理论力学题库第五章

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1、理论力学题库第五章一、 填空题1. 限制力学体系中各质点自由运动的条件称为 。质点始终不能脱离的约束称为 约束，若质点被约束在某一曲面上，但在某一方向上可以脱离，这种约束称为 约束。2. 受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是 ，此即 原理。3. 基本形式的拉格朗日方程为 ，保守力系的拉格朗日方程为 。4. 若作用在力学体系上的所有约束力在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则这种约束称为 约束。5. 哈密顿正则方程的具体形式是 和 。5-1. n个质点组成的系统如有k个约束，则只有 3n - k 个坐标是独立的.5-2.可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别，合称为 完整约束 .5-3自

2、由度可定义为：系统广义坐标的独立 变分数目 ，即可以独立变化的 坐标变更数 .5-4.广义坐标就是确定力学体系空间位置的一组 独立坐标 。 5-5.虚位移就是 假想的 、符合约束条件的、无限小的、 即时的 位置变更。 5-6.稳定约束情况下某点的虚位移必在该点曲面的 切平面上 。5-7.理想、完整、稳定约束体系平衡的充要条件是 主动力虚功之和为零 . 5-8.有效力（主动力 + 惯性力）的总虚功等于 零 。5-9.广义动量的时间变化率等于 广义力 （或：主动力+拉氏力）。5-10.简正坐标能够使系统的动能和势能分别用 广义速度 和 广义坐标 的平方项表示。5-11.勒让德变换就是将一组 独立

3、变数变为另一组 独立 变数的变换。5-12.勒让德变换可表述为：新函数等于 不要的变量 乘以原函数对该变量的偏微商的 和 ，再减去原函数。 5-13.广义能量积分就是 t 为循环坐标时的循环积分。5-14. 泊松定理可表述为：若是正则方程的初积分，则 也是正则方程的初积分.5-15.哈密顿正则方程的泊松括号表示为： ； 。5-16.哈密顿原理可表述为：在相同 始终 位置和 等时 变分条件下，保守、完整力系所可能做的真实运动是 主函数 取极值.5-17.正则变换就是 使正则方程 形式不变的广义坐标的变换。5-18.正则变换目的就是通过正则变换，使新的H* 中有更多的 循环坐标 。5-19. 哈密

4、顿正则方程为： ； 。5-20. 哈密顿正则变换的数学表达式为： 。二、选择题5-1. 关于广义坐标的理解，下列说法正确的是：【B】 A 广义坐标就是一般的坐标； B 广义坐标可以是线量，也可以是角量；C 一个系统的广义坐标数是不确定的；D系统广义坐标的数目一定就是系统的自由度数5-2. 关于自由度数目的理解，下列说法正确的是：【B】 A系统的自由度数目就是系统的独立的一般坐标的数目； B系统的自由度数目与系统的广义坐标的独立变更数目一定相同；C 一个系统的自由度数目是不确定的，与系统广义坐标的选取有关；D系统的自由度数目一定与系统的广义坐标的数目相同。5-3. 关于分析力学中的概念，找出错误

5、的说法：【D】 A 拉格朗日方程是S个二阶常微分方程组成的方程组； B 哈密顿正则方程是2S个一阶常微分方程组成的方程组； C 拉格朗日函数和哈密顿函数的变量不同； D 拉格朗日方程和哈密顿正则方程是分析力学中两个基本的方程，不能相互推演。5-4. 分析力学的特点中，正确的有：【C】 A 分析力学是对力学体系的分析过程的理论； B分析力学中系统的广义坐标一定与系统的空间坐标有关；C分析力学的研究方法是通过选定系统的广义坐标从而确定系统的运动规律；D 分析力学的研究方法只对力学体系有效5-5. 关于系统约束的分类，错误的描述有：【D】A 系统约束可分为几何约束和运动约束；B 系统约束可分为稳定约

6、束和不稳定约束；C 约束就是对物体运动的位置或速度进行限定；D运动约束就是完整约束。5-6. 分析力学中的循环坐标，下列描述中错误的有：【D】A 循环坐标是指拉格朗日函数中或哈密顿函数中不显含的广义坐标；B 循环坐标能使拉格朗日方程或哈密顿正则方程求解简单；C 循环坐标可以是线坐标，也可以是其它物理量；D 系统确定，循环坐标数目就一定确定5-7. 关于广义动量和广义速度，下列说法正确的有：【A】A广义速度可以是线速度，也可以是其他的物理量； B广义动量就是动量；C 广义动量等于系统的广义速度乘以系统的质量；D 广义动量的增量等于力对时间的冲量。5-8. 关于虚功指的是【B】A 当质点发生位移时

7、力所作的功；B 质点在约束可能范围内发生虚位移时力所作的功 ；C 虚力在质点发生位移时所作的功；D 虚力和虚位移所作的功。9. 设A、B两质点的质量分别为mA、mB，它们在某瞬时的速度大小分别为vA、vB，则C(A) 当vA=vB，且mA=mB时，该两质点的动量必定相等；(B) 当vA=vB，而mAmB时，该两质点的动量也可能相等；(C) 当vAvB，且mAmB时，该两质点的动量有可能相等；(D) 当vAvB，且mAmB时，该两质点的动量必不相等；12-2. 设刚体的动量为K，其质心的速度为vC，质量为M，则B(A) K=MvC式只有当刚体作平移时才成立；(B) 刚体作任意运动时，式K=MvC

8、恒成立；(C) K=MvC式表明：刚体作任何运动时，其上各质点动量的合成的最后结果必为一通过质心的合动量，其大小等于刚体质量与质心速度的乘积；(D) 刚体作任何运动时，其上各质点动量合成的最后结果，均不可能为一通过质心的合动量。10. 如果质点系质心在某轴上的坐标保持不变，则D(A) 作用在质点系上所有外力的矢量和必恒等于零；(B) 开始时各质点的初速度均必须为零；(C) 开始时质点系质心的初速度必须为零；(D) 作用在质点系上所有外力在该轴上投影的代数和必恒等于零，但开始时质点系质心的初速度并不一定等于零。11. 图示三个均质圆盘A、B、C的重量均为P，半径均为R，它们的角速度w的大小、转向

9、都相同。A盘绕其质心转动，B盘绕其边缘上O轴转动，C盘在水平面上向右滚动而无滑动。在图示位置时，A、B、C三个圆盘的动量分别用KA、KB、KC表示，则CwRAwRCwRB(A)KA=KB=KC;(B)KAKBKC;(C)KAKB=KC;(D)KA=KBKC;12. 图a所示机构中，O1AO2B，且O1A=O2B=10cm，曲柄O1A以匀角速度w=2rad/s绕O1轴朝逆时针向转动，O1、O2位于同一水平线上。图b所示CD杆的C端沿水平面向右滑动，其速度大小vC=20cm/s，D端沿铅直墙滑动。图c所示EF杆在倾角为45的导槽内滑动，契块以匀速u=20cm/s沿水平面向左移动。设AB、CD、EF

10、三均质杆的重量相等，在图示位置时，它们的动量矢量分别用KAB、KCD、KEF表示，则B(b)45vCCD(c)4545uEF45wO2O1BA(a) (A)KAB=KCDKEF; (B)KAB= KEF KCD; (C)KABKCD KEF; (D)KAB=KCD= KEF.13. 图示均质杆AB重W，其A端置于水平光滑面上，B端用绳悬挂。取图示坐标系oxy，此时该杆质心C的坐标xC=0。若将绳剪断，则CBAoWCyx(A) 杆倒向地面的过程中，其质心C运动的轨迹为圆弧；(B) 杆倒至地面后，xC0；(C) 杆倒至地面后，xC=0；(D) 杆倒至地面后，xCvbvc)抛出，它们的质量均为M。若

11、不计空气阻力，它们的质心加速度分别以aa、ab、ac表示。以下四种说法中，哪一个是正确的？A(b)vb(c)vcva(a)(A) aa=ab=ac；(B) aaababac；(D) aaabvbvc)抛出，它们的质量均为M。若不计空气阻力，它们的速度在坐标轴上的投影，有以下四种说法，其中哪些是正确的？ADva(a)(b)vb(c)vc(A) vax=常量，vbx=常量，vcx=常量；(B) vax常量，vbx=常量，vcx=常量；(C) vay常量，vby=常量，vcy常量；(D) vay常量，vby常量，vcy常量。CAB18.图示均质方块质量为m，A、B两处装有两个大小忽略不计的圆轮，并可

12、在光滑水平面上滑动，开始时方块处于静止状态，若突然撤去B端的滑轮支撑，在刚撤去滑轮B的瞬时，以下几种说法中，哪些是正确的？CEF(A) 在刚撤滑轮B的支撑时，方块的质心加速度acAC向下；(B) 只有在刚撤滑轮B的支撑时，方块的质心加速度ac铅直向下；(C) 滑轮B的支撑撤去后，方块质心加速度ac始终铅直向下；(D) 只有在刚撤滑轮B的支撑时，方块质心速度vc铅直向下；(E) 滑轮B的支撑撤去后，方块质心速度vc在x轴上的投影始终为零；(F)滑轮B的支撑撤去后，方块质心的x坐标xc始终保持不变。19. 图示一均质圆盘以匀角速度w绕其边缘上的O轴转动，已知圆盘的质量为m，半径为R，则它对O轴的动

13、量矩GO大小为AwROC(A) GO=3mR2w/2(B) GO=mR2w(C) GO=mR2w/2(D) GO=mR2w/320.图示一均质圆盘的质量为m，半径为R，沿倾角为a的斜面滚动而无滑动。已知轮心O的速度大小为v，则它对斜面上与轮的接触点C的动量矩大小GC为CvaCRO(A) GC=mRv/2;(B) GC=mRv;(C) GC=3mRv/2;(D) GC=5mRv/2.BAOww21.图示两均质细杆OA与AB铰接于A，在图示位置时，OA杆绕固定轴O转动的角速度为w，AB杆相对于OA杆的角速度亦为w，O、A、B三点位于同一铅直线上。已知OA和AB两杆的质量均为m，它们的长度均为L，则

14、该系统此时对O轴的动量矩大小为GO为A(A) GO=21mL2w/6;(B) GO=11mL2w/4;(C) GO=8mL2w/3;(D) GO=5mL2w/3.22.图示z轴通过某物体的质心C，该物体的质量为m，图示z1、z2、z三轴彼此平行，z1dbaz2zz1yxC与z两轴相距为a，z与z2两轴相距为b，z1与z2两轴相距为d，则由转动惯量的平行轴定理可得A(A) Jz1-Jz2=m(a2-b2);(B) Jz2= Jz1+md2;(C) Jz=Jz1+ma2;(D) Jz2= Jz+mb2.木铁，L/2L/2z3z2z1BAC23.图示一细棒由铁质和木质两段构成，两段长度相等，都可视为

15、均质的，其总质量为M。此棒对通过A、B、C的三轴z1、z2、z3的转动惯量分别用Jz1、Jz2、Jz3表示，则B(A) Jz1Jz2Jz3;(B) Jz2 Jz1 Jz3;(C) Jz1=Jz2Jz3;(D) Jz1=Jz3+M(L/2)2。24.图示A、B两轮的转动惯量相同。图a中绳的一端挂一重W的物块，图b中绳的一端作用一铅直向下的拉力T，且T=W。A轮的角加速度和它对转轴A的压力大小分别用eA和PA表示，B轮的角加速度和它对转轴B的压力大小分别用eB和PB表示，则ArrWBAT(a)(b)(A) eAeB;(D) PA=PB;m3m1eRBAC25.图示一绳索跨过均质的定滑轮B，绳的一端

16、悬挂一质量为m1的重物A；另一端悬挂一质量为m3的重物C。滑轮B的质量为m2，半径为R，其角加速度e设为顺时针向。绳索的质量忽略不计，则滑轮B的转动微分方程为C(A) (B) (C) (D) baqPACOB26.图示杆OA的重量为P，它对O轴的转动惯量为J，弹簧的刚性系数为c，当杆位于铅直位置时，弹簧无变形，则OA杆在铅直位置附近作微小摆动时的运动微分方程为B(A) (B) (C) (D) 27.图示均质圆盘，其转动惯量为JO，可绕固定轴O转动，轴承的摩擦不计。盘上绕以绳索，绳的两端各挂一重物A和B，它们的重量分别为PA和PB，且PAPB。设绳与圆盘间有足够的摩擦，使绳不在圆盘上打滑。悬挂A

17、、B两重物的绳索的张力分别为TA和TB。以下几种说法中，哪些是正确的？ADBwAw(A) TATB；(B) TA=TB；(C) TA aO(b)aO(c)；(C) aO(a)= aO(d)；(D) e(a) e(b) e(c)；(E) e(a)= e(d)。OCwe30.图示均质圆盘重P，半径为r，圆心为C，绕偏心轴O以角速度w转动，偏心距OC=e，该圆盘对定轴O的动量矩为B(A) (B) (C) (D) aAwBO31.图示无重刚杆焊接在z轴上，杆与z轴的夹角a90，两质量相同的小球A、B焊接在杆的两端，且AO=OB，系统绕z轴以不变的角速度w转动。以下四种说法中，哪个是正确的？B(A) 系

18、统对O点的动量矩守恒，对z轴的动量矩不守恒；(B) 系统对O点的动量矩不守恒，对z轴的动量矩守恒；(C) 系统对O点和对z轴的动量矩都守恒；(D) 系统对O点和对z轴的动量矩都不守恒。32.图示均质圆轮重为Q，半径为R，两重物的重分别为P1和P2，平面的摩擦忽略不计。以下所列的求圆轮角加速度的公式中，哪个是正确的？CRP1P2(A) (B) (C) (D) 33.图示均质圆轮绕通过其圆心的水平轴转动，轮上绕一细绳，绳的右端挂一重为P的重物，左端有一重量也是P的小孩，图(a)的小孩站在地面上，拉动细绳使重物上升；图(b)的小孩离地在绳上爬动而使重物上升。问以下的几种说法中，哪一个是正确的？B(b

19、)(a)(A) 两种情况，其整个系统（指小孩、圆轮和重物一起）对转轴的动量矩都守恒。(B) 图(a)的整个系统对转轴的动量矩不守恒，而图(b)的整个系统对转轴的动量矩守恒。(C) 图(a)的整个系统对转轴的动量矩守恒，而图(b)的整个系统对转轴的动量矩不守恒。(D) 两种情况，其整个系统对转轴的动量矩都不守恒。34.图示一小球绕点O在铅直面内作圆周运动。当小球由点A运动到点E时，若沿圆弧ADBE运动，其重力所作的功用W1表示；沿圆弧ACE运动，其重力所作的功用W2表示，则CDCBAOE(A) W1W2(B) W1 vC(b)vC(c)；(C) vC(a)vC(b) t(b)t(c)；(F) t

20、(a) t(b) w(b) w(c)；(C) 下滚距离s时，它们的角速度w(a) w(b) e(b) e(c)；(F) 它们下滚的角加速度e(a) e(b)FiFn(C) F1FiFn(D) F1FnPaaACF26.图示重为P的小车在力F作用下沿平直轨道作加速直线运动，力F作用于A点，小车的加速度为a，C为小车的质心。则用动静法分析时对小车添加的惯性力Fg是C(A) Fg= - F（加在A点）(B) Fg=- Pa/g（加在A点）(C) Fg=- Pa/g（加在C点）(D) Fg= - F （加在C点）27.图示均质细杆AB长为L，质量为m，绕A轴作定轴转动。设AB杆在图示铅直位置的角速度w

21、=0，角加速度为e。此时，AB杆惯性力系简化的结果是Dw=0eCBA(A) Rg=mLe/2（，作用于A点）Mg=0（顺时针向）(B) Rg=mLe/2（，加在质心C）Mg=mL2e/3（顺时针向）(C) Rg=mLe/2（，加在A点）Mg=mL2e/12（顺时针向）(D) Rg=mLe/2（，加在质心C）Mg=mL2e/12（顺时针向）28.均质圆轮的质量为m，半径为R，它在水平面上滚动而不滑动，其轮心O的加速度为a0，方向如图所示，C点为轮的速度瞬心。圆轮惯性力系简化的结果是BD(A) Rg=ma0（，加在C点）RaOCOMg=mRa0/2（逆时针向）(B) Rg=ma0（，加在O点）Mg

22、=mRa0/2（逆时针向）(C) Rg=ma0（，加在O点）Mg=3mRa0/2（逆时针向）(D) Rg=ma0（，加在C点）Mg=3mRa0/2（顺时针向）29.图示均质滑轮对通过其质心的转轴O的转动惯量为JO，绳两端物重WA=WB。已知滑轮转动的角速度w，绳重不计，则CBAOwWAWB(A) 两物块、和滑轮上各质点的惯性力均等于零(B) 两物块、和滑轮上各质点的惯性力均不等于零(C) 滑轮两边绳的张力相等(D) 滑轮两边绳的张力不相等eO2O1DCBAw30.图示均质矩形板ABCD重W，O1A和O2B两杆的长度相等，质量不计，O1O2=AB。设O1A杆转动到图示铅直位置时，其角速度w0，角

23、加速度e=0，该杆所受的力的大小为Sd。当系统在图示位置处于静止时，杆所受力的大小为S0，则D(A) 必有Sd=S0(B) 不可能有SdS0(C) 必有SdS0(D) 可能有SdmB)，在光滑水平面内受一定的水平力F作用，图(a)的两物体作加速运动，图(b)的两物体作减速运动。若A对B的作用力以FAB表示，B对A的作用力以FBA表示，以下几种说法中，哪个是正确的？AD(A) 图(a)和图(b)中均有FFAB；(B) 图(a)中FBAFAB，图(b)中FBAFAB；(C) 图(a)中FBAFAB；(D) 图(a)和图(b)中均有FBA=FAB。37.图示均质鼓轮重为P，轮上缠一绳索，绳的两端挂有

24、重为P1和P2的重物，P1P2，轮与绳之间无相对滑动，绳索的质量不计，轮上作用一力偶矩为M的力偶。若绳对P1重物的拉力为T1 ，绳对P2重物的拉力为T2 ，以下四种说法中，哪个是错误的？AP2P1M(A) 若M=0，必有T1=T2；(B) 若M0，则P1作加速下降时，有可能T1=T2；(C) 若MT2；(D) 当M=0时，必有T1T2。38.质点系的惯性力系向一点简化，一般得一主矢Rg和一主矩Mog。以下几种说法中，哪些是正确的？BD(A) 惯性力系简化的主矢Rg与简化中心位置有关；(B) 惯性力系简化的主矩Mog与简化中心位置有关；(C) 惯性力系简化的主矢Rg与简化中心位置无关；(D) 惯

25、性力系简化的主矩Mog与简化中心位置无关。39.以下几种说法中，哪些是正确的？BC(A) 当刚体绕定轴转动时，惯性力系的合力必作用在其质心上；(B) 当刚体作平移运动时，惯性力系的合力必作用在其质心上；(C) 只有当惯性力系的主矢等于零时，惯性力系的主矩与简化中心的位置无关；(D) 当刚体绕定轴转动时，惯性力系的主矩的大小等于Jze。40.以下几种说法中，哪个是正确的？D(A) 绕定轴转动的刚体，只有当其质心在转轴上，其轴承上就没有附加的动反力，而达到动平衡；(B) 具有对称平面的物体绕定轴转动时，若转轴垂直于此对称平面，就可达到动平衡；(C) 绕定轴转动的刚体，要使其达到动平衡，只要其转轴通

26、过刚体的质心就可以；(D) 绕定轴转动的刚体，要使其达到动平衡，不仅要其转轴通过刚体的质心，而且还要求转轴垂直于其质量对称平面。 二.简答题5.1 虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无

27、限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再

28、者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 为什么在拉格朗日方程中， q 不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小

29、，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由知，有功的量纲，据此

30、关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若是长度，则一定是力，若是力矩，则一定是角度，若是体积，则一定是压强等.3.广义动量和广义速度是不是只相差一个乘数m ？答 与不一定只相差一个常数，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。直角坐标系中质点的运动动能，若取为广义坐标，则，而，相差一常数，如定轴转动的刚体的动能，取广义坐标，而与相差一常数转动惯量，又如极坐标系表示质点的运动动能，若取，有，而，二者相差一变数；若取有，而,二者相差一变数.在自然坐标系中，取，有，而，二者相差一变数.从以上各例可看出：只有在广义坐标为长度的情况下，与才相差一常数;在广义坐标为角量的情形下，

31、与相差为转动惯量的量纲.为何比更富有物理意义呢？首先，对应于动力学量，他建立了系统的状态函数、或与广义速度、广义坐标的联系，它的变化可直接反应系统状态的改变，而是对应于运动学量，不可直接反应系统的动力学特征；再者，系统地拉格朗日函数中不含某一广义坐标时，对应的广义动量常数，存在一循环积分，给解决问题带来方便，而此时循环坐标对应的广义速度并不一定是常数，如平方反比引力场中，不含，故有常数,但常数；最后，由哈密顿正则方程知,是一组正则变量:哈密顿函数中不含某个广义坐标时，对应的广义动量常数，不含某个广义动量时，对应的广义坐标常数为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式得出约束方程

32、式？答只有对于完整系，广义坐标数等于自由度数，才能消去所有的约束方程，式（5.3.14）各才能全部相互独立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只适用于完整系，非完整力学体系，描述体系的运动需要的广义坐标多于自由度数，各不全部独立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式结合拉格朗日方程未定乘数法可用于非完整系。 5.6 平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么2 个常数只有2 个是独立的？答 力学体系在平衡位置附近的动力学方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式，其中，久期方程的各根（本征值）的性质决定体系平衡位置附近的小振动性质。因从本征方程（5.4.6

33、）式中可求出个的本征值（），每一个对应一个独立的常数故个常数中只有个是独立的。 5.7 什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？ 答多自由度体系的小振动，每一广义坐标对应于个主频率的谐振动的叠加。若通过坐标间线性变换使得每一广义坐标仅对应一个频率的振动，则变换后的坐标称之为简正坐标，对应的频率为简正频率，每一简正坐标对应一个简正频率，而简正频率数和力学体系的自由度数相等，故简正坐标数等于自由度数。 值得说的是，每一简正振动为整个力学体系所共有，反映的是各质点（整体）的振动之一，其他坐标都作为简正坐标的线性函数，由个简正振动叠加而成。这种方法

34、在统计物理，固体物理中都有运用。5.8 多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？对一完整的稳定的力学体系在有阻尼的情况下，它们在平衡位置附近将作衰减运动。引入耗散函数则阻力 力学体系的运动方程改为其中，中是的函数，把在平衡位形区域展开成泰勒级数高级项很小，只保留头一项，则均为常数。代入运动方程得把代入上式得本征值方程在，的小阻尼情况下，本征值，且振动方程为显然是按指数率的衰减振动。哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？答：拉格朗日方程只适用于完整系，哈密顿正则方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能适用

35、于完整的，保守的力学体系，对非保守体系（5.3.18）改写为其中为非有势力，或写为即。经勒让德变换后用课本上同样的方法可推得非保守系中的哈密顿正则方程 5.11 哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 答：若哈密顿函数不显含时间，则；对稳定约束下的力学体系，动能不是速度的二次齐次函数，则,是以哈密顿正则变量表示的广义总能量，因不稳定约束的约束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含约束力，故有此差异，此时并不是真正的能量；对稳定的，保守的力学体系，若含则是能量但不为常熟。5.12 何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？ 5.12答

36、：泊松括号是一种缩写符号，它表示已同一组正则变量为自变量的二函数之间的关系。若，则是物理学中最常用的泊松括号，用泊松括号可表示力学体系的运动正则方程用泊松括号的性质复杂微分运算问题化为简单的括号运算，这种表示法在量子力学，量子场论等课程中被广泛应用。每一正则方程必对应一个运动积分，利用泊松括号从正则方程=积分可以推出另外一个积分，这一关系称为泊松定理。5.13 哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号能否这样？答：哈密顿原理是用变分的方法确定运动规律的，它是力学变分原理的积分形式。基本思想是在描述力学体系的维空间中，用变分求极值的方法，从许多

37、条端点相同的曲线中挑选一条真是轨道确定体系的运动变化规律。因为对等时变分，故变分符号可置于积分号内也可置于积分号外，而不等时变分，故全变分符号不能这样。 5.14 正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？ d答：力学体系的哈密顿函数中是否有循环坐标系或循环坐标的数目与坐标系（或参变数）的选取有关，故在正则方程形式不变的前提下，通过某种变数变换找到新的函数，使之多出现一些循环坐标，此即正则变换的目的及公用。由于每一循环坐标对应一个运动积分，正则变换后可多得到一些运动积分，给解决问题带来方便，正则变换的关键是母函数的选取，其选取的原则是使中多出现循环坐标，但并无一定的规律可循，要具体问题具

38、体分析。 D 5.15 哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤. 答：哈密顿正则方程是个一阶微分方程的方程组，用泊松定理解之，由而已知运动积分求出其余的运动积分往往是已知解的线性组合或横等时，并不能给出新的解；而用正则变换可多得到一些循环坐标是正则方程立即有解，但母函数的选取往往很困难，哈密顿雅可毕理论的目的既是要弥补上述缺陷，通过一个特殊的正则变换，使得用新变量表示的哈密顿函数，此时全部为常数，这样哈密顿得主函数极为母函数，从而解决母函数难以寻找的困难。5.16 正则方程与及之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.16答：对（5.9.8）式若为不稳定约束，

39、只需以代替即可，故对（5.9.8）式分离变量后推出的（5.9.12）中也只需以代即可用于不稳定约束。正则方程利用哈雅理论后得到结果十分普遍，可同时得出运动规律，轨道级动量，故比拉格朗日方程优越。 5.17 在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？答：经典“牛顿力学”常用于几何的观点，运用形象化思维的方式，研究力学体系的受力情况及运动情况，然后通过运动非常及时物体的受力与运动变化间的相互联系和前因后果。这种方法形象，直观，物理意义鲜明，被广泛应用于工程实际。但由于它着眼于力，速度，加速度等矢量，给解决复杂的力学体系的运动问题带来许多不便；再者，它仅仅局限于纯力学体系的运动分析，其理论

40、与方法难以建立与其它学科的联系。5.18 分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价. ()5.18答：十九世纪发展起来的“分析力学方法弥补了上述缺陷，它用纯数学分析的方法用更具有概括性的抽象思维方式，从力学体系的一切可能的运动中挑选出实际运动的规律。这种方法尽管物理意义不如牛顿力学方法鲜明，但它给人们解决复杂力学体系的运动问题提供了有一方法；再者，由于广义坐标，广义力的引入使其理论在其它学科中也能广泛的应用。建立了经典物理学向近代物理学过渡的桥梁。四、计算题1.半径为的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为，试运

41、用虚功原理求棒的全长。2.试根据基本形式的拉格朗日方程推导保守力系的拉格朗日方程。3.长度同为的轻棒四根，光滑地联成一菱形。、两边支于同一水平线上相距为的两根钉上，间则用一轻绳联结，点上系一重物。设点上的顶角为2，试用虚功原理求绳中张力。4.设质量为的质点，受重力作用，被约束在半顶角为的圆锥面内运动。试以,为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。5.质量为的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身，质量为，又可在光滑水平面自由滑动。试求 质点水平方向的加速度； 劈的加速度。试用拉格朗日方程求解。6. 质量为半径为的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，

42、并悬挂一质量为的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。试用拉格朗日方程求解圆柱体质心的加速度，物体的加速度。7.半经为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试用虚功原理证明棒的全长为：解：建坐标如图示，棒受主动力为重力，作用点在质心c上，方向竖直向下，即由虚功原理得 由图可知又由几何关系知 所以对c求变分得代入虚功原理得由于 故整理得8.五根长度相同的匀质杆，各重为P用铰连接，与固定边AB成正六边形，设在水平杆的中点施力F以维持平衡，用虚功原理求力F之大小？解：设六边形边长为a，建坐标系如图，取角为广义坐标由虚功原理得：由几何关系知 变分，代入虚功原理 由于的任意性，