《曲线和曲面》PPT课件

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1、2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 1 第8章 曲线和曲面提 出 问 题由 离 散 点 来 近 似 地 决 定 曲 线 和 曲 面 ， 即 通 过 测 量 或实 验 得 到 一 系 列 有 序 点 列 ， 根 据 这 些 点 列 需 构 造 出一 条 光 滑 曲 线 ， 以 直 观 地 反 映 出 实 验 特 性 、 变 化 规律 和 趋 势 等 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 2 第8章 曲线和曲面工 业 产 品 的 几 何 形 状 ： 初 等 解 析 曲 面 复 杂 方 式 自 由 变 化

2、的 曲 线 曲 面模 线 样 板 法计 算 机 辅 助 几 何 设 计 CAG D（ Computer Aided Geometric Design） 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 3 8.1 曲线曲面基础8.1.1 曲线曲面数学描述的发展 弗 格 森 双 三 次 曲 面 片 孔 斯 双 三 次 曲 面 片 样 条 方 法 Bezier方 法 B样 条 方 法 有 理 Bezier 非 均 匀 有 理 B样 条 方 法 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 4 8.1.2 曲线曲面的表示要求1.唯

3、一 性2.几 何 不 变 性3.易 于 定 界4.统 一 性5.易 于 实 现 光 滑 连 接6.几 何 直 观 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 5 8.1.3 曲线曲面的表示参 数 表 示 方 法 的 优 点 ： 1 点 动 成 线2 选 取 具 有 几 何 不 变 性 的 参 数 曲 线 曲 面 表 示 形 式 。3 斜 率 1,0 )( ttpp dtdxn dtdyndtdxm dtdymdxdy / 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 6 4 t 0,1 ， 使 其 相 应 的 几 何 分

4、 量 是 有 界 的5 可 对 参 数 方 程 直 接 进 行 仿 射 和 投 影 变 换6 参 数 变 化 对 各 因 变 量 的 影 响 可 以 明 显 地 表 示 出来 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 7 8.1.4 插值和逼近样条 采 用 模 线 样 板 法 表 示 和 传 递 自 由 曲 线 曲 面 的 形 状 称为 样 条 。 样 条 曲 线 是 指 由 多 项 式 曲 线 段 连 接 而 成 的 曲 线 ， 在每 段 的 边 界 处 满 足 特 定 的 连 续 条 件 。 样 条 曲 面 则 可 以 用 两 组 正 交 样 条 曲

5、 线 来 描 述 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 8 曲 线 曲 面 的 拟 合 ： 当 用 一 组 型 值 点 来 指 定 曲 线 曲 面 的形 状 时 ， 形 状 完 全 通 过 给 定 的 型 值 点 列 。 图 8-1 曲 线 的 拟 合 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 9 曲 线 曲 面 的 逼 近 ： 当 用 一 组 控 制 点 来 指 定 曲 线 曲 面的 形 状 时 ， 求 出 的 形 状 不 必 通 过 控 制 点 列 图 8-2 曲 线 的 逼 近 2021-5-25 华

6、 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 10 求 给 定 型 值 点 之 间 曲 线 上 的 点 称 为 曲 线 的 插 值 。 将 连 接 有 一 定 次 序 控 制 点 的 直 线 序 列 称 为 控 制多 边 形 或 特 征 多 边 形 图 8-2 曲 线 的 逼 近 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 11 8.1.5 连续性条件假 定 参 数 曲 线 段 pi以 参 数 形 式 进 行 描 述 ： t,t t)( i1i0 tpp ii 参 数 连 续 性 几 何 连 续 性 2021-5-25 华 中 理 工 大 学

7、 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 12 1.参 数 连 续 性0阶 参 数 连 续 性 ， 记 作 C0连 续 性 ， 是 指 曲 线 的 几何 位 置 连 接 ， 即 )()( 0)1()1(1 iiii tptp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 13 1阶 参 数 连 续 性记 作 C1连 续 性 ， 指 代 表 两 个 相 邻 曲 线 段 的 方 程 在 相交 点 处 有 相 同 的 一 阶 导 数 ： )()( )()( 0)1()1(1 0)1()1(1 iiii iiii tptp tptp且 2021-5-25 华 中 理

8、工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 14 2阶 参 数 连 续 性 ，记 作 C2连 续 性 ， 指 两 个 相 邻 曲 线 段 的 方 程 在 相 交 点处 具 有 相 同 的 一 阶 和 二 阶 导 数 。 (a)0阶 连 续 性 (b)1阶 连 续 性 (c)2阶 连 续 性 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 15 2.几 何 连 续 性0阶 几 何 连 续 性 ， 记 作 G0连 续 性 ， 与 0阶 参 数 连 续 性 的 定义 相 同 ， 满 足 ： 1阶 几 何 连 续 性 ， 记 作 G1连 续 性 ， 指 一 阶

9、导 数 在 相 邻 段的 交 点 处 成 比 例2阶 几 何 连 续 性 ， 记 作 G2连 续 性 ， 指 相 邻 曲 线 段 在 交 点处 其 一 阶 和 二 阶 导 数 均 成 比 例 。 )()( 0)1()1(1 iiii tptp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 16 8.1.6 样条描述0,1 t)( )()( 01122 01122 01122 ctctctctz btbtbtbty atatatatx nn nn nn n次 样 条 参 数 多 项 式 曲 线 的 矩 阵 ： 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算

10、 机 学 院 陆 枫 99-7 17 0,1 t 1)( )( )()( 000 111 GMTCT cba cba cbatttz tytxtp S nnnn 基 矩 阵几 何 约 束 条 件基 函 数 (blenging function)， 或 称 混 合 函 数 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 18 8.2 三次样条给 定 n+1个 点 ， 可 得 到 通 过 每 个 点 的 分 段 三 次 多 项 式曲 线 ： 0,1 t )()( )( 23 23 23 zzzz yyyy xxxx dtctbtatz dtctbtaty dt

11、ctbtatx 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 19 8.2.1 自然三次样条定 义 ： 给 定 n+1个 型 值 点 ， 现 通 过 这 些 点 列 构 造 一 条自 然 三 次 参 数 样 条 曲 线 ， 要 求 在 所 有 曲 线 段 的 公 共连 接 处 均 具 有 位 置 、 一 阶 和 二 阶 导 数 的 连 续 性 ， 即自 然 三 次 样 条 具 有 C2连 续 性 。还 需 要 两 个 附 加 条 件 才 能 解 出 方 程 组 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 20 特 点 ：

12、1.只 适 用 于 型 值 点 分 布 比 较 均 匀 的 场 合2.不 能 “ 局 部 控 制 ” 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 21 8.2.2 三次H ermite样条定 义 ： 假 定 型 值 点 Pk和 Pk+1之 间 的 曲 线 段 为 p(t),t 0,1，给 定 矢 量 Pk、 Pk+1、 Rk和 Rk+1， 则 满 足 下 列 条 件 的 三 次参 数 曲 线 为 三 次 H ermite样 条 曲 线 ： 11)1(,)0( )1(,)0( kk kk RpRp PpPp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算

13、 机 学 院 陆 枫 99-7 22 推 导 ： CT dcbattt ddd ccc bbb aaattttp zyx zyx zyx zyx 1 1)( 23 23 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 23 hhkkkk kk kk GMRRPP RRPPdcbaC 11 1110001 0100 1233 1122 0123 0100 1111 1000Mh是 H ermite矩 阵 。 G h是 H ermite几 何 矢 量 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 24 三 次 H ermit

14、e样 条 曲 线 的 方 程 为 ： 0,1 t )( hh GMTtp 0001 0100 1233 11221 23 tttMT h 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 25 通 常 将 TMk称 为 H ermite基 函 数 （ 或 称 混 合 函 数 ，调 和 函 数 ） ： )( 2)( 32)( 132)( 233 232 231 230 tttH ttttH tttH tttH )()()()()( 312110 tHRtHRtHPtHPtp kkkk 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7

15、 26 H(t) t10.2 0.4 0.6 0.80.20.4 0.60.81 -0.2 H0(t) H1(t) H2(t)H 3(t)图 8-4 Hermite基 函 数 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 27 特 点 分 析 ：1.可 以 局 部 调 整 ， 因 为 每 个 曲 线 段 仅 依 赖 于 端 点约 束 。2.基 于 Hermite样 条 的 变 化 形 式 ： Cardinal样 条 和Kochanek-Bartels样 条3.Hermite曲 线 具 有 几 何 不 变 性 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算

16、 机 学 院 陆 枫 99-7 28 8.3 Bezier曲线曲面8.3.1 Bezier曲线的定义 图 8-5 Bezier曲 线 的 例 子 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 29 定 义 ：Bernstein基 函 数 具 有 如 下 形 式 ：注 意 ： 当 k=0， t=0时 ， t k=1， k!=1。 nk nkk tBENPtp 0 , 0,1 t)()( n,0,1,k 11! !)(, knkknknknk ttCttknk ntBEN 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 30 1

17、 一 次 Bezier曲 线 (n=1) 0,1 t )1()()( 10 101, k kk tPPttBENPtp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 31 2 二 次 Bezier曲 线 (n=2) 0012012 2210220 2, )(2)2( 0,1 t )1(2)1( )()( PtPPtPPP PtPttPt tBENPtp k kk 2102 001 022 1211)( PPPtttp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 32 3 三 次 Bezier曲 线 (n=3) 33,32

18、3,213,103,0 3322120330 3, )()()()( 0,1t )1(3)1(3)1( )()( PtBENPtBENPtBENPtBEN PtPttPttPt tBENPtp k kk 33,3 23,2 23,1 33,0 )( )1(3)( )1(3)( )1()( ttBEN tttBEN tttBEN ttBEN 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 33图 8-6 三 次 Bezier曲 线 四 个 Bezier基 函 数0 t B0,3(t) B3,3(t) B1,3(t) B2,3(t) 2021-5-25 华 中 理

19、 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 34 bebe GMT PPPPttttp 0,1 t 0001 0033 0363 13311)( 321023 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 35 8.3.2 Bezier曲线的性质1 端 点 0 ,11,000 , )0()0()0( )0()0( P BENPBENPBENP BENPp nnnnnnk nkk n nnnnnnk nkkP BENPBENPBENP BENPp )1()1()1( )1()1( ,11,000 , 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算

20、机 学 院 陆 枫 99-7 36 2 一 阶 导 数 )()( )1()!)1(! )!1( )1()!1()1()!1( )!1( )1)()1()!(! !)( 1,1,1 )1( )1()1(1 11, tBENtBENn ttknk nn ttknk nn ttknttkknk ntNBE nknk knk knk kknknknk 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 37 n k nkkk nnnn nn nk nknkk tBENPPn tBENPP tBENPPtBENPPn tBENtBENPntp 1 1,11 1,11 1,1

21、121,001 0 1,1,1 )()( )()( )()()()( )()()( )()0( 01 PPnp )()1( 1 nn PPnp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 38 三 次 Bezier曲 线 段 在 起 始 点 和 终 止 点 处 的 一 阶 导数 为 ： )(3)1( )(3)0( 23 01 PPp PPp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 39 3 二 阶 导 数 三 次 Bezier曲 线 段 在 起 始 点 和 终 止 点 处 的 二 阶 导 数 为 ：)()(1()1

22、( )()(1()0( 112 0112 nnnn PPPPnnp PPPPnnp )2(6)1( )2(6)0( 321 210 PPPp PPPp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 40 4 对 称 性5 凸 包 性6 几 何 不 变 性7 变 差 减 少 性8 控 制 顶 点 变 化 对 曲 线 形 状 的 影 响 0)1()!(! !)(, knknk ttknk ntBEN 1)1()1()!(! !)( 00 , nknknknk nk ttttknk ntBEN 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫

23、 99-7 41 8.3.3 Bezier曲线的生成1绘图一段Bezier曲线knCnknknk nC knkn 1)!(! ! 1 nk nkknk nkk nk nkk tBENztz tBENyty tBENxtx 0 ,0 ,0 , )()( 0,1 t )()( )()( 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 42 2Bezier曲线的拼接问 题 的 提 出 ： 如 何 保 证 连 接 处 具 有 G1和 G2连 续 性 。在 两 段 三 次 Bezier曲 线 间 得 到 G1连 续 性为 实 现 G1连 续 ， 则 有 ： )(3)0(

24、 )(3)1( 012 231 QQp PPp )1()0( 12 pp )( 2301 PPQQ 亦 即 ： 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 43 在 两 段 三 次 Bezier曲 线 间 得 到 G2连 续 性 ： )2()2( )1()0( 321210 12 PPPQQQ pp 图 8-7 两 段 三 次 Bezier曲 线 的 连 接P0 P1 P2 P3(Q0) Q1 Q2 Q3 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 44 8.3.4 Bezier曲面1Bezier曲面定 义 ： 0,1

25、0,1v)(u, )()(),( 0 0 , mi nj njmiji vBENuBENPvupBENi,m(u)与 BENj,n(v)是 Bernstein基 函 数 ： jnjjnnj imiimmi vvCvBEN uuCuBEN )1()( )1()(, 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 45 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 46 1 双 线 性 Bezier曲 面 (m=n=1) 0,10,1v)(u, )()(),( 10 10 1,1, i j jiji vBENuBENPvup 1

26、,10,1 1,00,0)1( )1()1)(1(),( uvPPvu vPuPvuvup 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 47 2 双 二 次 Bezier曲 面 (m=n=2) 0,10,1v)(u, )()(),( 20 20 2,2, i j jiji vBENuBENPvup 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 48 3 双 三 次 Bezier曲 面 (m=n=3) 0,10,1v)(u, )()(),( 30 30 3,3, i j jiji vBENuBENPvup 2021-5-2

27、5 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 49图 8-9 双 三 次 Bezier曲 面 及 其 控 制 网 格P0,0 P3,0P0,3 P3,3 P1,0 P2,0P0,1P0,2 P1,1 P2,1 P3,1P1,2 P2,2 P2,3P1,3 P2,3 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 50 其 中 TTbebe VPMUMvup ),( 123 uuuU 123 vvvV 0001 0033 0363 1331 beM 3,32,31,30,3 3,22,21,20,2 3,12,11,10,1 3,02,01,

28、00,0 PPPp PPPP PPPP PPPPP 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 51 性 质 ：1 控 制 网 格 的 四 个 角 点 正 好 是 Bezier曲 面 的 四 个 角 点 ，nmn mPpPp PpPp ,0 0,0,0 )1,1( ;)1,0( ;)0,1( ;)0,0( 2 控 制 网 格 最 外 一 圈 顶 点 定 义 Bezier曲 面 的 四 条 边 界 ，这 四 条 边 界 均 为 Bezier曲 线 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 52 3 几 何 不 变

29、性4 移 动 一 个 顶 点 Pi,j， 将 对 曲 面 上 参 数 为 u = i/m, v = j/n的 那 点 p(i/m,j/n) 处 发 生 最 大 的 影 响5 对 称 性6 凸 包 性 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 53 2Bezier曲面的拼接 0阶 连 续 性 只 要 求 相 连 接 的 曲 面 片 具 有 公 共 的 边 界曲 线 。 1阶 连 续 性 则 要 求 在 边 界 曲 线 上 的 任 何 一 点 ， 两 个曲 面 片 跨 越 边 界 的 切 线 矢 量 应 该 共 线 ， 而 且 两 切 线矢 量 的 长 度

30、之 比 为 常 数 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 54 图 8-10 Beziet曲 面 片 的 拼 接边 界 线P0,0 Q3,0 P3,3(Q0,3) P0,3 Q3,3 P3,1(Q0,1) P3,0(Q0,0) P3,2(Q0,2) 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 55实 现 G 1连 续 性 的 条 件 为 ：(1) p1(1,v)=p2(0,v)， 即 有 P3,i=Q0,i， i=0,1,2,3(2) P3,i- P2,i = (Q1,i-Q0,i)， i=0,1,2,3 已

31、 知 两 张 双 三 次 Bezier曲 面 片 ：TTbebe vPMUMvup ),(1 TTbebe VQMUMvup ),(2)3,2,1,0,(, jiPP ji )3,2,1,0,(, jiQQ ji 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 56 8.4 B样条曲线曲面Bezier曲 线 的 不 足 ：一 是 控 制 多 边 形 的 顶 点 个 数 决 定 了 Bezier曲 线 的 阶 次二 是 不 能 作 局 部 修 改 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 57 8.4.1 B样条曲线的定义

32、定 义 ：de Boor点 、 B样 条 控 制 多 边 形 、 B样 条 基 函 数 nk k,mk (t)BPp(t) 0 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 58 tBtt tttBtt tttB tttB mkkmk mkmkkmk kmk kk 1,111,1, 1k1, )( 0 t 1)( 其 它若参 数 说 明 m是 曲 线 的 阶 数 ， (m-1)为 B样 条 曲 线 的 次 数 ， 曲 线在 连 接 点 处 具 有 (m-2)阶 连 续 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 59

33、 节 点 矢 量 ： 节 点 矢 量 分 为 三 种 类 型 ： 均 匀 的 ， 开 放均 匀 的 和 非 均 匀 的 。当 节 点 沿 参 数 轴 均 匀 等 距 分 布 ， 即 tk+1-tk=常 数 时 ，表 示 均 匀 B样 条 函 数 。当 节 点 沿 参 数 轴 的 分 布 不 等 距 ， 即 (tk+1-tk)常 数 时 ，表 示 非 均 匀 B样 条 函 数 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 60 1 均 匀 周 期 性 B样 条 曲 线T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)T=(0,1,2,3,4

34、,5,6,7)均 匀 B样 条 的 基 函 数 呈 周 期 性 ： )2()()( ,2,1, ttBttBtB mkmkmk )()( ,0, tktBtB mmk 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 61 均 匀 二 次 （ 三 阶 ） B样 条 曲 线取 n=3， m=3， 则 n+m=6， 不 妨 设 节 点 矢 量 为 ：T=(0,1,2,3,4,5,6)： tBm tmktBm kttB tB mkmkmkk 1,11,1, 11)( 0 1iti 1)( 其 它 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫

35、99-7 62 其 它 1t0 01)(1,0 tB 2t1 1t0 2 )1()2()( )()2()()( 1,01,0 1,11,02,0 tt tBtttB tBtttBtB 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 63 3t2 )3(21 2t1 )3)(1(21)2(21 1t0 21 )1(23)(2 )( 22 2,01,03,0 t ttttt tBttBttB 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 64 4t3 )4(21 3t2 )4)(2(21)3)(1(21 2t1 )1(21)(

36、223,1 t ttttttB 5t4 )5(21 4t3 )5)(3(21)4)(2(21 3t2 )2(21)( 223,2 t ttttttB 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 65 6t5 )6(21 5t4 )6)(4(21)5)(3(21 4t3 )3(21)( 223,3 t ttttttB t Bk,3(t) 21 43 5 1 图 8-11 四 段 二 次 (三 阶 )均 匀 B样 条 基 函 数 B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆

37、枫 99-7 66 曲 线 的 起 点 和 终 点 值 ：均 匀 二 次 B样 条 曲 线 起 点 和 终 点 处 的 导 数 ： )(21)(),(21)( 3210 PPendpPPstartp 2301 )(,)( PPendpPPstartp 图 8-12 四 个 控 制 点 的 二 次 周 期 性 B样 条 曲 线P0 P1 P2 P 3 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 67 结 论 ： 对 于 由 任 意 数 目 的 控 制 点 构 造 的 二 次 周 期 性 B样 条 曲线 来 说 ， 曲 线 的 起 始 点 位 于 头 两 个

38、控 制 点 之 间 ， 终止 点 位 于 最 后 两 个 控 制 点 之 间 。 对 于 高 次 多 项 式 ， 起 点 和 终 点 是 m-1个 控 制 点 的 加 权平 均 值 点 。 若 某 一 控 制 点 出 现 多 次 ， 样 条 曲 线 会 更加 接 近 该 点 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 68 三 次 （ 四 阶 ） 周 期 性 B样 条取 m=4， n=3， 节 点 矢 量 为 ： T=(0,1,2,3,4,5,6,7)： 4t3 )4(61 3t2 )2()4(61)1)(3)(4(61)3(61 2t1 )1)(4(

39、61)1)(3(61)2(61 1t0 61 )1(34)(3)( 3 22 223 3,03,04,0 t ttttttt tttttttt tBttBttB 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 690,1) t61)( )1333(61)( )463(61)( )133(61)( 34,3 234,2 234,1 234,0 ttB ttttB tttB ttttB 0,1) t 0141 0303 0363 1331611)( 321023 3 21043424140 0 , BB , nk mkkGMT PPPPttt PPPP(t)B(t

40、)B(t)B(t)B BPtp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 71 三 次 周 期 性 B样 条 的 边 界 条 件 为 ：)(21)1( )(21)0( )4(61)1( )4(61)0( 13 02 321 210 PPp PPp PPPp PPPp P0 P1 P2 P 3图 8-13 四 个 控 制 点 的 三 次 均 匀 B样 条 曲 线 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 72 2 开 放 均 匀 B样 条 曲 线节 点 矢 量 可 以 这 样 定 义 ：令 L=n-m， 从 0开 始

41、 ， 按 titi+1排 列 。 ),.,LL,.,L,.,(T mm 2212100 mLi mLim mi L mit i 02 10 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 73 开 放 均 匀 的 二 次 （ 三 阶 ） B样 条 曲 线假 设 m=3， n=4， 节 点 矢 量 为 ： T=(t0 ,t1,tn+m) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。 2t1 21 1t0 )34(21)( 1t0 )1()( 2 23,1 23,0 t tttB ttB 2021-5

42、-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 743t2 )2()( 3t2 )3)(53(21 2t1 )1(21)( 3t2 )3(21 2t1 )3)(1(21)2(21 1t0 21)( 23,4 23,3 223,2 ttB ttttB t ttttttB 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 75图 8-14 开 放 均 匀 的 二 次 B样 条 基 函 数 Bk,3(t) t B0,3(t)B1,3(t) B3,3(t)B2,3(t) B4,3(t) 1 2 3 1 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计

43、 算 机 学 院 陆 枫 99-7 76 3 非 均 匀 B样 条 曲 线 图 8-15 非 均 匀 B样 条 曲 线 的 基 函 数 Bk,m(t) t1 2 3 1 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 77 4 反 求 B样 条 曲 线 控 制 点 及 其 端 点 性 质问 题 ： 所 谓 反 求 B样 条 曲 线 控 制 点 是 指 已 知 一 组 空间 型 值 点 Qi(i=1,2,n)， 要 找 一 条 m次 B样 条 曲 线过 Qi点 ， 也 即 找 一 组 与 点 列 Qi对 应 的 B样 条 控 制 顶点 Pj(j=0,1,n+1)

44、。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 78 用 分 段 三 次 B样 条 曲 线 pi来 拟 合 ， 其 上 型 值 点 和 控 制点 的 位 置 矢 量 之 间 有 关 系 ： n,1,i )4(61 11 iiii PPPQ假 定 需 求 首 末 两 点 过 Q1和 Qn的 非 周 期 三 次 B样 条 曲 线 ，则 有 P1=Q1,Pn=Qn， 于 是 求 解 控 制 点 Pj (i=2,3,.,n-1)的 线性 方 程 组 为 ： 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 79 补 充 两 个 边

45、界 条 件 为 ： P 0 =P-1=Q1 Pn+1=Pn+2= Qn n1n 2n 3 12 1n 2n 32 6Q6Q.6Q6QPP.PP41000000 14100000 0.0000 00.000 000.00 00001410 00000141 00000014 QQ 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 80 8.4.2 B样条曲线的性质1 局 部 支 柱 性 B样 条 的 基 函 数 是 一 个 分 段 函 数 ， 其 重 要 特 征 是在 参 数 变 化 范 围 内 ， 每 个 基 函 数 在 tk到 tk+m的 子 区间 内 函 数

46、 值 不 为 零 ， 在 其 余 区 间 内 均 为 零 ， 通 常也 将 该 特 征 称 为 局 部 支 柱 性 。 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 81 图 8-16 B样 条 曲 线 的 局 部 支 柱 性 P0 P1 P 2 P3 P 4 P5 P6 P7P4 P 4 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 82 2 B样 条 的 凸 组 合 性 质B样 条 的 凸 组 合 性 和 B样 条 基 函 数 的 数 值 均 大 于或 等 于 0保 证 了 B样 条 曲 线 的 凸 包 性 ， 即 B

47、样 条 曲线 必 处 在 控 制 多 边 形 所 形 成 的 凸 包 之 内 。 t,t t 1)( 1n1-m0 , nk mk tB 图 8-17 B样 条 曲 线 与 Bezier曲 线 的 凸 包 性 比 较 B样 条 曲 线 Bezier曲 线 Bezier曲 线 B样 条 曲 线 m=3 m=4 m=5 (a) B样 条 曲 线 和 Bezier曲 线 的 凸 包 比 较 (b) B样 条 曲 线 和 Bezier曲 线 的 比 较 B样 条 凸 包 Bezier凸 包 B样 条 凸 包 B样 条 凸 包Bezier凸 包Bezier凸 包 2021-5-25 华 中 理 工 大

48、学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 84 3 连 续 性 若 一 节 点 矢 量 中 节 点 均 不 相 同 ， 则 m阶 （ m-1次 ） B样 条 曲 线 在 节 点 处 为 m-2阶 连 续 。 B样 条 曲 线 基 函 数 的 次 数 与 控 制 顶 点 个 数 无 关 。 重 节 点 问 题 图 8-18 具 有 重 节 点 的 三 次 B样 条t0 t1t2t3 t4 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 85 4 导 数 11,111, )()()1()( kmk mkkmk mkmk tt tBtt tBmtB nk mkkmk

49、 kk tBtt PPmtp 1 1n1-m1,1 1 t,t t)()1()(5 几 何 不 变 性6 变 差 减 少 性 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 86 8.4.3 B样条曲面定 义 ： 1 1 22 2211210 0 , )()(),( nk nk mkmkkk vBuBPvup 控 制 顶 点 、 控 制 网 格 （ 特 征 网 格 ） 、 B样 条 基 函 数 。 B样 条 曲 面 具 有 与 B样 条 曲 线 相 同 的 局 部 支 柱 性 、凸 包 性 、 连 续 性 、 几 何 变 换 不 变 性 等 性 质 。 202

50、1-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 87 双 三 次 B样 条 曲 面 TTBB VPMUMvup ),( 123 uuuU 123 vvvV 0141 0303 0363 133161 BM 3,32,31,30,3 3,22,21,20,2 3,12,11,10,1 3,02,01,00,0 PPPp PPPP PPPP PPPPP 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 88 8.5 有理样条曲线曲面NURBS方 法 ： 非 均 匀 有 理 B样 条 （ Nonuniform Rational B-Spli

51、ne） 方 法8.5.1 NURBS曲线曲面的定义定 义 ： nk mkknk mkkk tBw tBPwtp 0 ,0 , )( )()( 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 89 例 ： 假 定 用 定 义 在 三 个 控 制 顶 点 和 开 放 均 匀 的 节 点矢 量 上 的 二 次 （ 三 阶 ） B样 条 函 数 来 拟 合 ， 于 是 ，T=(0,0,0,1,1,1)， 取 权 函 数 为 ： 1r0 1 1 1 20 rrw ww 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 90 则 有 理 B

52、样 条 的 表 达 式 为 ： )(3,2)(3,1)(3,0 )(3,22)(3,11)(3,00 11)( ttt ttt BBrrB BPBPrrBPtp 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 91 然 后 取 不 同 的 r值 得 到 各 种 二 次 曲 线 ： P1 P0 P2 双 曲 线抛 物 线 直 线椭 圆图 8-19 由 不 同 有 理 样 条 权 因 子 生 成 的 二 次 曲 线 段 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 92图 8-20 由 有 理 样 条 函 数 生 成 的 第 一

53、 象 限 上 的 圆 弧x y P1(1,1) P2(1,0) P0(0,1) a 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 93 NURBS曲 面 可 由 下 面 的 有 理 参 数 多 项 式 函 数 表 示 ： 11 22 22112111 22 221121210 0 ,0 0 , )()( )()(),( nk nk mkmkkknk nk mkmkkkkk vBuBw vBuBPwvup 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 94 8.5.2 有理基函数的性质NURBS曲 线 也 可 用 有 理 基

54、 函 数 的 形 式 表 示 ： nj mjj mkkmk nk mkk tBw tBwtR tRPtp 0 , 0 , )()()( )()( 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 95 1 普 遍 性2 局 部 性3 凸 包 性 1)(0 , nk mk tR4 可 微 性5 权 因 子8.5.3 NURBS曲 线 曲 面 的 特 点 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 96 8.6 曲线曲面的转换和计算8.6.1 样条曲线曲面的转换 11)( GMTtp 22)( GMTtp 2211)( GMTG

55、MTtp 12,111122 GMGMMG 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 97 例 ： bebeBB GMTGMTtp )( BbeBBBbebe GMGMMG ,1 1410 0420 0240 014161 0141 0303 0363 1331610001 0033 0363 1331 1,beBM 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 98 三 次 Hermite样 条 矩 阵 ： 0001 0100 1233 1122hM 0001 0033 0363 1331beM 0141 0303

56、0363 1331BM三 次 Bezier样 条 矩 阵 ：三 次 均 匀 B样 条 矩 阵 ： 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 99 8.6.2 样条曲线曲面的离散生成1Horner规则2向前差分计算3细分 图 8-21 四 个 控 制 点 的 Bezier曲 线 分 成 两 段P3P0 P1 P2 P1,0P1,1 P1,2 P1,3=P2,0 P2,1 P2,2P 2,3 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 100 习题 2021-5-25 华 中 理 工 大 学 计 算 机 学 院 陆 枫 99-7 101