曲线积分与曲面积分

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1、Xiamen University厦 门 大 学 第 九 届 “ 景 润 杯 ” 数 学 竞 赛系 列 讲 座厦 门 大 学 数 学 科 学 学 院 林 建 华 2 2 2( )d ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d f x,y,z s f x t ,y t ,z t x t y t z t t ， , t 两 类 曲 线 积 分 计 算 的 公 式 为 一 、 空 间 曲 线 的 参 数 化若 积 分 曲 线 的 参 数 方 程 ,)(),(),( ttzztyytxx ，： )()(),(),(ddd txtztytxPzRyQxP dt)()(),(),()()(),(

2、),( tztztytxRtytztytxQ 计 算 的 关 键 是 如 何 将 空 间 积 分 曲 线 参 数 化 。下 面 将 给 出 积 分 曲 线 参 数 化 的 一 些 常 见 方 法 。由 计 算 公 式 可 以 看 出 1.设 积 分 曲 线 ,从 中 消 去 某 个 自变 量 ,例 如 ， 得 到 在 xoy平 面 的 投 影 曲 线 ， 这 些投 影 曲 线 常 常 是 园 或 是 椭 圆 ， 先 利 用 熟 知 的 参 数 方程 将 它 们 表 示 成 参 数 方 程 然 后 将 它们 代 入 到 ， 解 出由 此 得 到 ： 如 下 的 参 数 方 程 ：( , , )

3、0( , , ) 0F x y z G x y z ：z ( ), ( ),x x t y y t ( , , ) 0 ( , , ) 0F x y z G x y z 或 ( )z z t( ), ( ), ( ) , .x x t y y t z z t t ， 例 1 将 曲 线 ， (其 中 )用 参 数 方 程 表 示 。 2 2 2 2x y z a x y ： 0a 2.若 的 方 程 组 中 含 有 园 、 椭 圆 或 球 的 方 程 时 ，可 充 分 利 用 园 、 椭 圆 或 球 的 大 家 所 熟 知 的 园 的 参 数 方 程 x=rcost， y=rsint， 椭 圆

4、 参 数 方 程 x=acost， y=bsint， 球 坐 标 先 将 其 参 数 化 ， 再 代 入 的 另 一 方 程 ， 求 出 另一 变 量 的 参 数 表 达 式 。 = sin cos = sin sin = cosx a y a z a ， ， 例如：将球面上的三角形曲线参数化2 2 2 2+ = ( 0 =0 =0)x y z a x y z 或 或利用球坐标：= sin cos = sin sin = cosx a y a z a ， ，: = sin =0 = cos ;CA x a y z a ， ，: =0 = sin = cosCB x y a z a ， ，: =

5、 cos = sin =0AB x a y a z ， ， 0 2 ，0 2 ， 例 2 将 曲 线 ， (其 中 )用 参 数 方 程 表 示 。 2 22 2 2z x y x y ay ： 0a 2,0tsincos ，taay tax 例 3 将 曲 线 (其 中 )用 参 数 方 程 表 示 。2 2 2 2,0 x y z a x yx ： 0a 例 3 将 曲 线 (其 中 )用 参 数 方 程 表 示 。2 2 2 2,0 x y z a x yx ： 0a 故 举 一 反 三 练 习 将 曲 线 用 参 数 方 程 表 示 。2 2 1+ 1x y x z ：（ 1） 211

6、x x y xz x ： （ 2） cossin1 cosx yz ： 1. 注 意 到 曲 线 积 分 的 被 积 函 数 是 定 义 在 积 分 曲线 上 的 ， 因 此 它 的 自 变 量 应 满 足 积 分 曲 线 方 程 ， 所以 计 算 曲 线 积 分 之 前 ， 首 先 要 用 积 分 曲 线 方 程 去 化 简 被 积 函 数 。 二 、 曲 线 积 分 的 计 算 ( , )f x y( , ) 0,L x y ： ( , )f x y （ 1） 曲 线 关 于 x轴 对 称 ， 是 指 换 句 话 说 ， 若 则 它 的 对 称 点 ；（ 2） 曲 线 关 于 y轴 对 称

7、 ， 是 指 换 句 话 说 ， 若 则 它 的 对 称 点 ； 2.对 称 性 的 应 用 (以 第 一 类 平 面 曲 线 积 分 为 例 ) ( , ) ( , )=0,x y x y ( , ) ,x y L ( , )x y L ( , ) ( , )=0,x y x y ( , ) ,x y L ( , )x y L （ 3） 曲 线 关 于 原 点 对 称 ， 是 指 换 句 话 说 ， 若 则 它 的 对 称 点 ；（ 4） 曲 线 关 于 直 线 对 称 (或 对 称 )， 是 指 (或 ),换 句 话 说 ， 互 为 对 称 点 ， 互为 对 称 点 。 ( , ) ( ,

8、 )=0 x y y x ( , ) ,x y L ( , )x y L ( , ) ( , )=0,x y x y ( , ) ( , )x y y x与 ( , ) ( , )x y y x 与y x y x( , ) ( , )=0 x y y x 若 曲 线 积 分 的 被 积 函 数 在 任 意 的 对 称点 处 的 函 数 值 互 为 相 反 数 ， 则 ； 在 任 意 的 对 称 点 处 函 数 值 都 相 等 ， 则其 中 是 相 应 对 称 积 分 曲 线 的 一 半 。 ( , )dL f x y s 1L ( , )d 0L f x y s 1( , )d 2 ( , )

9、dL Lf x y s f x y s ， ( , )f x y 例 1 计 算 (1) ,其 中 ;(2) 其 中 ,周 长 为 a。2 4( )dsL x x y 2 2 2( 0)x y a a 2 22 22 3 4 sin ( )ds4 3 L x yxy x y ，2 2 14 3x yL ： 解 ： (1)由 于 L关 于 y轴 对 称 ， 被 积 函 数 x在 对称 点 处 的 函 数 值 互 为 相 反 数 ， 所 以 。由 于 L关 于 直 线 y=x对 称 ， 函 数 在 对 称点 处 互 为 相 反 数 ,所 以 .即 .从 而 有 0dsL x22 yx 0)ds(

10、22 L yx LL yx dsds 22 32222 ds21)ds(21ds aayxx LLL 由 于 L的 参 数 方 程 为所 以 2,0sincos ， yax 20 2222444 dsincossinds aaayL 0 4520 45 dsin2dsin aa 20 4522- 45 dsin4dsin2 aa 55 43224 134 aa L yxyxxy ds)34(sin432 2222 LL yxyxxy ds)34(sin121)34(12ds2 2222 a L 12ds)sin1211(120 (2)由 于 L关 于 x轴 对 称 ， 且 2xy在 对 称 点

11、 处 的 值 互为 相 反 数 ， 所 以 0ds2 L xy 例 2 设 ， 求 对 弧 长的 曲 线 积 分 ， 其 中 为 正 方 形 的 边 界 。解 ： 如 图 ,由 于 折 线ABEFG 对 关 于 直 线 y=-x对 称 ,且 在 对 称点 上 有 ,所 以e 0 2( , ) 0y x y xf x y 其 它( , )dL f x y s L| | | | 1x y ABEFGy-xL ssyxf de)d,( ),(),( xyfyxf 原 式 )dede(2de2)d,( BE y-xAB y-xABE y-xL ssssyxf ,210,1: xxy xxAB ， )1

12、e(22d2ede 210 21 xs x-AB y-x,0,21-1: xxy xxBE ， e,22d2ede 021 xsBE y-x )1e2(2)dede(2de2 BE y-xAB y-xABE y-x sss 例 3 计 算 其 中 。2 2 2( 2 )d y z y s ，2 2 2 2 ( 0)x y z a ay x ： ，解 ： 由 于 在 上 y=x,所 以 syzyxsyzy d)(d)2( 2222222 syasysa d2dd 222 由 例 1 的 参 数 方 程 为 则 所 以 2,0,sin,cos2,cos2 ttaztaytax： 20 22222

13、dt)sint()cost2()cost2()cost2(d aaaasy 2tdtcos2 320 23 aa 32222 22d)2( aasyzy 定 理 ( , , ) 0: , , , ,( , )F x y z P,Q R Fz x y 设 且 都 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则其 中 是 在 xoy平 面 上 的 投 影 曲 线 ， 其 方 向 与 的 方向 一 致 。 * ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ( , ) ( , , ( , ) ( , ) ( , , ( , ) ( , , ( , ) ( , )xyI P x y z dx

14、Q x y z dy R x y z dzP x y x y R x y x y x y dxQ x y x y R x y x y x y dy 一 类 特 殊 的 空 间 曲 线 积 分 的 计 算 方 法 例 4 2 2 2 2 2 2( )d (2 )d (3 )d ,I y z x z x y x y z 计 算 = 其 中解 :由 x y z x y z 是 平 面 + + =2与 柱 面 | |+| |=1的 交 线 ,从 轴 正 向 看2 2 ,x z y z x y dz dx dy 知 从 而1,x y 其 中 是 平 面 曲 线 ： | |+| | 逆 时 针 方 向 ,

15、再 利 用 格 林 公 式2 2 2 2 4 2 4 4 4d 2 3 4 8 8 8dx y xy x y x x y xy x y y 是 依 逆 时 针 方 向 。2 2 2 2 2 2= (2 ) d 2(2 ) d (3 )(d d )I y x y x x y x y x y x y D D= 2 ( 6)d d 12 d d 24I x y x y x y ( )d d 0D x y x y 上 式 应 用 了 对 称 性 （ 1） 若 积 分 曲 线 不 是 封 闭 ， 则 可 添 加 若 干 条 直 线 (或 曲线 )使 之 构 成 封 闭 曲 线 ， 再 应 用 格 林 公

16、 式 ； 3. 格 林 公 式 的 应 用( , )d ( , )d ( )d dL D P QP x y x Q x y y x yx y （ 2） 若 封 闭 曲 线 L所 围 成 的 区 域 D内 有 “ 奇 点 ”,则 在 奇 点 外 成 立 等 式 的 条 件 下 ， 有 成 立 ， 其 中 L是 围 绕 奇 点 且 同 L具 有 相 向 方 向 的 简 单 闭曲 线 ， 通 常 是 园 或 椭 圆 等 。 P Qy x ( , )d ( , )d ( , )d ( , )dL LP x y x Q x y y P x y x Q x y y 例 1 设 ， 记 为 它 的 正 向

17、边 界 曲 线 。 证 明 ：sin -sinx -sin sinxe d e d e d e d 2y yL Lx y y x x y y x L,10,10),( yxyxD解 ： 由 格 林 公 式 得 D yL y yxyyxxxyyx dd)e()e(dede sinx-sinsinxsin- D y yxd)dee( sinx-sin 2ddee2d)dee( sinx-sinxsinx-sinx DD yxyx sin sinxe d e d 2yL x y y x 类 似 可 证 DD yxyx ddedde -siny-sinx其 中 是 由 于 是 关 于 直 线 y=x对

18、 称 . 例 2 计 算 ， 其 中 是 以 (1,0)为 中 心 R(R1)为 半 径 的 正 向 圆 周 。2 2d d4L x y y xx y L,( , ) (0,0)Q P x yx y 由 于 所 以 2 2 2 2 2d d d d 1 24 4L l lx y y x x y y x xdy ydxx y x y 例 3 已 知 关 于 坐 标 的 曲 线 积 分 (常 数 )，其 中 函 数 可 导 ， 且 是 围 绕 (0,0)的任 一 分 段 光 滑 正 向 闭 曲 线 ， 求 （ 1） 函 数 的 表达 式 ； （ 2） A的 值 。 2d d( )L x y y x

19、 Ax y ( )x (1) 1 L ， ( )x 解 ： （ 1） 为 了 应 用 格 林 公 式 求 出 ， 首 先 证明 对 于 任 一 不 包 含 原 点 的 分 段 光 滑 的 正 向 闭曲 线 C， 都 有 . 因 为 未 知 ， 所 以 原 点 有 可 能 是 被 积 函 数 的不 连 续 点 ， 故 x( )0)( dd 2 C yx xyyxx( ) BAABC yx xyyxyx xyyxyx xyyx m 2n 22 )( dd)( dd)( dd 0)( dd)( dd mAl 2nl 2 AAyx xyyxyx xyyx BAABA 由 此 可 知 对 有 ：成 立

20、， 整 理 即 得 )0,0(),( yx y yx yx yx x )()( 22 22 )()()( yxxxyx 解 此 微 分 方 程 得 . 2)( Cxx 由 于 ，1)1( 所 以C=1， 所 求 的 .2)( xx (2)取 L1为 正 向 圆 周 ,则122 yx 2dxdy2dd11)( dd 1x2 2211 yLL xyyxyx xyyxA （ 1） 柱 面 被 曲 面 截 下 部分 的 面 积 。 计 算 公 式 为 ， 其 中 在 xoy面 上的 投 影 曲 线 . 4 利 用 曲 线 积 分 来 计 算 曲 面 的 面 积( , ) 0F x y ( , )dsC

21、S z x y z z( , )x y ：1 ( , ) 0F x y ： s：L ( , ) 0F x y 的 交 线与 0),(),( yxFyxzz 例 1 求 柱 面 位 于 球 面 之 内 的 侧 面 的 面 积 。3 32 2 1x y 2 2 2 1x y z S解 ： 由 于 关 于 三 个 坐 标 面 都 对 称 ,所 以 (S0是 S位 于 第 一 卦 限 部 分 的 面 积 )。 由 对 弧 长 的曲 线 积 分 的 几 何 意 义 ， 知 道 08SS C yxS ds1 220 20 23232323 dt)tsin()tcos(1)tsin()tcos(1 所 以

22、20 2220 22 tdttsincos33costsintdt3ttsincos3 1633t)dtsin-t(sin33 20 42 2338 0 SS 举 一 反 三 练 习 计 算 圆 柱 面 被 球 面截 下 的 那 部 分 的 面 积 。2 2x y ax 2 2 2 2x y z a 2(4 )a （ 2） 由 坐 标 面 上 的 平 面 曲 线 绕 某 轴 旋 转 一 周 而 成 的 旋 转 曲 面 的 面 积 。 例 如 yoz平 面 上 的 曲 线 绕 y轴 旋 转 一 周 而 成 的 旋 转 曲 面 的 面 积 .计 算 公 式 为 2 | ( )|ds. CS f y

23、 C: ( )( )z f y a y b 例 2 设 ， ，求 的 表 面 位 于 内 部 分 的 的 面 积 。2 2 21 1x y z ： 2 2 2 2x y z z ：1 解 ： 的 表 面 位 于 内 部 分 的 曲 面 ,可 以 看 成 是 由AB绕 z轴 旋 转 一 周 而 成 的 旋 转 的 侧 面 ，其 中 ,所 以1 1)21(1: 2 zzyAB dzy112ds12ds|)(|2 121 2z2121 2 zzyfS C 121121 222 dz2dz1112 zzz 三 、 曲 面 积 分 的 计 算 （ 1） 曲 面 关 于 xoy平 面 对 称 ， 是 指

24、若 则 它 关 于 xoy平 面 的 对 称 点 ；（ 2） 曲 面 关 于 原 点 对 称 ， 是 指 则 它 的 对 称 点 ； (3) 曲 面 关 于 平 面 对 称 ， 是 指 则 它 的 对 称 点 ； ( , , )x y z y x( , , )x y z ( , , ) ,x y z ( , , )y x z ( , , ) ,x y z ( , , ) ,x y z ( , , )dSf x y z1. 第 一 类 曲 面 积 分 的 对 称 性 若 被 积 函 数 的 在 对 称 点 处 的 函 数 值 互 为 相 反 数 ， 则 ；在 对 称 点 处 函 数 值 相 等

25、， 则 其 中 是 相 应 对 称 积 分 曲 面 的 一 半 。与 曲 线 积 分 类 似 ， 可 用 边 界 曲 面 方 程 来 简 化 被 积 函 数 ，以 达 到 化 简 曲 面 积 分 计 算 的 目 的 。( , , )f x y z 1 1( , , )dS 2 ( , , )dSf x y z f x y z ，( , , )dS 0f x y z 例 1 求 下 列 曲 面 积 分（ 1） ， 其 中 ；（ 2） ， 其 中 .1 2 2 2( )dSx y z 2 2 21 2 zx y z R ： 2 2( 1) dSx y z 2 2 2 22 (z 0)x y z R

26、 ： 解 ： (1) 1111 dS2dS)(2dS2)dS( 222 RRRzRRzzyx由 于 关 于 平 面 z=R 对 称 ,且 函 数 z-R在 对 称 点处 的 值 互 为 相 反 数 ,故1 0dS)( 1 Rz 4222222 842dS2)dS( 11 RRRRzyx 解 ： (2)故 2 dS1)( 2zyx 2 1)dS( 222 zyx 2 1)dS(2 zyx 2 1)dS(2 zy 2 dS2 z 1)(221)(1)dS(1)dS( 22222222 22 RRRRRzyx 01)dS(2 zyx 01)dS(2 zy 32y2x222 2222222 dxdyd

27、xdy1dS RRzzyxRz RyxRyx 3222 2)1(2dS1)(2 RRRzyx （ 1） 设 曲 面 关 于 xoy平 面 对 称 ， 若 被 积 函 数 在 对 称 点 处 的 函 数 值 互 为 相 反 数 ， 则 ；在 对 称 点 处 函 数 值 相 等 ， 则 ，其 中 是 相 应 对 称 积 分 曲 面 的 一 半 。 1( , , )dxdy 2 ( , , )dxdyR x y z R x y z ( , , )R x y z ( , , )dxdy 0R x y z ( , , )dxdyR x y z2. 第 二 类 曲 面 积 分 的 对 称 性 及 高 斯

28、公 式 1( , , )dydz, ( , , )dzdxP x y z Q x y z 的 对 称 性 类 似 。 若 x与 y互 换 ， 的 方 程 及 侧 不 变 ， 则 若 x与 z互 换 ， 的 方 程 及 侧 不 变 ， 则( , , )dydz ( , , )dzdx.P x y z P y x z ( , , )dzdx ( , , )dydz,Q x y z Q y x z ( , , )dzdx ( , , )dzdx.Q x y z Q z y x ( , , )dydz ( , , )dxdy,P x y z P z y x （ 2） 当 不 是 闭 曲 面 时 ， 适

29、 当 添 上 一 块 外 侧 曲 面 ,使 得 组 成 闭 曲 面 (所 围 成 的 闭 区 域 为 )， 于 是高 斯 公 式 为 1dydz dzdx dxdy( )d dydz dzdx dxdyx y zP Q RP Q R v P Q R 1 1 （ 3） 当 是 外 侧 闭 曲 面 ， 是 它 所 围 的 闭 区 域 ， 在 的 内 部 有 不 连 续 点 时 ，可 以 作 位 于 内 部 的 外 侧 闭 曲 面 ,将 点 包 围 起 来 ， 这 个 闭 曲 面 常 常 是 小 球 面 、 小 椭 球 面 ，于 是 高 斯 公 式 为 11dydz dzdx dxdydydz dz

30、dx dxdy dydz dzdx dxdyP Q RP Q R P Q R x y zP Q R ， ， 0 0 0( , , )P x y z1 0 0 0( , , )P x y z1 1( )d dydz dzdx dxdyx y zP Q R v P Q R 0 0 0( , , )P x y z当 在 上 除 点 外 处 处 有 时 ， 0 x y zP Q R 1dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy.P Q R P Q R 11dydz dzdx dxdydydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdyP Q RP Q R P Q R 例 2 其

31、中 是 上 半 椭 球 面 的 外 侧 。32 2 2 2dydz dzdx dxdy,(4 4 )x y zI x y z 22 2 14zx y dxdydzdxdydz81)44( dxdydzdxdydz 23222 zyxzyx zyxI解 ： 由 于 x与 y互 换 ， 的 方 程 及 侧 不 变 ， 且 关 于yoz平 面 对 称 ， 且 被 积 函 数 在 对 称 点 处 的 值互 为 相 反 数 ， 所 以 dxdydzdxdydz zyx 1 dxdydydz4dxdydydz2 zxzx其 中 是 的 部 分 ， 前 侧 ， 是 在 yoz平 面 上 的 投 影 .1 0

32、 x yzD 1 38414dydz414dydz4 1 yzD 22 椭 球Vzyx 故 原 式其 中 是 椭 球 的 体 积 .椭 球V 14222 zyx xy dxdy12dxdy 22D yxz 34 )1(2 222 的 体 积上 半 球 体 zyx 2)3438(81 I 例 3. 计 算 曲 面 积 分 其 中 是 球 面 的 外 侧 。2 2 22 1 1dydz dzdx dxdy,cos cos cosI x x y z z 2 2 2 1x y z 解 ： 由 于 关 于 zox平 面 对 称 ,函 数 在 对 称 点处 的 值 相 等 ， 所 以 。 当 x与 z互

33、换 时 ， 的 方 程 及 侧 不 变 ， 所 以 21cos y21 dzdx=0cos y 2 22 1= dydz dxdycos cosI x x z z 2 2 22 1 1dxdy dxdy= dxdyzcos z cos zcos zz z 其 中 是 的 的 部 分 ,且2 2 22 1 1dxdy dxdy= dxdyzcos z cos zcos zz z 1 xy 2 2xy2 2 2 2 2 21 dxdy=2 dxdy=2 ( + 1)zcos z 1 cos 1D D x yx y x y ：2 1 2 2 20 0 rdr=2 d =4 tan11 r cos 1

34、 r 2 21 z= 1 x y ： z 0 21zcos z在 对 称 点 处 的 值 互 为 相 反 数 ， 所 以 有 12 21 1dxdy=2 dxdyzcos z zcos z 例 4 计 算 其 中 是 柱 面 及 两 平 面 所 围 立 体 表 面 的 外 侧 。 22 2 2dydz dxdy,x zI x y z 2 2 2x y R ,z R z R 解 ： 是 外 侧 曲 面 ， 但 原 点 在 内 部 ， 都 不 连 续 (没 定 义 ),从 而 不 能 运 用 高 斯 公 式 . 222 2222 zyx zzyx x ，又 关 于 xoy平 面 对 称 ， 在 对

35、 称 点 处 的值 相 等 ,所 以 222 2 zyx z 0dxdy 222 2 zyx z 于 是其 中由 积 分 性 质 ， 有 321 222222222 dydzdydzdydz zyx xzyx xzyx x 222 dydz zyx xI ，： Rz 1 ，： Rz 2 2223 Ryx ： 0dydz0dydz 21 222222 zyx xzyx x ，又 关 于 yoz平 面 对 称 ， 在 对 称 点 处 的值 互 为 相 反 ,所 以3 222 zyx x 其 中 是 的 的 部 分 ,前 侧 , 是 在3yoz平 面 的 投 影 。3 yz33 dydz2dydz2

36、dydz 22 22222222 D zR yRzyx xzyx x RzRdyyRRR RR 22222 21dz12 0 x yzD 3 例 5 求 曲 面 积 分 ，其 中 是 上 半 球 的 上 侧 。 2 2 2dydz dzdx dxdy,I x y z 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x a y b z c R z c 解 ： 令 ， 则 成 为 上 半 球 面的 上 侧 。 czw byv axu )0(: 22221 wRwvu 001 dd)(dd)(dd)( dd)(dd)(dd)( 222 222 vucwuwbvwvau vucwuwbvwvauI其 中

37、添 加 02220 wRvu ，： (下 侧 )使 0闭 曲 面 ,应 用 高 斯 公 式 计 算 。 2234 )(3421 RcRcbaRI 是 外 侧 例 6 计 算 其 中 是 曲 面 的 外 侧 。32 2 2 2dydz dzdx dxdy,( )x y zI x y z | | | | | | 1x y z 解 ： 由 于 在 原 点 不 连 续 ， 所 以 不 能 直 接 应 用 高 斯 公 式 。 232222322223222 )()()( zyx zzyx yzyx x ，为 此 作 小 球 面 2222 zyx： 使 之 含 在 中并 取 外 侧 .由 于 除 原 点 外 ， 都 有 0 zRyQxP成 立 ,故 23222 )( dxdydzdxdydz zyx zyxI 4dv31)( dxdydzdxdydz 323222 zyx zyx