高等数学洛必达法则 课件.ppt

《高等数学洛必达法则 课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学洛必达法则 课件.ppt（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、三 、 其 他 未 定 式 二 、 型 未 定 式一 、 型 未 定 式00第 二 节 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 洛 必 达 法 则 第 三 章 )( )(lim xg xf微 分 中 值 定 理 函 数 的 性 态导 数 的 性 态函 数 之 商 的 极 限导 数 之 商 的 极 限 转 化 00( 或 型 )( )(lim xg xf本 节 研 究 : 洛 必 达 法 则 洛 必 达 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 一 、 0)(lim)(lim)1 xFxf axax )( )(lim)3 xF xfax 存 在 (或 为 )( )(lim)( )(lim

2、xF xfxF xf axax ,)()()()2 内 可 导在与 axFxf 0)( xF且定 理 1.型 未 定 式00 (洛 必 达 法 则 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ( 在 x , a 之 间 )证 : 无 妨 假 设 ,0)()( aFaf 在 指 出 的 邻 域 内 任 取,ax 则 )(,)( xFxf 在 以 x, a 为 端 点 的 区 间 上 满 足 柯0)(lim)(lim)1 xFxf axax故 )()( )()()( )( aFxF afxfxF xf )( )(Ff )( )(lim xF xfax )( )(lim Ffax )( )(

3、lim xF xfax )3定 理 条 件 : 西 定 理 条 件 , 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )( )(lim)3 xF xfax 存 在 (或 为 ) ,)()()()2 内 可 导在与 axFxf 0)( xF且 推 论 1. 定 理 1 中 ax 换 为,ax ,ax ,x x之 一 ,推 论 2. 若 )( )(lim xF xf 满 足 定且型仍 属 )(,)(,00 xFxf 理 1条 件 , 则 )( )(lim)( )(lim xF xfxF xf )( )(lim xF xf 条 件 2) 作 相 应 的 修 改 , 定 理 1 仍 然 成 立 .,

4、x)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax 洛 必 达 法 则 定 理 1 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1. 求 .123lim 23 31 xxx xxx解 : 原 式 lim1 x 型00266lim1 x xx 23注 意 : 不 是 未 定 式 不 能 用 洛 必 达 法 则 ! 266lim1 x xx 166lim1 x 33 2 x 123 2 xx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 求 .arctanlim 12 xx x 解 : 原 式 lim x 型00 221lim xxx 121 1x 21x 11lim

5、21 xx思 考 : 如 何 求 nn n12 arctanlim ( n 为 正 整 数 ) ?型 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 型 未 定 式 )(lim)(lim)1 xFxf axax )( )(lim)3 xF xfax 存 在 (或 为 )( )(lim xF xfax定 理 2.证 : )( )(lim xF xfax仅 就 极 限 存 在 的 情 形 加 以 证 明 .)( )(lim xF xfax (洛 必 达 法 则 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,)()()()2 内 可 导在与 axFxf 0)( xF且 1) 0)(

6、)(lim xF xfax 的 情 形)( )(lim xF xfax limax )(1xF )(1xf limax )()(12 xFxF )()(12 xfxf )( )()( )(lim 2 xf xFxF xfax )( )(lim)( )(lim 2 xf xFxF xf axax )( )(lim)( )(lim1 xf xFxF xf axax )( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax 从 而 型00 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2) 0)( )(lim xF xfax 的 情 形 . 取 常 数 ,0k ,0 k kxF xfax

7、)( )(lim )( )()(lim xF xFkxfax )( )()(lim xF xFkxfax )( )()(lim xF xFkxfax kxF xfax )( )(lim)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax 可 用 1) 中 结 论 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3) )( )(lim xF xfax 时 , 结 论 仍 然 成 立 . ( 证 明 略 )说 明 : 定 理 中 ax 换 为之 一 , 条 件 2) 作 相 应 的 修 改 , 定 理 仍 然 成 立 .,ax ,ax ,xx,x 定 理 2 目 录 上 页 下 页 返

8、 回 结 束 例 3. 求 .)0(lnlim nx xnx解 : 型原 式 11lim nxx xn nx xn1lim 0例 4. 求解 : (1) n 为 正 整 数 的 情 形 .原 式 0 xnx exn 1lim xnx e xnn 2 2)1(lim xnx en !lim .)0, 0(lim nex xnx 型 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 求 .)0, 0(lim nex xnx(2) n 不 为 正 整 数 的 情 形 .nx从 而 xnexxkex xkex 1由 (1) 0limlim 1 xkxxkx exex 0lim xnx ex 用

9、 夹 逼 准 则kx 1 kx存 在 正 整 数 k , 使 当 x 1 时 , 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 .)0(0lnlim nx xnx例 3. 例 4. .)0, 0(0lim nex xnx说 明 :1) 例 3 , 例 4 表 明 x 时 ,lnx后 者 比 前 者 趋 于 更 快 .例 如 ,x xx 21lim 21lim xxx x xx 21lim 而 x xx 21lim 11lim 2 xx 1)0( xe,)0( nxn 用 洛 必 达 法 则2) 在 满 足 定 理 条 件 的 某 些 情 况 下 洛 必 达 法 则 不 能 解 决 计 算 问

10、 题 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3) 若 ,)()( )(lim 时不 存 在 xF xf .)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf 例 如 , x xxx sinlim 1cos1lim xx 极 限 不 存 在)sin1(lim x xx 1 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 其 他 未 定 式 : ,0 , ,00 ,1 型0解 决 方 法 :通 分转 化 00 0取 倒 数转 化 0010取 对 数转 化例 5. 求 ).0(lnlim0 nxxnx 型0解 : 原 式 nx x x lnlim0 110lim nxx x

11、n0)(lim0 nxnx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 型.)tan(seclim2 xxx 解 : 原 式 )cossincos1(lim2 xxxx xxx cossin1lim2 xxx sincoslim2 0例 6. 求 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 通 分转 化 00 0取 倒 数转 化 0010取 对 数转 化 例 7. 求 .lim0 xx x 型00解 : xx x0lim xxx e ln0lim 0e 1利 用 例 5 例 5 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 通 分转 化 00 0取 倒 数转 化 0010取 对 数转 化 例

12、 8. 求 .sintanlim 20 xx xxx 解 : 注 意 到 xsin 原 式 30tanlim x xxx 220 3 1seclim xxx 220 3tanlim x xx xx 22 tan1sec 31 x 型00 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 n n nne ln1 1例 9. 求 .)1(lim nn nn分 析 : 为 用 洛 必 达 法 则 , 必 须 改 求 .)1(lim 121 xxxx法 1 用 洛 必 达 法 则 型0但 对 本 题 用 此 法 计 算 很 繁 ! 21 lim nn法 2 )1(lim 121 nnnn 1ln1 nn

13、e 21lim nn nnln1 21lnlim n nn 0 u1ue原 式 例 3 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结洛 必 达 法 则 型00 ,1,0 型 型0型00 型 gfgf 1fg fggf 11 11 gfy 令 取 对 数 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 与 练 习1. 设 )( )(lim xg xf 是 未 定 式 极 限 , 如 果 )( )(xg xf不 存 在 , 是 否 )( )(xg xf 的 极 限 也 不 存 在 ? 举 例 说 明 .极 限 )1ln()cos1( cossin3lim.2 120 xx xx

14、xx 说 明 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 原 式 xxx xx 120 cossin3lim21 )1ln( x x)03(21 23分 析 : 分 析 : 20 3cos1lim x xx 30 lim xx3. xxxx 1sin1cotlim0原 式 xsin x1coslim0 xxxx sin222103lim xxx xcos1 221 x61 61 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xx xxxx 20 sin )sin(coslim ,1xt 则 20 11221lim t ttt 4. 求 xxxxx 122lim 23解 : 令 原 式 tt 2

15、lim0 21)21( t 21)1( t2 )1()21(lim 2323 210 ttt 41 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 作 业 P137 1 (6)， (7)， (9)， (12)， (13)， (16), 4 第 三 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 洛 必 达 (1661 1704)法 国 数 学 家 , 他 著 有 无 穷 小 分 析 (1696), 并 在 该 书 中 提 出 了 求 未 定 式 极限 的 方 法 , 后 人 将 其 命 名 为 “ 洛 必 达 法的 摆 线 难 题 , 以 后 又 解 出 了 伯 努 利 提 出 的 “ 最 速 降

16、 线 ” 问 题 ,在 他 去 世 后 的 1720 年 出 版 了 他 的 关 于 圆锥 曲 线 的 书 .则 ” .他 在 15岁 时 就 解 决 了 帕 斯 卡 提 出 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 求 下 列 极 限 : ;)11ln(lim)1 2 xxxx 解 : tttt 1)1ln(1lim 20 20 )1ln(lim t ttt .cossec )1ln()1ln(lim)3 220 xx xxxxx ;1lim)2 211000 xx ex )11ln(lim)1 2 xxxx )1(2lim0 tt tt 备 用 题 ttt 2 1lim 110 21

17、 )1( xt 令 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 令 ,12xt 则 tt et 50lim原 式 = tx et50lim 0 tt et4950lim 211000 1lim)2 xx ex 解 : tt e !50lim (用 洛 必 达 法 则 )(继 续 用 洛 必 达 法 则 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xx xxx cossec )1ln(lim 2220 1xx xxx cossec )1(lnlim 420 xx xxx cosseclim 420 0lim x 1sec 42sinlim 2 20 xxxxx xx xxxxx cossec )1ln()1ln(lim)3 220 解 : 原 式 = 342 xxxxtansec )sin( x 第 三 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束