， O

4、A=2分 别 以 OB、 OA所 在 直 线 为 x轴 和 y轴 ， 建立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 若 点 F是边 BC上 的 一 个 动 点 （ 不 与 B、 C重 合 ） ，过 F点 的 反 比 例 函 数 （ k 0） 的 图 象 与 边交 于 点 E（ 1） 直 接 写 出 线 段 AE、 BF的 长 （ 用 含 k的 代 数 式 表 示 ） ；n （ 2） 设 AOE与 FOB的 面 积 分 别 为 S1， S2， 求 证 ： S1=S2；（ 3） 记 OEF的 面 积 为 S 求 出 S与 k的 函 数 关 系 式 并 写 出 自 变 量 k的 取 值 范

5、围 ； 以 OF为 直 径 作 N， 若 点 E恰 好 在 N上 ， 请 求 出 此 时 OEF的 面 积 S （ 4） 当 点 F在 BC上 移 动 时 ， OEF与 ECF的 面 积 差 记 为 S， 求 当 k为 何 值 时 ，S有 最 大 值 ， 最 大 值 是 多 少 ？n （ 5） 请 探 索 ： 是 否 存 在 这 样 的 点 E， 使得 将 CEF沿 EF对 折 后 ， C点 恰 好 落 在OB上 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 E的 坐 标 ； 若 不 存在 ， 请 说 明 理 由 n 3 如 图 ， 已 知 y1=k1x+k1（k10） 与 反 比 例 函 数 (k20)的

6、图 象 交 于 点 A、 C， 其 中 A点 坐 标（ 1， 1） （ 1） 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 根 据 图 象 写 出 在 第 一 象 限内 ， 当 取 何 值 时 ， y1 y2？（ 3） 若 一 次 函 数 y1=k1x+k1与 x轴 交 于 B点 ， 连 接 OA， 求 AOB的 面 积 ：（ 4） 在 （ 3） 的 条 件 下 ， 在 坐标 轴 上 是 否 存 在 点 P， 使 AOP是 等 腰 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 请 写 出P点 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明理 由 2013一 调 23题n (11分 )如 图 ， 矩 形

7、 OABC中 ， 点 O为 原 点 ， 点 A的 坐 标 为 （ 0， 8） ， 点C的 坐 标 为 （ 6， 0） 抛 物 线 y=x2+bx+c经 过 A、 C两 点 ， 与 AB边 交于 点 D （ ） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；n （ ） 动 点 P从 C出 发 ， 沿 线 段 CB向 终 点 B运 动 ， 同 时 动 点 Q从A出 发 ， 沿 线 段 AC向 终 点 C运 动 ， 速 度 均 为 每 秒 1个 单 位 长 度 ， 连 接PQ， 设 运 动 时 间 为 t秒 ， CPQ的 面 积 为 Sn （ 1） 求 S关 于 t的 函 数 表 达 式 ， 并 求 出 t为

8、何 值 时 ， S取 得 最 大 值；n （ 2） 当 S最 大 时 ， 从 以 下 、 中 任 选 一 题 作 答 ， 若 两 题 都 做 只以 第 题 计 分 n 在 抛 物 线 y=x2+bx+c的 对 称 轴 l上 ， 是 否 存 在 点 F， 使 FDQ为 直 角三 角 形 ， n 若 存 在 ,请 直 接 写 出 所 有 符 合 条 件 的 点 F的 坐 标 ； 否 则 请 说 明 理 由 n （ 2011河 南 ） 23. （ 11分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 与 抛 物线 交 于 A、 B两 点 ， 点 A在 x轴 上 ， 点 B的 横 坐

9、 标 为 8.n （ 1） 求 该 抛 物 线 的 解 析 式 ； n （ 2） 点 P是 直 线 AB上 方 的 抛 物 线 上 一 动 点 （ 不 与 点 A、 B重 合 ）， 过 点 P作 x轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 C， 交 直 线 AB于 点 D， 作 PE AB于 点E.n 设 PDE的 周 长 为 l， 点 P的 横 坐 标 为 x， 求 l关 于 x的 函 数 关 系 式， 并 求 出 l的 最 大 值 ；n 连 接 PA， 以 PA为 边 作 图 示 一 侧 的 正 方 形 APFG.随 着 点 P的 运 动， 正 方 形 的 大 小 、 位 置 也 随 之 改 变 .

10、当 顶 点 F或 G恰 好 落 在 y轴 上 时 ， 直接 写 出 对 应 的 点 P的 坐 标 . 模 型 拓 展 一 线 三 锐 角 模 型 应 用n .如 图 ， 已 知 RtABC中 ， BAC=90 ， AB=AC=2， 点 D在 BC上 运动 （ 不 能 到 达 B， C） ， 过 D作 BAC=45 ， DE交 AC于 E.n (1） 求 证 ： ABD DCE；n (2） 设 BD=x， AE=y， 求 y关 于 x得 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 自 变 量 x得 取值 范 围 ；n (3） 当 ADE是 等 腰 三 角 形 时 ， 求 AE的 长 D E CB A 模

11、 型 应 用n （ 2012湖 北 天 门 、 仙 桃 、 潜 江 、 江 汉 油 田 10分 ） ABC中 ， AB=AC， D为 BC的 中 点 ， 以 D为 顶 点 作 MDN= Bn （ 1） 如 图 （ 1） 当 射 线 DN经 过 点 A时 ， DM交 AC边 于 点 E， 不 添 加 辅 助 线 ， 写 出 图 中 所 有 与 ADE相 似 的 三 角 形 n （ 2） 如 图 （ 2） ， 将 MDN绕 点 D沿 逆 时 针 方 向 旋 转 ，DM， DN分 别 交 线 段 AC， AB于 E， F点 （ 点 E与 点 A不 重合 ） ， 不 添 加 辅 助 线 ， 写 出 图

12、 中 所 有 的 相 似 三 角 形 ， 并 证明 你 的 结 论 n （ 3） 在 图 （ 2） 中 ， 若 AB=AC=10， BC=12， 当 DEF的面 积 等 于 ABC的 面 积 的 时 ， 求 线 段 EF的 长 41 n 已 知 如 图 ， 在 梯 形 ABCD中 ，AD BC， AD=2， BC=4， 点 M是AD的 中 点 ， MBC是 等 边 三 角 形n （ 1） 求 证 ： 梯 形 ABCD是 等 腰 梯形 ；n （ 2） 动 点 P、 Q分 别 在 线 段 BC和MC上 运 动 ， 且 MPQ=60 保 持不 变 设 PC=x， MQ=y求 y与 x的函 数 关 系

13、 式 .n （ 3） 在 （ 2） 中 ， 当 取 最 小 值 时， 判 断 PQC的 形 状 ， 并 说 明 理由 A D CB P M Q60 n（ 2012成 都 ） (本 小 题 满 分 10分 )n 如 图 ， ABC和 DEF是 两 个 全 等 的 等 腰 直 角三 角 形 ， BAC= EDF=90 ， DEF的 顶 点 E与 ABC的 斜 边 BC的 中 点 重 合 将 DEF绕 点 E旋 转 ， 旋 转 过 程 中 ， 线 段 DE与 线 段 AB相 交 于 点 P， 线 段 EF与 射 线 CA相 交 于 点 Qn （ 1） 如 图 ， 当 点 Q在 线 段 AC上 ， 且

14、 AP=AQ时 ， 求 证 ： BPE CQE；n （ 2） 如 图 ， 当 点 Q在 线 段 CA的 延 长 线 上 时， 求 证 ： BPE CEQ； 并 求 当 BP= a， CQ= 时 ， P、 Q两 点 间 的 距 离 (用 含 a的 代 数 式 表 示 ) 92a 一 线 三 钝 角 模 型 应 用n 如 图 ， 在 梯 形 ABCD中 ， AD BC.AB=DC=AD=6, ABC=70 0 ,点E,F分 别 在 线 段 AD,DC上 ， 且 BEF=1100, 若 AE=3,求 DF的 长 。 F E D CB A 归 纳 总 结n 一 线 三 等 角 模 型 ：n 三 个 相

15、 等 的 角 ， 顶 点 在 同 一 直 线 上 时 ， 左 右 两 个 三 角 形 相 似 ， 若 共线 三 顶 点 中 间 一 顶 点 是 中 点 时 ， 图 中 三 个 角 所 在 的 相 关 三 角 形 两 两 相似 。 n 从 复 杂 图 形 中 分 离 出 基 本 图 形 ， 对 解 决 问 题 有 化 繁 为 简 的 效 果 。三 等 角 模 型 在 解 题 中 ， 可 以 帮 助 我 们 快 速 找 到 解 决 问 题 的 突 破 口 。 希望 这 个 模 型 能 起 到 抛 砖 引 玉 的 作 用 ， 让 我 们 平 时 多 总 结 多 归 纳 ， 出 现更 多 的 好 方 法 。 ！