普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(天津卷,含解析)

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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（天津卷）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第卷1 至 2页，第卷3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8 小题，每小题5 分，共 40 分。参考公式：如果事件A， B 互斥，那么P( A B)

2、= P( A)+ P( B) 棱柱的体积公式V=Sh. 其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 .一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A.B.C.D.【答案】 C【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C 选项 .点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 191 / 16C. 21D. 45【答案】 C【解析】分析：由题

3、意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：，可得点 A 的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C 选项 .3.设，则“”是“” 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.2 / 16本题选择A 选项 .点睛：本题主要考查

4、绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为 20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，结果为整数，执行，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B 选项 .点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：3 / 16(1) 要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2) 要识别、运行程序框图，理解框图所解决的

5、实际问题(3) 按照题目的要求完成解答并验证5.已知，则的大小关系为A.B.C.D.【答案】 D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a, b, c 的大小关系 .详解：由题意可知：，即，即，即，综上可得：.本题选择D 选项 .点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确6.

6、将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D.在区间上单调递减【答案】 A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：4 / 16.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项 A 正确， B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项 C， D 错误；本题选择A 选项 .点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转

7、化能力和计算求解能力 .7.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点 . 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A.B.C.D.【答案】 A【解析】分析：由题意首先求得A, B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（ c0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，则，则，5 / 16双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A 选项 .点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后

8、再根据a， b， c，e 及渐近线之间的关系，求出a， b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出 的值即可 .8.在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B.C. D. 0【答案】 C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项 .6 / 16点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要

9、注意数量积运算律的应用第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共12 小题，共110 分。二 填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 .9. i是虚数单位，复数_.【答案】 4 i【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知函数f ( x)=e xln x，为 f ( x) 的导函数，则的值为 _ 【答案】 e【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由函数的解析式可得：，则：

10、. 即的值为 e.点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .11.如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱柱A1BB1D1D的体积为 _ 7 / 16【答案】【解析】分析：由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.详解：如图所示，连结，交于点，很明显平面，则是四棱锥的高，且，结合四棱锥体积公式可得其体积为：.点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 在平面直角坐标系中，经过三点（0， 0），（1， 1），（2， 0）的圆的方程为 _ 【答案】【解析

11、】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0， 0），（ 1， 1），（ 2， 0），则：8 / 16，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1) 几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2) 待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式13.已知 a， b R，且 a 3b+6=0，则

12、2a+的最小值为 _【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3 b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立 .综上可得的最小值为.点睛： 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误14.已知 a R，函数若对任意x 3， + ）， f ( x) 恒成立，则a 的取值范围是 _ 【答案】 ， 2【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求

13、得最终结果.详解：分类讨论：当时，即：，整理可得：，9 / 16由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，则；当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，则；综合可得的取值范围是.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1) a f ( x) 恒成立 ? a f ( x) max； (2) a f ( x) 恒成立? a f ( x) min . 有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析三 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程

14、或演算步骤15.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动（）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的 7 名同学分别用 A， B，C， D， E， F， G表示，现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作（ i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ ii）设 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件发生的概率MM【答案】 ( ) 应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3 人， 2 人， 2 人； ( ) （ i ）答案见解析；（ ii） 【解析】分析： （）结合人

15、数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3 人， 2 人， 2人（）（ i ）由题意列出所有可能的结果即可，共有21 种（ ii）由题意结合（ i ）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（ M） = 详解：（）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3 人， 2 人， 2 人10 / 16（）（ i ）从抽出的7 名同学中随机抽取2 名同学的所有可能结果为 A， B ， A， C ， A， D ， A， E ， A， F ， A， G ， B， C ， B，

16、 D ， B， E ， B， F ， B， G ， C，D ， C， E ， C， F ， C， G ， D， E ， D， F ， D， G ， E， F ， E， G ， F， G ，共 21 种（ ii ）由（），不妨设抽出的7 名同学中，来自甲年级的是A，B， C，来自乙年级的是D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的7 名同学中随机抽取的2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B ， A， C ， B， C ， D， E ， F， G ，共 5 种所以，事件M发生的概率为P（ M） =点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算

17、公式等基本知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力16.在 ABC中，内角A， B， C所对的边分别为a,b,c 已知 bsin A=acos( B ) （）求角B 的大小；（）设 a=2， c=3，求 b 和 sin(2 A B) 的值【答案】 ( )B= ；( )b=，【解析】分析： （）由正弦定理有，结合，可得则 B= （）在 ABC中，由余弦定理可得b=则结合两角差的正弦公式可得详解：（）在 ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得 B= （）在 ABC中，由余弦定理及a=2， c=3， B= ，有，故 b=由，可得因为 a1 时， =0 ，解得 x1=， x2=易

18、得， g( x) 在 ( - ， x1 ) 上单调递增，在 x1 ，x2 上单调递减，在( x2，+) 上单调递增g( x) 的极大值 g( x1)= g()=0 g( x) 的极小值 g( x2)= g()= - 若 g( x2) 0，由 g( x) 的单调性可知函数 y=g( x) 至多有两个零点，不合题意若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以，的取值范围是点睛：导数是研究函数的单调性、极值( 最值 ) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2) 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值( 极值 ) ，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用16 / 16