大一高数复习资料

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1、高等数学第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（ ）邻域（去心邻域） （ ）Ua,x | xaoUa,x | 0x a第二节数列的极限数列极限的证明（ ）題型已知数列 xn ，证明 limxnax证明N 语言1由 xna化簡得 n g， Ng2即对0 ， Ng，当 nN 时，始终有不等式xna成立， lim xnax第三节函数的极限 xx0 时函数极限的证明（ ）題型已知函数 fx ，证明 lim fxAxx0证明语言1由 fxA化簡得 0xx0g， g2即对0 ，g，当 0x x0时，始终有不等式f xA成立， lim f xAxx0 x时函数极限的证明（ ）題型已知函数

2、 f x，证明 lim fxAx证明X 语言1由 fxA化簡得 xg， X g2即对0 ，Xg，当 xX 时，始终有不等式fxA成立， lim f xAx第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（ ）函数 f x 无穷小lim f x0函数 f x 无穷大lim f x无穷小与无穷大的相关定理与推论（ ）（定理三）假设f x 为有界函数，g x 为无穷小，则 limfxg x0（定理四） 在自变量的某个变化过程中，若 f x为无穷大， 则 f1x为无穷小； 反之，若 fx为无穷小，且 fx0，则 f1x为无穷大題型計算： limfxgx（或 x）xx01 fx M 函数 fx在 xx0 的任

3、一去心邻域 U x0 ,内是有界的；（ fx M ，函数fx在 xD 上有界；）2 lim g x0 即函数 g x是 xx0 时的无穷小；x x0（ lim g x0 即函数 g x是 x时的无穷小；）x3由定理可知 limfxgx0xx0（ limfxgx0 ）x第五节极限运算法则极限的四则运算法则（ ）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式 px 、 q x商式的极限运算设：p x a0 xma1xm 1amq x b0xnb1 xn 1bnnm则有 lim p xa0nmxq xb00nmfx0gx00gx0fxgx00, f x00limxx x0 g0gx0fx000（特别

4、地，当 limfx0（不定型）时，通常分gx0xx0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）題型求值 limx3x 3x29高等数学期末复习资料第 1页（共 9页）求解示例 解：因為 x3，从而可得 x3 ，所以原式 lim x3limx3lim11x 3 x29x 3 x 3 x 3x 3 x 3 6其中 x 3 为函数 fxx3 的可去间断点x29倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0x3解： lim x230lim11limx 3 x9L x 3x29x 32 x 6连续函数穿越定理 （复合函数的极限求解） （ ）（定理五）若函数 f x 是定义

5、域上的连续函数，那么， limfxflimxx x0xx0題型求值： limx3x29x3求解示例 limx3limx316x29966x 3x 3 x2第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（ P53）（ ）第一个重要极限：lim sin x1x0x x0,， sin xxtanx lim sin x12x0xx1lim1limlimx01sin xx 0 sin xx0 sin xlimxxx0（特别地， limsin( xx0 )1）x x0xx0单调有界收敛准则（P57）（ ）1x第二个重要极限：lim1exxg xlim g x（一般地， limfxlimf x，其中lim fx0

6、 ）2x3x 1題型求值： limx2x1求解示例 x1x 1x 1解：2 x3lim2 x 12lim12lim2 x12x12 x1xx2x 12x 12 x122x 12 x2x121lim122 x1lim122x112 x 12 x12 x2 x1lim2x12 x 12 x1222limx 12 x 1lim12 x 12 x1e2 x 1lim2x22x112 x 1eee第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（ ）1U sinU tanU arcsinU arctanU ln(1U )eU121 U 2 1cosU2（乘除可替，加减不行）題型求值： lim ln 1x2x

7、 ln 1xx0x3x求解示例 解：因为 x0,即x0,所以原式lim ln 1x2x ln 1xx 0x3xlim 1xln 1xlim1 xxlim x11x 0x x 3x 0 x x 3x 0 x 3 3第八节函数的连续性函数连续的定义（ ）limfxlimfxfx0xx0xx0间断点的分类（P67）（ ）跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）第二类间断点无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）題型设函数 fxe2 x，x0 应该怎样选axx0择数 a ，使得 f x成为在 R 上的连续函数？求解示例 f0e2 0e1e1f0a0af

8、0a2由连续函数定义limf xlimf xf 0 ex0x 0 ae高等数学期末复习资料第 2页（共 9页）第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（ ）題型证明：方程 fxg xC 至少有一个根介于 a 与 b 之间证明1（建立辅助函数）函数xfxg xC 在闭区间a, b 上连续；2ab0 （端点异号）3由零点定理，在开区间a,b 内至少有一点，使得0 ，即fgC01）（ 04这等式说明方程fxgxC 在开区间a,b内至少有一个根第二章导数与微分第一节导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（ ）題型已知函数 fxex1，x0 在 x 0axbx0处可导，求 a ， b求解示例 1f

9、 0 e01 ， f 0e01 e01 2f0 af0be0f0122由函数可导定义f0f0a1f0f0f0b2 a 1,b 2題型求yfx在 xa处的切线与法线方程（或：过 y fx图像上点a, fa处的切线与法线方程）求解示例 1 yf x ， y |x af a2切线方程： yfafaxa法线方程： yfa1xafa第二节函数的和（差） 、积与商的求导法则函数和（差） 、积与商的求导法则（ ）1线性组合（定理一） ： ( uv)uv特别地，当1时，有 (uv)uv2函数积的求导法则（定理二）： (uv)u vuv3函数商的求导法则（定理三）：uu vuvvv2第三节反函数和复合函数的求导

10、法则反函数的求导法则（ ）題型求函数 f1x的导数求解示例 由题可得fx为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且fx0；f1xf1x复合函数的求导法则（ ）題型设 ylnearcsin x 21x2a2，求 y求解示例 解： yarcsinx2 11x2a2earcsinx21x2a 2e1arcsinx21x21x2a2earcsinx21x2a2e1x212x2a22x1arcsinx212x212xearcsinx21x2a2e2x22x2a21arcsinx21xxearcsinx2 1x2a2ex212x2x2a2第四节高阶导数 fnxfn 1x（或 d n ydn 1y）（ ）dx

11、ndx n1題型求函数 yln 1x 的 n 阶导数求解示例 y11x1，1 xy1x111x2 ，y11x2121x3y n( 1)n 1 (n 1)！(1 x) n第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对x 求导）（ ）題型试求：方程yxey所给定的曲线C ：y y x 在点 1 e,1 的切线方程与法线方程求解示例 由 yx ey 两边对 x 求导即 y xey化簡得 y1eyy11 y1 e1 e1切线方程：y1x1e11 e高等数学期末复习资料第 3页（共 9页） ）法线方程： y 11e x1 e参数方程型函数的求导題型设参数方程xt，求 d 2 yytdx2d

12、2 ydydytdx求解示例 1.2.dx 2tdxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（dyfxdx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理） （ ）罗尔定理（ ）題型现假设函数fx 在 0,上连续，在 0,上可导，试证明：0,，使得 fcosfsin0成立证明1（建立辅助函数）令xfx sin x显然函数x 在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2又0f0sin00fsin0即003由罗尔定理知0,，使得 fcosfsin0 成立拉格朗日中值定理（ ）題型证明不等式：当x1时， exex证明1（建立辅助函数）令函

13、数fxex ，则对x 1 ，显然函数f x在闭区间1, x上连续，在开区间1, x上可导，并且fxex ；2由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式exe1x 1 e 成立，又 ee1 ， exe1x 1 e1e x e，化簡得 exe x ，即证得：当x1 时， exex題型证明不等式：当x0 时， ln 1xx证明1（建立辅助函数）令函数f xln1 x，则对x 0 ，函数 f x 在闭区间 0, x 上连续，在开区间 0,上可导，并且 fx1；1x2 由拉格朗日中值定理可得，0, x使得等式ln 1 xln 1010成立，x1化簡得 ln 1x1x ，又0, x，1 f11， ln 1 x

14、1 x x ，1即证得：当 x1时， exe x第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（ ）1 等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A 属于两大基本不定型（0 , ）且满足条件，0fxfx则进行运算： limxlimxx a gx a g（再进行 1、 2 步骤，反复直到结果得出）B 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） 0型（转乘为除，构造分式）題型求值： lim xln xx 0求解示例 ln xln x1解：xln x limlimlim1lim xx 0x 0 1 L x 0x 0xx12xx1 lim x0a

15、 x 0（一般地， lim xln x0 ，其中 ,R ）x 0 型（通分构造分式，观察分母）題型求值： lim11sin xxx0求解示例 解：11xsin xlimx sin xlimsin xlimx sin xx2x0xx 0x 00xsin x01cosx0limlim 1cos x 0limlim sin x0L x 0x2x 02xL x 02xx 02 00 型（对数求极限法）高等数学期末复习资料第 4页（共 9页）題型求值： lim xxx0求解示例 解：设yx,两边取对数得：ln xxln xxln yxln x1x对对数取x时的极限：ln ylimln xln x0lim

16、1limx 0x0Lx 0x1x1x，从而有ln ylim ln y0x 0limlim xlim ylim eee 10x01x0x 0x 02x 1 型（对数求极限法）1題型求值： lim cos xsin x xx0求解示例 ln cos xsin x解：令 y1,cosx sin x x , 两边取对数得 ln yx对 ln y求x0时的极限，limlnlncos xsin xy limxx0x00ln cos xsin xcos xsin x10从而可得0limlimsin x101,L x0xx 0 cos xlim y= lim eln ylim lnyeex 0e1x 0x 0

17、 0 型（对数求极限法）tan x題型1求值： limx0 x求解示例 1tan xtan x ln 1 ,解：令 y,两边取对数得 ln yxx对ln y求x时的极限，limtan x10lim ln ylnx 0x 0xln xln x1limlimlimx12x0Lx 01x 0sec xtan xtan2xtan x0sin2 xlimsin 2 x 02sin xcos x0,xlimxli m1x 0L x0x 0lim ln y从而可得 lim y= lim eln ye01ex 0x 0x0运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（ ）0000(1)(2)(3)010通分获得分式（

18、通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间） （ ）題型试确定函数fx2x39x212x3 的单调区间求解示例 1函数fx 在其定义域 R 上连续，且可导 f x 6x2 18x 122令 fx 6x1x 20 ，解得：x11, x223（三行表）x,111,222,fx00fxZ极大值极小值Z4函数 f x 的单调递增区间为,1 , 2,；单调递减区间为1,2題型证明：当 x0 时， exx1证明1（构建辅助函数）设xexx1 ，（ x

19、0）2x ex1 0 ，（ x0 ）x003既证：当 x0 时， exx 1題型证明：当 x0 时， ln 1xx证明1（构建辅助函数）设xln 1xx ，（ x0 ）2110 ，（x 0）x1 x x0 03既证：当 x 0 时， ln 1xx连续函数凹凸性（ ）題型试讨论函数 y 13x2x3 的单调性、极值、凹凸性及拐点证明高等数学期末复习资料第 5页（共 9页）y3x26x3xx21y6x66x1y3x x 2 0x10, x222令6x10解得：1yx3（四行表）x ( ,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yy1(1,3)54函数 y 13x2x3 单调递增区间为(0,1)

20、, (1,2)单调递增区间为(,0) , (2, ) ；函数y13x2x3 的极小值在x0 时取到，为 f 0 1，极大值在 x2 时取到，为 f25 ；函数 y13x2x3在区间 (,0) , (0,1) 上凹，在区间(1,2), (2,) 上凸；函数 y13x2x3的拐点坐标为1,3第五节 函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（ ）设函数f x的定义域为D ，如果xM 的某个邻o域 UxMD ，使得对x UxM，都适合不等式 f xfxM，我们则称函数fx在点xM , fxM处有极大值 f xM ；令 xMxM 1, x, xM 3,., xMnM 2则函数 fx在闭区间a, b

21、 上的最大值 M 满足：Mmax fa, xM 1, xM 2 , xM 3 ,., xMn , f b ；设函数 fx的定义域为 D ，如果xm 的某个邻域oUxmD ，使得对xUxm，都适合不等式 f x f xm ，我们则称函数fx 在点xm, fxm处有极小值fxm；令 xm xm1 , xm2 , xm3 ,., xmn则函数 fx在闭区间a, b 上的最小值m 满足：mminfa , xm1, xm2 , xm3 ,., xmn , fb ；題型求函数f x3x x3 在 1,3上的最值求解示例 1函数 f x 在其定义域1,3上连续，且可导 f x3x232令 f x3 x 1

22、x 1 0 ，解得： x11,x213（三行表）x11,111,3fx00fx极小值Z极大值4又 f12, f 12, f318 f x maxf12, fxminf318第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念（ ）原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数 Fx的导函数为 Fx，即当自变量 xI 时，有 Fxfx 或dFxfxdx 成立，则称F x为 fx的一个原函数原函数存在定理： （ ）如果函数 fx在定义区间 I上连续，则在I 上必存在可导函数Fx 使得 Fxfx，也就是说：连

23、续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（ ）在定义区间 I 上，函数 fx 的带有任意常数项C 的原函数称为fx 在定义区间 I 上的不定积分，即表示为：fx dxFxC（称为积分号，fx 称为被积函数，fx dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）基本积分表（ ）不定积分的线性性质（分项积分公式）（ ）k1 fxk2 g xdxk1fx dxk2g x dx第二节换元积分法第一类换元法（凑微分）（ ）（ dyfxdx 的逆向应用）fxx dxfxdx高等数学期末复习资料第 6页（共 9页）題型求12 dx2xa求解示例 解： 212 dx12 dx112 dx1 arctanxCax1xaxaaaa1a題型求1dx2x1求解示例 解：1dx11d 2 x11d2 x12x22 x22 x1112x1C第二类换元法（去根式） （ ）（ dyfxdx 的正向应用）对于一次根式（a0,bR ）：axb ：令 taxb ，于是 xt 2b，则原式可化为 taa0 ）：对于根号下平方和的形式（a2x2 ：令 xa tant （2t2），于是 tarctan x ，则原式可化为a sect ；aa0 ）：对于根号下平方差的形式（aa2x2：令 xa sin t （2t），arcsin x ，则原式可化为2于是 ta cost ；ab