微分方程模型-传染病

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1、引 言5.1 传 染 病 模 型5.4 药 物 在 体 内 的 分 布 与 排 除 （ 房 室 模 型 ）5.6 人 口 预 测 和 控 制 微 分 方 程 模 型 May. 05, 2003 a disease that has rocked Asian markets, ruined the tourist trade of an entire region, nearly bankrupted airlines and spread panic through some of the worlds largest countries. 问 题 描 述 传 染 病 的 传 播 过 程 分

2、析 受 感 染 人 数 的 变 化 规 律 预 报 传 染 病 高 潮 到 来 的 时 刻 预 防 控 制 传 染 病 蔓 延5.1 传 染 病 模 型三 类 人 已 感 染 者 (Infective, 病 人 )未 感 染 者 (Susceptible， 易 感 染 者 )移 出 者 (Removed， 治 愈 免 疫 ， 隔 离 ， 死 亡 等 ) 已 感 染 人 数 (病 人 ) i(t) 每 个 病 人 每 天 有 效 接 触(足 以 使 人 致 病 )人 数 为 Malthus模 型假 设 ttititti )()()( 若 有 效 接 触 的 是 病 人 ，则 不 能 使 病 人

3、数 增 加 必 须 区 分 已 感 染 者 (病人 )和 未 感 染 者 (健 康 人 )建 模 0)0( ii idtdi it teiti 0)( ? 短 期 预 测 模 型 sidtdi 1)()( titsLogistic模 型 （ SI模 型 ）区 分 已 感 染 者 (infective)和 未 感 染 者 (易 感 染 者 susceptible)假 设 1） 总 人 数 N不 变 ， 病 人 和 健 康 人 的 比 例 分 别 为 )(),( tsti 2） 每 个 病 人 每 天 有 效 接 触 人 数为 , 且 使 接 触 的 健 康 人 致 病建 模 ttNitstitt

4、iN )()()()( 0)0( )1(ii iidtdi 日接 触 率AIDS等 teiti 111 1)( 0 0)0( )1(ii iidtdi 1/2 tmii010 t 2111ln 01 iitm 时 ，tm传 染 病 高 潮 到 来 时 刻 (日 接 触 率 ) tm 1 it Logistic 模 型所 有 人 被 感 染 ? ?t=tm, di/dt 最 大 感 染 无 治 愈 模 型Logistic模 型 SIS模 型 传 染 病 无 免 疫 性 病 人 治 愈 成为 健 康 人 ， 健 康 人 可 再 次 被 感 染增 加 假 设 伤 风 、痢 疾 等3） 病 人 每 天

5、 治 愈 的 比 例 为 日 治 愈 率 ttNittitNstittiN )()()()()( 建 模 / 日 接 触 率1/ 感 染 期 一 个 感 染 期 内 每 个 病 人 的 有效 接 触 人 数 ， 称 为 接 触 数 。 0)0( )1(ii iiidtdi 有 治 愈 无 免 疫 模 型 Susceptible Infective Susceptible SIS的 解 析 解 ( )0 ( )0 00(1 )( 1) (1 )( ) 1 tti ei ei t ii t 试 试 看 ： 解 析 解 怎 样 求 ？dsolve(Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y,y(0)

6、=i0,t) 1,0 1,11)( i )11( iidtdiSIS模 型 i0i0 接 触 数 =1 阈 值 / 1 )(ti形 曲 线 增 长按 Sti )( 感 染 期 内 有 效 接 触 感 染 的人 数 不 超 过 病 人 数小0 1i 1-1/ i0iiidtdi )1(思 考 ： Logistic模 型 (SI模 型 )如 何 看 作 SIS模 型 的 特 例 ？idi/dt0 1 1 0 ti 11-1/ i0 t 1di/dt 0 SIR模 型 传 染 病 有 免 疫 性 病 人 治 愈后 即 移 出 感 染 系 统 ， 称 移 出 者 肝 炎 、SARS等假 设 1） 总

7、人 数 N不 变 ， 病 人 、 健 康 人 和 移出 者 的 比 例 分 别 为 )(),(),( trtsti2） 病 人 的 日 接 触 率 , 日 治 愈 率 , 接 触 数 = / 建 模 1)()()( trtits需 建 立 的 两 个 方 程)(),(),( trtsti有 治 愈 有 免 疫 模 型 Susceptible Infective Removed ttNittitNstittiN )()()()()( SIR模 型 很 小 ）通 常 000 )0(1 rrsi 无 法 求 出 的 解 析 解 ！ ！ ！ )(),( tsti在 相 平 面 上研 究 解 的 性 质

8、is ttitNststtsN )()()()( 00 )0(,)0( ssii sidtds isidtdi 思 考 ： r(t)的 方 程 ？ R0=S/=S表 示 平 均 每个 病 人 总 传 播 人 数 。R01/ i(t)先 升 后 降 至 0P2: s01/ i(t)单 调 降 至 0 1/ 阈 值P3P4 P2S0 ss ss00 lnln SIR模 型 预 防 传 染 病 蔓 延 的 手 段 (日 接 触 率 ) 卫 生 水 平 (日 治 愈 率 ) 医 疗 水 平 传 染 病 不 蔓 延 的 条 件 s01-1/ 1000 ris 提 高 阈 值 1/ 降 低 (=/) ,

9、群 体 免 疫 疫 情 实 证 分 析 (Kermack, P143图 )00 2 20 22 202 2 2 1 00 0 0,1 (1 )1 1 )2( ), 2 ( )2 11) 2 , ( )rrds dr dssi i s s s edt dt drdrs i r r s edtdr rr r s rdt drr t tdt s ch ss s i th 1 时 , （解 得 再 求 导 得其 中 （19041905年 ， 孟 买 及 西 北 部 各 省 和 旁 遮 普 邦 发 生 瘟疫 ， 平 均 每 周 死 亡 1.8万 人 。 r-孟 买 死 亡 人 数 。 SARS疫 情 的

10、 实 证 分 析 与 Kermack同 样 的 方 法 王 铎 ,赵 宵 飞 .SARS疫 情 的 实 证 分 析 和 预测 J.北 京 大 学 学 报 (医 学 版 ),2003,5(S):72-74. 一 句 话 小 结 不 同 的 领 域 可 以 共 享 相 同 或 类 似 的 数 学 模型 ， 但 所 关 注 的 问 题 会 有 所 不 同 ； 不 能 求 得 解 析 解 的 方 程 仍 可 用 相 轨 线 办 法分 析 解 的 性 质 。 进 一 步 的 问 题 考 虑 出 生 和 死 亡 因 素 的 传 染 病 模 型 考 虑 潜 伏 期 的 传 染 病 模 型 SEIR 考 虑

11、被 动 免 疫 的 传 染 病 模 型 MSIR 考 虑 随 机 接 触 率 的 传 染 病 模 型 SSIR 参 考http:/en.wikipedia.org/wiki/Epidemic_model 补 充 习 题1. 理 论 证 明 P143第 13行 。2. 在 SIR 模 型 中 考 虑 出 生 与 死 亡 的 因 素 。 假设 全 体 人 群 以 相 同 出 生 率 生 育 婴 儿 ， 且 婴儿 为 易 感 人 群 。 死 亡 率 与 出 生 率 相 等 ， 从而 人 群 总 数 不 变 。 试 建 立 数 学 模 型 描 述 疾病 的 流 行 特 征 ， 并 分 析 传 染 病

12、不 蔓 延 的 条件 。 房 室 系 统 的 概 念 二 房 室 模 型 的 建 立 模 型 求 解 不 同 给 药 方 式 分 析 参 数 估 计 技 巧 进 一 步 推 广5.4 药 物 在 体 内 的 分 布 与 排 除（ 药 物 动 力 学 之 房 室 模 型 ） 药 物 进 入 机 体 形 成 血 药 浓 度 (单 位 体 积 血 液 的 药 物 量 ) 血 药 浓 度 需 保 持 在 一 定 范 围 内 给 药 方 案 设 计 药 物 在 体 内 吸 收 、 分 布 和 排 除 过 程 药 物 动 力 学 建 立 房 室 模 型 (Compartmental Models) 房 室

13、 机 体 的 一 部 分 ， 药 物 在 一 个 房 室 内 均 匀分 布 (血 药 浓 度 为 常 数 )， 在 房 室 间 按 一 定 规 律 转 移 本 节 讨 论 二 室 模 型 中 心 室 (心 、 肺 、 肾 等 )和 周 边 室 (四 肢 、 肌 肉 等 )药 物 动 力 学 之 房 室 系 统 中 心 室 周 边 室给 药 排 除)(0 tf 1 11 )(),( V txtc 2 22 )(),( V txtc12k21k13k )()( 02211131121 tfxkxkxktx 模 型 假 设 中 心 室 (1)和 周 边 室 (2),容 积 不 变 药 物 在 房 室

14、 间 转 移 速 率 及 向 体 外 排 除 速 率 ，与 该 室 血 药 浓 度 成 正 比 药 物 从 体 外 进 入 中 心 室 ， 在 二 室 间相 互 转 移 ,从 中 心 室 排 出 体 外模 型 建 立2,1 )( )(iV tc txiii 容 积浓 度药 量 2211122 )( xkxktx 复习：常系数齐次线性方程组通解(n=2)dx Axdt | | 0I A 特 征 方 程(1)两 个 不 等 的 实 数 特 征 根 , , (2)两 个 相 等 的 实 数 特 征 根 =, (3)两 个 共 轭 复 数 特 征 根 i, 1 1 12 2 2( )( ) t tt

15、tx t A e B ex t A e B e 1 1 12 2 2( ) ( )( ) ( ) t tx t A B t ex t A B t e 1 1 12 2 2( ) ( cos sin )( ) ( cos sin ) t tx t A t B t ex t A t B t e tt tt eBeAtc eBeAtc 222 111 )( )( 1321 132112kk kkk 221112212 1022112113121 )( )()()( ckckVVtc V tfckVVckktc 2,1),()( itcVtx iii 线 性 常 系 数非 齐 次 方 程对 应 齐 次

16、方 程 通 解模 型 建 立可 证 明 ： 特 征方 程 有 两 个 不相 等 负 根 (习题 5) )()()( )()()()( 2 1202 21211 01 tt tteeV kDtc ekekV Dtc 0)0(,)0(,0)( 21010 cVDctf几 种 常 见 的 给 药 方 式1.快 速 静 脉 注 射 t=0 瞬 时 注 射 剂 量 D0的 药 物 进 入 中 心 室 ,血药 浓 度 立 即 为 D0/V1 221112212 1022112113121 )( )()()( ckckVVtc V tfckVVckktc 1 2(), () 0c t c t 给 药 速 率

17、 f0(t) 和 初 始 条 件得 到利 用 初 始 条 件 和 原 方 程 1221 1312121221 131212 21321 012222 113 0111 )(,)( 0,)( 0,)( BVk kkVBAVk kkVA TtVkk kkeBeAtc TtVkkeBeAtc tt tt 0)0(,0)0(,)( 2100 ccktf2.恒 速 静 脉 滴 注 221112212 1022112113121 )( )()()( ckckVVtc V tfckVVckktct T, c1(t)和 c2(t)按 指 数 规 律 趋 于 零 (解 的 公 式 ？ )药 物 以 速 率 k0

18、进 入 中 心 室0 Tt tT以 后 ， 静 脉 注 射 停 止TtckckVVtc ckVVckktc ,)( )()( 221112212 22112113121方 程 21321 0122 11301 )( )( Vkk kkTc VkkTc T 充 分 大 ， 初 值当 )(2)(22 )(1)(11 )()( TtTt TtTt eBeAtc eBeAtc 通 解 )(,)( ,)( )(,)( )( 13212 120213212 1202 13211 210113211 2101 kkV kkBkkV kkA kkV kkBkkV kkA常 数 0010 xkf )(0 tx吸

19、 收 室 中 心 室 00 0010 )0( )( Dx xktx 011( ) 0k tt tc t Ae Be Ee tkeDtx 0100 )( 010 0 01( ) k tf t D k e 3.口 服 或 肌 肉 注 射相 当 于 药 物 ( 剂 量 D0)先 进 入 吸 收 室 ， 吸 收 后 进 入 中 心 室吸 收 室 药 量 x0(t) 221112212 1022112113121 )( )()()( ckckVVtc V tfckVVckktc1 2(0) 0, (0) 0 , ,c c A B E 书 上 错 ！怎 样 确 定 A, B, E? C2(t)的 公 式

20、？ tt BeAetctc )()( 11 参 数 估 计 技 巧 各 种 给 药 方 式 下 的 c1(t), c2(t) 取 决 于 参 数 k12, k21, k13, V1,V2t=0快 速 静 脉 注 射 D0 ,在 ti(i=1,2,n)测 得 c1(ti) )()()()( 21211 01 tt ekekV Dtc 充 分 大设 t,由 较 大 的 用 最 小 二 乘 法 定 A,)(, 1 ii tct由 较 小 的 用 最 小 二 乘 法 定 B,)(, 1 ii tct tt AeeV kDtc )( )()( 1 2101 为 什 么 不 4个 参数 一 起 拟 合 ？

21、 211312 kkk BAV Dc 101 )0( 0 11130 )( dttcVkD 0, 21 cct 1321 132112kk kkk BAVkD 1130 AB BAk )(13 1321 kk 进 入 中 心 室 的 药 物 全 部 排 除参 数 估 计 技 巧 房 室 模 型 建 模 小 结 分 析 各 房 室 的 关 联 ； 建 立 线 性 微 分 方 程 组 模 型 ； 写 出 微 分 方 程 组 的 通 解 ； 用 初 始 条 件 和 代 入 方 程 求 得 特 解 ； 用 观 测 数 据 估 计 模 型 参 数 参 数 估 计 可 用 分 解 技 巧 ， 简 化 计

22、算 ， 使 结果 更 可 靠 。 进 一 步 的 问 题 多 房 室 系 统 模 型 非 线 性 房 室 模 型 随 机 房 室 模 型 房 室 模 型 在 其 他 领 域 的 应 用 其 他 注 射 方 式 下 的 参 数 估 计 问 题 (思 考 ： 恒 速 静 脉 滴 注 情 形 的 参 数 估 计 技 巧 ？ ) 参 考 阅 读 http:/ 周 晓 芳 ,陈 小 全 ,周 鲁 ,生 理 房 室 模 型 药 物 动力 学 的 研 究 进 展 , 预 防 医 学 情 报 杂 志 2002年 06期 陈 增 敬 , 关 于 血 浆 中 放 射 性 钙 C47浓 度的 计 算 公 式 , 数

23、 理 统 计 与 应 用 概 率 ， 1995年 10卷 3期 补 充 习 题 3 给 出 P155-156口 服 或 肌 肉 注 射 情 形 下 二 房室 模 型 的 解 。 提 示 ： tktt tktt FeeBeAtC EeeBeAtC 0101222 111 )()( ， 补 充 习 题 4 在 北 美 的 五 大 湖 中 ， 安 大 略 湖 处 于 伊 利 湖的 下 游 ， 安 大 略 湖 不 仅 接 受 伊 利 湖 来 的 水 ，还 要 接 受 非 伊 利 湖 流 入 的 水 ， 已 知 流 入 安大 略 的 水 有 5/6 是 伊 利 湖 流 出 的 。 试 建 模描 述 这

24、两 个 湖 的 污 染 情 况 。 假 设 除 去 控 制 不 了 由 伊 利 湖 自 安 大 略 湖 的流 动 外 ， 流 入 伊 利 湖 和 安 大 略 湖 的 所 有 污染 都 暂 时 被 停 止 了 。 试 计 算 把 安 大 略 净 化到 50%以 及 5%所 需 要 的 时 间 。 人 口 模 型 介 绍 PDE建 模 人 口 预 测 人 口 控 制 与 计 划 生 育 几 个 人 口 发 展 指 数 参 考 文 献5.6 人 口 预 测 和 控 制(偏 微 分 方 程 模 型 ) 研 究 人 口 模 型 的 意 义 人 口 控 制 人 口 系 统 工 程 社 会 保 障 寿 险

25、精 算 种 群 生 态 学 人 口 模 型 概 述 宏 观 模 型 : 总 人 口 , 不 考 虑 年 龄 ， Malthus模 型 , Logistic模 型 (第 一 章 ) 微 观 模 型 ： 考 虑 年 龄 结 构 1930s, Lotka 积 分 方 程 模 型 1940s, Leslie差 分 方 程 模 型 (第 七 章 ) 1960s, Verhulst偏 微 分 方 程 模 型 1970s, Pollard随 机 方 程 模 型 )(),(,0),0( tNtrFtF m rFtrp ),( 考 虑 年 龄 分 布 只 考 虑 自 然 出 生 与 死 亡 ， 不 计 迁 移人

26、 口发 展方 程 的 人 口 ）年 龄人 口 分 布 函 数 rtrF (),( 人 口 密 度 函 数),( trp 人 口 总 数)(tN最 高 年 龄)( mr人 口 PDE建 模 和 预 测 ),(),( trptrtprp ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ,p r dr t dt p r t dt p r t dt p r tr t p r t dt dt dr 人 口 发 展 方 程 死 亡 率),( trdrtrp ),(,t r年 龄 人数 (密 度 ) 死 亡 人 数 内),( dttt dt dr一 阶 偏 微 分 方 程drdttrp

27、tr ),(),( , )p r dr t dt dr ,t dt r dr 年 龄人 数 (密 度 )为 什 么 没 有 考 虑 出 生 率 ？ 0),(),0( 0),()0,( ),(),(0 ttftp rrprp trptrtprp 人 口 预 测已 知 函 数 （ 人 口 调 查 ）出 生 率 （ 控 制 人 口 手 段 ）0 tr)( 0 rp rt )(tfrt rt ( , ) ( )r t r 假 设 死 亡 率 不 变 rtertf rtetrptrp r r tr dss dss ,)( 0,)(),( 0 )( )(0 解 释 ： 从 现 在 t=0看 ， 10年 以

28、 后 年龄 r小 于 t= 10岁 的 人 的 密 度 由 将 来的 出 生 率 决 定 ； 年 龄 大 于 10岁 的人 的 密 度 由 现 在 的 人 口 分 布 决 定证 明 作 为 习 题 21 ),(),(),()( rr drtrptrktrbtf ),()(),( trhttrb 21 1),(rr drtrh 21 ),()( rr drtrbt 出 生 率 f(t)的 模 型性 别 比 函 数女 性 )(),( trk 生 育 数女 性 )(),( trb 育 龄 区 间, 21 rr 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf 总 和 生 育 率

29、（ 平 均 每 个育 龄 妇 女 生 育 胎 数 ）h生 育 模 式 )(),( rhtrh 0 1r 2r r rtertf rtetrptrp r r tr dss dss ,)( 0,)(),( 0 )( )(0 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf 人 口 预 测 ： 发 展 方 程 +出 生 率 模 型 0),(),0( 0),()0,( ),(),(0 ttftp rrprp trptrtprp 21( )( ) ( ) ( , )2 rrtf t h r p r t dr 简 化 mr drtrrptNtR 0 ),()(1)( t drtr de

30、tS t 0 ),()( )(/)()( tStRt mr drtrptN 0 ),()(人 口 指 数1） 人 口 总 数2） 平 均 年 龄3） 平 均 寿 命t时 刻 出 生 的 人 ， 死 亡 率 按 (r,t) 计 算 的 平 均 存 活 时 间4） 老 龄 化 指 数控 制 生 育 率 控 制 N(t)不 过 大控 制 (t)不 过 高 时 刻 存 活的 比 例 补 充 习 题 5 验 证 P164(7)式 为 P163方 程 (5)的 解 。 人口红利制造中国30 年经济奇迹人口问题造成中国70 年的贫穷 胡 鞍 钢 ： “ 一 对 夫 妇 一 个 孩 儿 ” 该结 束 了 “

31、一 对 夫 妇 一 个 孩 儿 ” 该 结 束 了 调 整 人 口 生 育 政 策 势 在 必 行 少 子 化 . 妇 女 总 和 生 育 率 的 过 快 下 降 ， 明 显 低 于 正常 的 人 口 生 育 更 替 水 平 。 在 1995年 前 后 我 国 0至 14岁 少 儿 人 口 绝 对 数 达 到 了 最 高 峰 ， 大 约 为 3.34亿人 ， 2008年 的 时 候 减 少 到 2.52亿 人 。 老 龄 化 。 根 据 联 合 国 人 口 署 的 预 测 ， 到 2020年 我国 60岁 以 上 人 口 将 占 到 总 人 口 的 16.7%， 2050年 将进 一 步 上

32、升 到 31.1%， 大 大 高 于 届 时 的 世 界 平 均 水平 (21.9%)。 劳 动 人 口 缺 乏 . 15至 59岁 劳 动 人 口 大 约 在 2015至2020年 之 间 也 会 达 到 最 高 峰 ， 大 约 9.23亿 人 ， 而后 开 始 持 续 下 降 。 到 2050年 ， 中 国 的 15至 59岁 劳动 年 龄 人 口 数 大 约 要 比 印 度 少 2.44亿 人 。 “ 一 对 夫 妇 一 个 孩 儿 ” 该 结 束 了 未 来 中 国 人 口 发 展 目 标 1、 保 持 少 儿 人 口 数 量 稳 定 的 目 标 。 少 儿 人 口并 不 是 减 少

33、越 多 、 越 快 就 越 好 ， 而 是 应 该保 持 在 一 定 规 模 上 。2、 保 持 劳 动 年 龄 人 口 稳 定 的 目 标 。 防 止 2020年 之 后 的 大 幅 度 下 降 ， 特 别 是 防 止 15-29岁青 年 型 劳 动 人 口 的 大 幅 度 下 降 。3、 保 持 总 人 口 规 模 。 防 止 2030年 之 后 总 人 口规 模 的 大 幅 度 下 降 。 参 考 阅 读 李 永 胜 ,人 口 预 测 中 的 模 型 选 择 与 参 数 认 定 , 财经 科 学 2004年 02期 张 启 敏 ,聂 赞 坎 , 一 类 随 机 人 口 发 展 系 统 的 指 数稳 定 性 , 控 制 理 论 与 应 用 2004年 06期 李 冬 梅 ,刘 维 奇 , 保 险 系 统 损 失 分 布 模 型 新 探 , 系统 工 程 2004年 02期 王 静 龙 ,陆 俊 , 上 海 市 年 度 保 险 费 收 入 预 测 的 数学 模 型 及 分 析 ,上 海 统 计 , 1999年 9期 胡 鞍 钢 ： 一 对 夫 妇 一 个 孩 儿 该 结 束 了 ， 经 济 参考 报 ， 2009年 11月 26日 建 模 竞 赛 CUMCM2007A: 中 国 人 口 增 长 预 测 问 题 http:/