计算机图形学ppt课件第三章图形变换与输出

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1、第 三 章 图 形 变 换 与 输 出 变 换 的 数 学 基 础l 矢 量l 矢 量 和 zyxuuuU zyxvvvV zz yy xx vu vu vuVU 变 换 的 数 学 基 础l 矢 量 的 数 乘 l 矢 量 的 点 积l 性 质 zyxkukukuUk zzyyxx vuvuvuVU UVVU VUVU 0 00 UUU 变 换 的 数 学 基 础l 矢 量 的 长 度 l 单 位 矢 量 l 矢 量 的 夹 角l 矢 量 的 叉 积 222 zyx uuuUUU VU VU cos zyx zyx vvv uuu kjiVU 变 换 的 数 学 基 础l 矩 阵 l 阶 矩

2、 阵l n阶 方 阵l 零 矩 阵l 行 向 量 与 列 向 量l 单 位 矩 阵l 矩 阵 的 加 法 l 矩 阵 的 数 乘 l 矩 阵 的 乘 法 l 矩 阵 的 转 置 l 矩 阵 的 逆 m n 矩 阵 的 含 义矩 阵 ： 由 m n个 数 按 一 定 位 置 排 列 的 一 个 整 体 ， 简 称 m n矩 阵 。 mnmm nnaaa aaa aaa . . . . . . 21 22221 1 1211A=其 中 ， aij称 为 矩 阵 A的 第 i行 第 j列 元 素 变 换 的 数 学 基 础 矩 阵 运 算l 加 法设 A， B为 两 个 具 有 相 同 行 和 列

3、元 素 的 矩 阵A+B = l 数 乘kA = k*aij|i=1.m, j=1,. n . b . . . . b m2211 1112121111 mnmnmmm nn baaba baaba变 换 的 数 学 基 础 l 乘 法设 A为 3 2矩 阵 ， B为 2 3矩 阵 C = A B = C=Cm p = Am n Bn p cij = aik*bkjl 单 位 矩 阵 在 一 矩 阵 中 ， 其 主 对 角 线 各 元 素 a ii=1,其 余 皆 为0的 矩 阵 称 为 单 位 矩 阵 。 n阶 单 位 矩 阵 通 常 记 作 In 。 Am n = Am n In baba

4、b abababa babababababa 322322221221312321221121 321322121211311321121111 k=1,n 变 换 的 数 学 基 础 l 逆 矩 阵 若 矩 阵 A存 在 AA-1=A-1A=I， 则 称 A-1为 A的 逆 矩 阵l 矩 阵 的 转 置 把 矩 阵 A=(aij)m n的 行 和 列 互 换 而 得 到 的 n m矩阵 称 为 A的 转 置 矩 阵 ,记 作 AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (AB)T = BT AT 当 A为 n阶 矩 阵 ， 且 A=AT ， 则

5、A是 对 称 矩 阵 。变 换 的 数 学 基 础 矩 阵 运 算 的 基 本 性 质l 交 换 律 与 结 合 律 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+Cl 数 乘 的 分 配 律 及 结 合 律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A变 换 的 数 学 基 础 l 矩 阵 乘 法 的 结 合 律 及 分 配 律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C Bl 矩 阵 的 乘 法 不 适 合 交 换 律变 换 的 数 学

6、 基 础 所 谓 齐 次 坐 标 表 示 法 就 是 由 n+1维 向 量 表 示一 个 n维 向 量 。 如 n维 向 量 (P1,P2, ,Pn)表 示为 （ hP1,hP2,hPn,h） ， 其 中 h称 为 哑 坐 标 。 1、 h可 以 取 不 同 的 值 ， 所 以 同 一 点 的 齐 次坐 标 不 是 唯 一 的 。如 普 通 坐 标 系 下 的 点 （ 2,3） 变 换 为 齐 次 坐 标可 以 是 (1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等 等 。 2、 普 通 坐 标 与 齐 次 坐 标 的 关 系 为 “ 一 对 多 ”由 普 通 坐 标 h齐 次 坐 标由 齐

7、 次 坐 标 h普 通 坐 标 3、 当 h=1时 产 生 的 齐 次 坐 标 称 为 “ 规 格 化坐 标 ” ， 因 为 前 n个 坐 标 就 是 普 通 坐 标 系 下的 n维 坐 标 。齐 次 坐 标 齐 次 坐 标(x,y)点 对 应 的 齐 次 坐 标 为 (x,y)点 对 应 的 齐 次 坐 标 为 三 维 空 间 的 一 条 直 线 ( , , )x y hh h0, hhyyhxx hh hz hyy hxx hhh 1. 将 各 种 变 换 用 阶 数 统 一 的 矩 阵 来 表 示 。 提 供 了 用 矩 阵 运 算 把二 维 、 三 维 甚 至 高 维 空 间 上 的

8、一 个 点 从 一 个 坐 标 系 变 换 到 另 一坐 标 系 的 有 效 方 法 。2. 便 于 表 示 无 穷 远 点 。例 如 ： （ x h, y h, h)， 令 h等 于 03. 齐 次 坐 标 变 换 矩 阵 形 式 把 直 线 变 换 成 直 线 段 ， 平 面 变 换 成 平面 ， 多 边 形 变 换 成 多 边 形 ， 多 面 体 变 换 成 多 面 体 。4. 变 换 具 有 统 一 表 示 形 式 的 优 点l 便 于 变 换 合 成l 便 于 硬 件 实 现齐 次 坐 标 的 作 用 窗 口 视 图 变 换 l 用 户 域 和 窗 口 区1 用 户 域 ： 程 序

9、员 用 来 定 义 草 图 的 整 个 自 然 空 间 (WD) a 人 们 所 要 描 述 的 图 形 均 在 用 户 域 中 定 义 。 b 用 户 域 是 一 个 实 数 域 ， 理 论 上 是 连 续 无 限 的 。2 窗 口 区 ： 用 户 指 定 的 任 一 区 域 (W) a 窗 口 区 W小 于 或 等 于 用 户 域 WD b 小 于 用 户 域 的 窗 口 区 W叫 做 用 户 域 的 子 域 。 c 窗 口 可 以 有 多 种 类 型 ， 矩 形 窗 口 、 圆 形 窗 口 、 多 边 形 窗 口等 等 d 窗 口 可 以 嵌 套 ， 即 在 第 一 层 窗 口 中 可

10、再 定 义 第 二 层 窗 口 ，在 第 I层 窗 口 中 可 再 定 义 第 I+1层 窗 口 等 等 。 窗 口 视 图 变 换1 屏 幕 域 (DC)： 设 备 输 出 图 形 的 最 大 区 域 ， 是 有限 的 整 数 域 。 如 图 形 显 示 器 分 辨 率 为1024768DC0.10230.7672 视 图 区 ： 任 何 小 于 或 等 于 屏 幕 域 的 区 域 a 视 图 区 用 设 备 坐 标 定 义 在 屏 幕 域 中 b 窗 口 区 显 示 在 视 图 区 ， 需 做 窗 口 区 到 视 图 区 的 坐标 转 换 。 c 视 图 区 可 以 有 多 种 类 型 ：

11、 圆 形 、 矩 形 、 多 边 形 等 。 d 视 图 区 也 可 以 嵌 套 。 窗 口 区 和 视 图 区 的 坐 标 变 换 设 窗 口 的 四 条 边 界 WXL,WXR,WYB,WYT视 图 的 四 条 边 界 VXL,VXR,VYB,VYT则 用 户 坐 标 系 下 的 点 （ 即 窗 口 内 的 一 点 ）(Xw,Yw)对 应 屏 幕 视 图 区 中 的 点 （ Xs,Ys） ，其 变 换 公 式 为 VYBWYBYWYBWYT VYBVYTY VXLWXLXWXLWXR VXLVXRX ws ws 窗 口 区 和 视 图 区 的 坐 标 变 换l 简 化 为 ：l 1) 当

12、ac时 ， 即 x 方 向 的 变 化 与 y方 向 的 变化 不 同 时 ， 视 图 中 的 图 形 会 有 伸 缩 变 化 ， 图形 变 形 。l 2) 当 a=c=1， b=d=0则 Xs=Xw,Ys=Yw,图 形 完全 相 同 。l 思 考 ： 前 面 讲 的 窗 口 视 图 变 换 时 ， 假 设 窗口 的 边 和 坐 标 轴 平 行 ， 如 果 窗 口 的 边 不 和 坐标 轴 平 行 呢 ？ 式)1( dYcY bXaX ws ws 窗 口 区 和 视 图 区 的 坐 标 变 换l A. 先 让 窗 口 FGHI转 -角 ， 使 它 和 FGHI重 合 。l B. 用 (1)式

13、进 行 计 算 。 l 图 形 变 换 是 计 算 机 图 形 学 基 础 内 容 之 一 。几 何 变 换 ， 投 影 变 换 ， 视 窗 变 换线 性 变 换 ， 属 性 不 变 ， 拓 扑 关 系 不 变 。作 用 ：l 把 用 户 坐 标 系 与 设 备 坐 标 系 联 系 起 来 ；l 可 由 简 单 图 形 生 成 复 杂 图 形 ；l 可 用 二 维 图 形 表 示 三 维 形 体 ；l 动 态 显 示 。图 形 变 换 二 维 图 形 的 显 示 流 程 图 图 形 的 几 何 变 换l 图 形 变 换 ： 对 图 形 的 几 何 信 息 经 过 几 何 变 换后 产 生 新

14、的 图 形 。l 图 形 变 换 的 两 种 形 式 ：l 1.图 形 不 变 ， 坐 标 系 改 变 ；l 2.图 形 改 变 ， 坐 标 系 不 变 。l 我 们 所 讨 论 的 是 针 对 坐 标 系 的 改 变 而 讲 的 。 图 形 变 换 一 般 是 指 将 图 形 的 几 何 信 息 经 过 几 何 变 换 后 产生 新 的 图 形 。图 形 变 换 既 可 以 看 做 是 图 形 不 动 而 坐 标 系 变 动 ， 变 动 后 该 图 形 在新 的 坐 标 系 下 具 有 新 的 坐 标 值 ； 也 可 以 看 作 是 坐 标 系 不 动 而 图 形变 动 ， 变 动 后 的

15、图 形 在 坐 标 系 中 的 坐 标 值 发 生 变 化 。线 框 图 形 的 变 换 ， 通 常 是 以 点 变 换 为 基 础 ， 把 图 形 的 一 系 列 顶 点做 几 何 变 换 后 ， 连 接 新 的 顶 点 序 列 ， 即 可 产 生 新 的 变 换 后 的 图 形 。对 于 用 参 数 方 程 描 述 的 图 形 ， 可 以 通 过 参 数 方 程 几 何 变 换 ， 实 现对 图 形 的 变 换 。图 形 学 中 ， 实 现 图 形 变 换 时 通 常 采 用 齐 次 坐 标 系 来 表 示 坐 标 值 ，可 方 便 的 用 变 换 矩 阵 实 现 对 图 形 的 变 换

16、。齐 次 坐 标 表 示 法 ， 就 是 用 n+1维 矢 量 表 示 一 个 n维 矢 量 ， 即 n维 空 间 中 的 点 的 位 置 矢 量 （ P1,P2Pn） 被 表 示 为 具 有 n+1个 坐标 分 量 的 矢 量 （ hp1,hp2hpn， h） 。 齐 次 坐 标 表 示 法 一 方 面 可 以 表 达 无 数 远 点 ； 另 一 方 面 提供 了 把 矩 阵 运 算 把 二 维 三 维 甚 至 高 维 空 间 中 一 个 点 集 从一 个 坐 标 系 变 换 到 另 一 个 坐 标 系 的 有 效 方 法 。这 里 讨 论 的 几 何 变 换 都 是 在 齐 次 坐 标 下

17、 。3.1图 形 的 几 何 变 换基 本 的 几 何 变 换 研 究 物 体 坐 标 在 直 角 坐 标 系 内 的 平 移 、 旋 转 和变 比 的 规 律 。 基 本 变 换 可 分 为 二 维 几 何 变 换 和 三 维 几 何 变 换 两大 类 。 对 于 参 数 表 示 的 曲 线 曲 面 等 图 形 的 变 换 ， 基 于 效 率 的 考虑 ， 一 般 对 其 参 数 做 变 换 来 实 现 对 整 个 图 形 的 变 换 ， 而 不 是 逐点 进 行 变 换 。3.1.1二 维 图 形 几 何 变 换1、 基 本 变 换 （ 1） 平 移 (Translation) 平 移 是

18、 将 对 象 从 一 个 位 置 (x,y)移 到 另 一 个 位 置 (x,y)的 变 换 。Tx=x-x,Ty=y-y称 为 平 移 距 离 。 平 移 变 换 公 式 为 ：yx TyyTxx , （ x,y） （ x,y） 0 XY 图 3.1 平 移 （ 2） 旋 转 (Rotation)旋 转 是 以 某 个 参 考 点 为 圆 心 ， 将 对 象 上 的 各 点 （ x,y） 围 绕 圆 心转 动 一 个 逆 时 针 角 度 ， 变 为 新 的 坐 标 （ x,y） 的 变 换 。 当 参 考点 为 (0,0)时 ， 旋 转 的 公 式 为 ： sincoscossin)sin(

19、 sinsincoscos)cos( ararary arararx 因 为 x=rcosa， y=rsina， 所 以 上 式 可 转 化 为 ： sincos sincos xyy yxx 如 果 参 考 点 不 是 （ 0， 0） ， 而 是 任 意 一 点 （ x r,yr） ,那 么 绕（ xr,yr） 点 的 旋 转 由 3个 步 骤 ：A、 将 对 象 平 移 Tx=-xr,Ty=-yrB、 按 式 (3.2)做 旋 转 变 换C、 平 移 Tx=xr,Ty=yr。 组 合 这 3个 步 骤 的 公 式 为 （ 3.2） sin)(cos)( sin)(cos)( rrr rrr

20、 xxyyyy yyxxxx a (x,y)(x,y)0Y X图 3.2 旋 转 （ 3） 变 比 (Scaling)变 比 是 使 对 象 按 比 例 因 子 （ Sx,Sy） 放 大 或 缩 小 的 变 换 ， 公 式 ：yx SyySxx .,. 按 式 （ 3.3） 做 变 比 变 换 时 ， 不 仅 对 象 的 大 小 变 换 ， 而 且 ， 对象 离 原 点 的 距 离 也 发 生 了 变 换 。 如 果 只 希 望 变 换 对 象 的 大 小 ，而 不 改 变 对 象 离 原 点 的 距 离 ， 称 为 固 定 点 变 比 (Scaling Relative to a Fixed

21、 Point)。 以 a为 固 定 点 进 行 变 比 的 方 法 ：1、 做 平 移 T x=-xa,Ty=-ya2、 按 式 （ 3.3） 做 变 比3、 做 （ 1） 的 逆 变 换 ， 即 做 平 移 Tx=xa,Ty=ya (3.3) （ x,y）(x,y)Y0 X图 3.3 变 比当 变 比 因 子 Sx或 Sy小 于 0时 ， 对 象 不 仅 变 化 太 小 ， 而 且 分 别 按 x轴 或 y轴 被 反 射 。 下 图 （ a） 表 示 当 Sy=-1,Sx=1时 的 变 化 ， 按 x轴 反 射 ； （ b） 表 示 当 Sy=1,Sx=-1时 的 变 化 ， 按 y轴 反

22、射 ； （ c）表 示 当 Sx=-1,Sy=-1时 按 原 点 （ 0， 0） 反 射 。 X0Y (a)x轴 反 射 0Y 0YX X(b)y轴 反 射 (c)原 点 反 射2、 变 换 矩 阵上 述 三 种 基 本 变 换 公 式 都 可 以 表 示 为 3 3的 变 换 矩 阵 和 齐 次 坐标 相 乘 的 形 式 。1） 平 移 的 矩 阵 运 算 形 式 1010 0011,1, yx TTyxyx 简 记 为 p=p.T(Tx,Ty)。 其 中 ， p=x,y,1， p=x,y,1 1010 001),( yxyx TTTTT表 示 平 移 矩 阵 。2） 旋 转 的 矩 阵 运

23、 算 表 示 为 100 0cossin 0sincos.1,1, yxyx简 记 为 p=p.R()， 其 中 R()表 示 旋 转 矩 阵 。3） 变 比 的 矩 阵 运 算 表 示 为 100 00 001,1, yx SSyxyx简 记 为 p=p.S(Sx,Sy)， 其 中 S(Sx,Sy)表 示 变 比 矩 阵 。3、 级 联 变 换 (Composite Transformation)由 基 本 变 换 构 成 的 连 续 变 换 序 列 称 为 级 联 变 换 。 一 个 比 较 复 杂的 变 换 需 要 连 续 的 进 行 若 干 个 基 本 变 换 才 能 实 现 ， 也

24、就 是 要 经过 级 联 变 换 。变 换 的 矩 阵 形 式 使 得 级 联 变 换 的 工 作 量 大 为 减 少 。 以 绕 任 意 点旋 转 变 换 为 例 ， 本 应 该 进 行 如 下 3次 变 换 ： ),(. )(. ),(. rr rr yxTpp Rpp yxTpp （ 3.4）（ 3.5）（ 3.6） 将 式 (3.4)(3.5)代 入 (3.6)得 ),().().,(. rrrr yxTRyxTpp 令 ).().().,( rrrrc yxTRyxTT cTpp . Tc称 为 级 联 变 换 矩 阵 。3.1.2 三 维 图 形 几 何 变 换1、 旋 转分 为

25、三 种 基 本 旋 转 ： 绕 Z、 Y、 X旋 转 。下 述 旋 转 公 式 设 旋 转 的 参 考 点 在 所 绕 的 轴 上 ， 绕 轴 转 角 ， 方 向是 从 轴 所 指 处 往 原 点 看 是 逆 时 针 。 1、 绕 Z轴 旋 转 的 公 式 （ 简 记 Rz()）zz yxy yxx cossin sincos 矩 阵 运 算 的 表 达 式 1000 0100 00cossin 00sincos.1,1, zyxzyx2、 绕 X轴 旋 转 的 公 式 （ 简 记 R x()） cossin sincos zyz zyy xx 1000 0cossin0 0sincos0 0

26、001.1,1, zyxzyx3、 绕 y轴 旋 转 的 公 式 （ 简 记 Ry()） sincos cossin xzz yy xzx 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos.1,1, zyxzyx 如 果 旋 转 所 绕 的 轴 不 是 坐 标 轴 ， 而 是 一 条 任 意 轴 。 首 先 ， 对 旋转 轴 做 平 移 和 绕 轴 旋 转 变 换 ， 使 得 所 绕 之 轴 与 某 一 条 标 准 轴 重合 ； 然 后 ， 绕 该 标 准 坐 标 轴 做 所 需 角 度 的 旋 转 ； 最 后 ， 通 过 逆变 换 使 所 绕 之 轴 恢 复 到 原 来 位 置 。 需

27、 要 7个 基 本 变 换 的 级 联 才能 完 成 。 Rx（ a） Ry（ ） aRz（ ） xx x xxy yy y yzz zz zp2 p2 p2p1p2 p2p1 p1(a)初 始 状 态 (b)p1点 与 原 点 重 合p1 (c)p1p2落 入 平 面 xoz(d)p1p2与 Z轴 重 合 (e)绕 p1p2轴 角 旋 转p1 2、 旋 转设 Sx,Sy,Sz是 3个 坐 标 轴 方 向 的 比 例 因 子 ， 则 有 ：zyx SzzSyySxx .,.,. 矩 阵 的 表 示 为 1000 000 000 000.1,1, zyx SSSzyxzyx简 记 为 S(Sx,

28、Sy,Sz)， 对 于 某 个 非 原 点 参 数 点（ Xf,Yf,Zf） 进 行 固 定 点 变 比 变 换 ， 是 通 过 如 下 级 联 变换 实 现 的 ： ),(),(),( fffzyxfff zyxTSSSSzyxT 下 面 介 绍 三 维 几 何 变 换 的 指 令 ， 与 二 维 几 何 变 换 类 似 ，也 有 3条 指 令 ， 分 别 如 下 ：1、 建 立 变 换 矩 阵 的 指 令Creat-transformation-matrix(Xf,Yf,Zf,Sx,Sy,Sz,Xr1,Yr1,Zr1,Xr2,Yr2,Zr2,a,Tx,Ty,Tz,matrix)其 中 ，

29、Xf,Yf,Zf是 固 定 点 变 比 的 固 定 坐 标 ；Sx,Sy,Sz是 变 比 参 数 ；Xr1,Yr1,Zr1,Xr2,Yr2,Zr2是 旋 转 所 绕 任 意 轴 的 起 点 与终 点 坐 标 ；A是 旋 转 角 度 。 Matrix是 返 回 的 4 4矩 阵 。 2、 积 累 变 换 的 指 令Accumulate-matrices-3(m1,m2,m)其 中 m1,m2是 输 入 矩 阵 ,m是 输 出 矩 阵 ， 3个 都 是 4 4矩 阵 ， 这 条 指 令 执 行 如 下 功 能 ： m=m1.m23、 坐 标 变 换 指 令Set-segment-transform

30、ation-3(Id,matrix);其 中Id是 物 体 的 编 号 ， matrix是 变 换 矩 阵 。 这 条 指 令 将 Id所 含 的 坐 标 逐 一 与 matrix相 乘 ， 从 而 实 现 三 维 几 何 变换 。 3.1.3参 数 几 何 变 换前 面 介 绍 都 是 图 形 几 何 变 换 均 是 基 于 点 的 变 换 。 对 于用 参 数 表 示 的 图 形 几 何 变 换 仍 是 基 于 点 的 ， 计 算 量 和存 储 空 间 都 很 大 。1、 圆 锥 曲 线 的 几 何 变 换圆 锥 曲 线 的 方 程 为 0 22 FEyDxCyBxyAx矩 阵 表 示 为

31、 0122 22 221, yxFED ECB DBAyx简 记 为XSXT=0 (1)平 移 变 换平 移 矩 阵 为 1010 001 nmTr 则 平 移 之 后 圆 锥 曲 线 方 程 为0TTrr XSTXT(2)旋 转 变 换旋 转 矩 阵 为 100 0cossin 0sincos R则 旋 转 之 后 圆 锥 曲 线 方 程 为 0 TT XXRSR若 对 圆 锥 曲 线 相 对 (m,n)点 做 旋 转 角 变 换 ， 变 换 后 圆锥 曲 线 矩 阵 方 程 为 0TTrTr XTRSRXT （ 3） 比 例 变 换对 圆 锥 曲 线 相 对 （ m,n） 点 进 行 比

32、例 变 换 ， 比 例 变 换 矩阵 为 100 00 10yxT SSS变 换 后 的 圆 锥 曲 线 方 程 为 0TT rTTTr XTSSSXT 3.2坐 标 系 统 及 其 变 换 zzryrx ,sin,cos 3.2.1坐 标 系 统坐 标 系 统 的 分 类 ： 按 维 度 来 分 ， 可 以 分 为 一 维 坐 标 系统 、 二 维 坐 标 系 统 、 三 维 坐 标 系 统 ； 按 坐 标 轴 之 间 的空 间 关 系 分 为 直 角 坐 标 系 统 、 圆 柱 坐 标 系 统 、 球 坐 标系 统 。 其 中 直 角 坐 标 系 统 用 的 最 多 。圆 柱 坐 标 系

33、统 与 直 角 坐 标 系 统 的 关 系 为球 坐 标 系 统 与 直 角 坐 标 系 统 关 系 为 cos,sinsin,cossin rzryrx 世 界 坐 标 系 （ World Coordinate System）局 部 坐 标 系 （ Local Coordinate System ）观 察 坐 标 系 （ Viewing Coordinate System ）成 像 面 坐 标 系屏 幕 坐 标 系 3.2.2规 格 化 变 换 与 设 备 坐 标 变 换计 算 机 图 形 学 中 ， 世 界 坐 标 系 和 规 格 化 设 备 坐 标系 （ Normalized Devic

34、e Coordinate,NDC） 是 两 个同 时 使 用 的 坐 标 系 。世 界 坐 标 系 是 设 计 者 描 述 现 实 世 界 中 的 设 计 对 象所 用 的 坐 标 系 ， 其 坐 标 的 范 围 可 以 任 意 大 小 。 规 格 化 坐标 系 是 计 算 机 图 形 软 件 描 述 设 计 对 象 所 用 的 介 质 。 图 形硬 件 不 同 ， 设 备 的 坐 标 系 也 不 同 。 为 了 使 图 形 软 件 易 于在 不 同 设 备 之 间 移 植 ， 图 形 软 件 并 不 采 用 实 际 的 设 备 坐标 ， 而 采 用 规 格 化 设 备 坐 标 。规 格 化

35、设 备 坐 标 定 义 x,y方 向 的 变 化 范 围 为 01，从 规 格 化 设 备 坐 标 到 各 种 图 形 硬 件 实 际 坐 标 之 间 的 映 射由 图 形 软 件 自 动 实 现 。 因 此 使 用 图 形 软 件 的 用 户 均 以 规格 化 设 备 坐 标 在 各 种 图 形 输 出 与 显 示 设 备 上 作 图 。 世 界 坐 标 的 范 围 是 无 限 大 。 为 了 使 规 格 化 设 备 坐 标 上 显示 的 世 界 坐 标 系 中 的 物 体 有 一 个 合 适 的 范 围 与 大 小 ， 必须 首 先 对 世 界 坐 标 系 指 定 显 示 范 围 ， 它

36、通 常 是 个 矩 形 。在 世 界 坐 标 系 中 这 个 矩 形 称 为 窗 口 。 在 规 格 化 设 备 坐 标系 中 这 个 矩 形 被 称 为 视 区 （ View Port） 。 图 形 软 件 根据 窗 口 与 视 区 的 一 一 对 应 关 系 ， 自 动 实 现 从 世 界 坐 标 系到 规 格 化 设 备 坐 标 的 变 换 。 这 种 从 窗 口 到 视 区 的 变 换 称为 规 格 化 变 换 （ Normalization Transformation） 。1、 规 格 化 变 换1） 指 定 窗 口 的 大 小 与 编 号Set-window(N,Xw-min,X

37、w-max,Yw-min,Yw-max)N为 窗 口 编 号 ， Xw-minYw-max为 窗 口 沿 x方 向 y方 向 的 最 小 值 和 最 大 值 ， 这 些 参 数 均 用 世 界 坐 标 。 2） 指 定 视 区 的 大 小 与 编 号Set-viewport(N,Xv-min,Xv-max,Yv-min,Yv-max)N为 视 区 编 号 ， Xv-minYv-max为 视 区 x方 向 y方 向 的 最 小 值和 最 大 值 ， 这 些 参 数 使 用 规 格 化 设 备 坐 标 。70.5-65 -20.75 40.25 0.71 0.5 0.8（ a） 窗 口 的 坐 标

38、 （ b） 视 区 的 坐 标图 3.9从 a到 b的 标 准 化 变 换 3） 选 择 规 格 化 变 换Select-normalization-transformation(N)N是 规 格 化 变 换 的 编 号 ， 也 即 窗 口 和 视 区 的 编 号 。2、 窗 口 操 作1） 视 野 的 变 换 （ Zooming）变 换 视 野 的 效 果 改 变 窗 口 的 4个 参 数 ， 令 minmaxminmax , wwwwww yyyxxx当 变 小 时 ， 视 区 内 的 物 体 就 变 大 了 ， 否 则 就 变 小 。 前 者称 为 zoom-in（ 视 野 变 小 ）

39、， 后 者 称 为 zoom-out（ 视 野 变 大 ）While(zoom-in)Xw-max-;Xw-min+;Yw-max-;Yw-min+;While(zoom-out)Xw-max+;Xw-min-;Yw-max+;Yw-min-;ww yx , 2)摇 镜 头 （ panning）效 果 就 像 取 景 框 在 一 张 很 大 的 图 纸 上 移 动 ， 它 也 改 变 4个 参 数dyYY dyYY dxXX dxXX ww ww ww ww minmin maxmax minmin maxmax当 dx0时 ， 镜 头 往 右 移 ； dx0时 ，镜 头 往 上 移 ； dy

40、0， 镜 头 往 下 移 。3） 多 重 窗 口 （ Multiple Window）对 不 同 的 窗 口 分 别 指 定 视 区 ， 就 在 荧 光 屏 上 出 现 多 窗 口 。设 两 条 折 线 p1,p2的 坐 标 存 在 4个 数 组 x1,y1,x2,y2中 ， 下 列指 令 序 列 可 以 实 现 多 重 窗 口 效 果 。 Set-window(1,1,9,300,700);Set-viewport(1,0.1,0.4,0.2,0.8);Set-window(2,10,13,100,200);Set-viewport(2,0.6,0.9,0.2,0.8);Select-nor

41、malization-transformation(1);Polyline(l1,x1,y1);Select-normalization-transformation(2);Polyline(l2,x2,y2); 0.1 0.4 0.6 0.90.20.8图 3.10一 个 屏 幕 上 多 个 窗 口 视 区 显 示 多 重 窗 口 的 视 区 还 可 以 重 叠 ， 操 作 内 容 增 加 ， 如 重 叠 层 次 改 变 与指 定 、 视 区 拖 动 以 及 大 小 的 改 变 。 这 些 内 容 都 涉 及 窗 口 内 容 的 恢复 。 除 使 用 帧 缓 冲 外 ， 还 需 要 更 多

42、内 存 来 保 存 非 表 面 层 窗 口 内 容 ，以 做 恢 复 之 用 。 下 面 指 令 来 指 定 视 区 的 优 先 级 ：Set-Viewport-Input-Priority(NT1,NT2,HL)NT1、 NT2是 两 个 标 准 化 变 换 的 名 ， HL可 选 Higher或 Lower（ Higher意 味 着 NT1优 先 于 NT2， 否 则 NT2优 先 NT1） 。 优 先 级 可以 传 递 继 承 。3、 从 规 格 化 坐 标 （ NDC） 到 设 备 坐 标 （ DC） 的 变 换NDC变 换 成 DC（ 即 显 示 器 的 像 素 坐 标 ） 变 换

43、关 系 如 下 ： -1 -aa 0Ny-1 Nx-11 0NDC 像 素图 3.12 NDC到 DC的 变 换 关 系 其 中 a=1,Nx=1024,Ny=768。 规 格 化 坐 标 中 的 点 （ Xin,Yin）经 过 平 移 （ dx,dy） 和 比 例 变 换 （ Sx,Sy） ， 就 可 以 得 到 设 备 坐标 系 中 的 点 （ Xout,Yout）1） 公 式 yinyoutxinxout dysydxsx .,.若 规 格 化 坐 标 中 的 两 点 Xin1和 Xin2变 换 到 设 备 坐 标 下 为 Xout1和Xout2， 由 于 从 规 格 化 坐 标 到 设

44、 备 坐 标 的 变 化 是 线 性 变 化 ， 则有 yNDCyDC xNDCxDC inxoutx ininoutoutx dySy dxSx xSxd xxxxS . . )/()( 11 1212 注 意 3个 方 面 的 问 题 ：（ 1） 要 考 虑 x、 y方 向 上 的 实 际 像 素 数 ；（ 2） 规 格 设 备 坐 标 空 间 具 有 的 几 何 一 致 性 不 一 定 在 设 备 坐 标 空间 中 成 立 （ 因 设 备 坐 标 系 中 的 像 素 不 一 定 是 正 方 形 ， 例 如 图3.12中 像 素 高 宽 比 是 (Nx-1)/(Ny-1)， 常 用 微 型

45、 计 算 机 像 素 高宽 比 为 768/1024）（ 3） 实 际 应 用 中 规 格 设 备 坐 标 和 设 备 坐 标 的 方 向 相 反 。2） 方 向以 图 3.12为 例 子 ， x方 向 ， -1变 成 0， 1变 成 N x-1， Sx=(Nx-1)/2， dx=(Nx-1)/2;y方 向 ， a变 成 0， -a变 成 Ny-1， Sy=(Ny-1)/(-2a)， dy=(Ny-1)/2。3） 设 备 坐 标 中 像 素 中 心 的 变 换规 格 化 坐 标 系 中 的 点 变 换 到 设 备 坐 标 后 应 在 相 应 位 置 的 像 素 中 心 。 X方 向 上 ， -

46、1变 成 -0.5， 1变 成 Nx-0.5， Sx=Nx/2， dx=(Nx-1)/2； y方 向 ， a变 成 -0.5， -a变 成 Ny-0.5， Sy=-Ny/(2a)，dy=(Ny-1)/2。3.2.3投 影 变 换1、 基 本 概 念计 算 机 图 形 软 件 中 所 采 用 的 笛 卡 儿 （ Cartesian） 直 角 三 维 坐 标 系系 统 ， 按 z轴 方 向 不 同 分 为 ：（ 1） 右 手 系 统 xz y （ 2） 左 手 系 统 xzy在 三 维 坐 标 系 中 ， 物 体 上 各 点 都 以 3个 分 量 (x,y,z)描 述 ， 此 物 体称 为 三 维

47、 物 体 。 若 将 三 维 物 体 描 述 在 二 维 平 面 上 ， 必 须 对 三 维 物体 进 行 投 影 。 投 影 (project)是 一 种 使 三 维 对 象 映 射 为 二 维 对 象的 变 换 。 project(object(x,y,z) object(x,y)投 影 在 视 域 坐 标 系 （ 也 称 观 察 坐 标 系 ） 内 进 行 ， 视 域 坐 标 系 通 常 为 一 左 手 系 ， 下 面 介 绍 的 投 影 在 左 手 坐 标 系 内 介 绍 。 投 影 的 要 素 除 投 影 对 象 、 投 影 面 外 ， 还 有 投 影 线 。 按 照 投 影 线 的

48、角 度 不 同 ， 有 两 种 基 本 投 影 方 法 ：（ 1） 平 行 投 影 （ Parallal Projection）它 使 用 一 组 平 行 投 影 线 将 三 维 对 象 投 影 到 投 影 平 面 上 。（ 2） 透 视 投 影 （ Perspective Projection）它 使 用 一 组 由 投 影 中 心 产 生 的 放 射 投 影 线 ， 将 三 维 对 象 投 影 到 投影 平 面 上 。 图 3.14 两 种 基 本 投 影P1P2 P1P2P1P2 P1P2 o 由 平 行 投 影 方 法 表 现 三 维 对 象 的 图 ， 称 为 正 视 图 和 轴 测

49、 图 。 由透 视 投 影 方 法 表 现 三 维 对 象 的 图 ， 称 为 透 视 图 。 下 面 讨 论 中 ，假 设 投 影 面 与 xoy面 重 合 ， 即 在 投 影 面 上 z=0。2、 平 行 投 影 变 换按 照 标 准 线 与 投 影 面 的 夹 角 不 同 ， 平 行 投 影 分 为 正 交 平 行 投 影和 斜 交 平 行 投 影 两 类 。1） 正 交 平 行 投 影 （ Orthographic P.P.）投 影 线 与 投 影 面 成 90度 角 ， 一 个 三 维 点 （ x,y,z)正 交 平 行 投影 法 投 影 到 平 面 xoy上 ， 得 到 一 个 二

50、 维 点 （ x p,yp）Xp=x， yp=y， zp=0同 理 也 可 以 将 三 维 物 体 正 交 平 行 投 影 到 xoz和 yoz平 面 上 ， 分别 获 得 平 视 图 和 侧 视 图 。 设 计 中 常 用 正 交 平 行 投 影 来 产 生 三视 图 ， 称 为 正 视 图 。 2） 斜 交 平 行 投 影 （ Oblique P.P.）投 影 线 与 投 影 面 成 a角 。 一 个 三 维 点 （ x,y,z） 以 斜 交 平 行 投 影 方法 投 影 到 投 影 面 上 ， 形 成 投 影 坐 标 （ xp,xp,zp） 。 斜 交 平 行 投 影也 称 轴 测 投

51、影 ， 所 获 得 图 称 为 轴 测 图 。3、 透 视 投 影 变 换设 投 影 中 心 在 z轴 负 轴 上 ， 投 影 中 心 c到 坐 标 原 点 o的 距 离 为 d。为 求 透 视 投 影 变 换 公 式 ， 先 列 出 直 线 PC的 参 数 化 方 程 ：udzzzyyyxxx uu )(, 参 数 u变 化 范 围 01， 当 u=0时 ， （ x,y,z） 等 于 （ x,y,z） ，即 P点 ； 当 u=1时 ， （ x,y,z） 等 于 （ 0,0,-d） ， 即 C点 。 因 此u值 表 示 直 线 PC上 的 位 置 。 do xyz cP(x,y,z)P(x,y

52、,z)图 3.15 透 视 投 影 3.3图 元 输 出 与 输 出 属 性3.3.1二 维 图 元 输 出图 元 是 图 形 软 件 用 于 组 织 和 操 作 画 面 的 最 基 本 的 素 材 。一 幅 画 面 有 图 元 组 成 ， 图 元 是 一 组 最 简 单 的 、 最 通 用的 几 何 图 形 或 字 符 。图 形 软 件 中 常 用 的 图 元 有 Line(直 线 段 )、 Polyline(折线 )、 Text(字 符 串 )、 Fill area(色 块 )、Polymarker(符 号 的 轨 迹 )、 Move(现 行 位 置 的 定 位 )、Cell Array(

53、像 素 矩 阵 )、 Circle(圆 )。 每 种 图 元 都 有 一 系 列 参 数 描 述 ， 这 些 参 数 由 两 类 命 令 定 义 ： 一 类是 输 出 图 元 命 令 ， 它 描 述 了 图 元 的 种 类 及 最 重 要 、 也 是 变 化 最 频繁 的 参 数 ， 如 直 线 的 端 点 坐 标 。 另 一 类 是 图 元 性 质 定 义 命 令 ， 它描 述 了 图 元 的 其 余 性 质 ， 如 直 线 的 宽 度 、 线 型 等 。用 户 定 义 的 二 维 图 元 的 窗 口 区 到 视 图 区 的 输 出 过 程 如 下 ：应 用 程 序 得 到 的 坐 标 (U

54、C) 对 窗 口 区 进 行 裁 剪 (WC)窗 口 区 到 视 图 区 的 规 格 化 变 换 (NDC)视 图 区 的 规 格 化 坐 标 系 到 设 备 坐 标 系 的 变 换 (DC)调 用 基 本 图 元 生 成 算 法 在 图 形 设 备 上 输 出 图 形 输 出 图 元 的 命 令 ：（ 1） move(x,y)定 义 当 前 位 置 为 （ x,y） 。 启 动 图 形 软 件 后 当 前 位 置 自 动 定 义 为（ 0， 0）（ 2） line(x,y)以 当 前 位 置 为 起 点 ， （ x,y） 为 终 点 画 一 直 线 ， 如 果 两 点 重 合 ，则 画 一

55、点（ 3） polyline(n,x_array,y_array)X_array、 y_array为 两 个 一 维 数 组 ， 每 个 数 组 长 度 为 n。 本 命令 画 一 条 有 n+1个 顶 点 （ 包 括 两 个 端 点 ） 的 折 线 。 第 1个 顶 点 在当 前 位 置 ， 其 余 n个 顶 点 的 位 置 有 x_array和 y_array中 的 值 决定 。 3.3.2输 出 属 性 及 其 控 制1、 图 元 的 输 出 属 性常 见 的 定 义 图 元 属 性 的 命 令 ：1） 直 线 的 属 性（ 1） 线 类 型Set_linetype(linetype)，

56、 其 中 linetype可 以 为 solid（ 实 线 ）dotted（ 点 线 ） dashed（ 虚 线 ） dotdashed（ 点 划 线 ）（ 2） 线 色 彩Set_line_color_index(pc)， 其 中 pc是 查 色 表 的 地 址 ， 通 常 是一 个 范 围 在 0255。（ 3） 线 宽 度 Set_line_width(linewidth)， 其 中 linewidth是 标 准 线 宽 的 倍 数 。 2） 定 义 查 色 表 的 内 容指 令 为 set_color_representation(ci,R,G,B)定 义 地 址 为 ci单 元 的

57、色 彩 代 码 ， 其 中 ci为 查 色 表 地 址 ， R、 G、B分 别 为 红 绿 蓝 的 色 代 码 ， 任 何 一 种 颜 色 都 可 由 R、 G、 B三 原色 按 不 同 比 例 混 合 而 成 。 最 普 通 的 一 种 取 值 范 围 是 ci、 R、 G、B为 02553） 多 边 形 填 色 的 属 性（ 1） 多 边 形 填 色 风 格Set_polygon_interior_style(style)， style取 值 范 围 为Solid(单 色 )、 Hollow(不 填 色 )、 Pattern(填 图 案 )（ 2） 多 边 形 的 色 彩Set_polyg

58、on_color_index(color) (3)多 边 形 的 图 案Set_polygon_pattern_index(Pid),其 中 Pid是 一 个 图 案 的 编 号(4)图 案 内 容Set_pattern_representation(Pid,nx,ny,CP)， 这 条 命 令 将 图案 的 编 号 Pid和 它 的 内 容 （ 放 在 CP之 内 ） 对 应 起 来 。 CP是 一 个 二维 数 组 ， 大 小 为 1,2,nx1,2,ny,每 个 元 素 对 应 一 个 像 素 。其 中 CP描 述 了 一 个 用 像 素 矩 阵 表 示 图 案 的 构 成 。(5)图

59、案 的 位 置Set_pattern_reference_point(xp,yp),确 定 了 图 案 的 左 下 角点 在 屏 幕 坐 标 上 的 （ xp,yp） 例 ： 将 右 图 所 示 图 案 填 入一 个 顶 点 坐 标 在 x1.10Y110中 的 多 边 形 。 2121首 先 将 图 案 的 编 码 存 放 在 一 个 数 组 pattern中 ， 然 后 利 用 上 述 命 令 填 入 多 边 形 。Pattern1,1=1Pattern1,2=0Pattern2,1=0Pattern2,2=1Set_pattern_representation(1,2,2,pattern

60、)Set_polygon_interior_style(pattern) Set_polygon_pattern_index(1)Set_pattern_reference_point(0,0)Fill_area(10,x,y) 4)字 符 的 属 性（ 1） 字 型Set_text_font(tf)， 其 中 tf可 以 取 Roman(罗 马 型 )、 Greek(希 腊 型 )、 Script(手 书 型 )、 Old English(老 体 )（ 2） 字 符 色 彩Set_text_color_index(tc), tc为 查 色 表 的 地 址（ 3） 字 符 大 小Set_cha

61、rsize(width,height),width、 height表 示 字 符 宽 高（ 4） 字 母 方 向Set_charnp_vector(d x,dy),dx,dy是 字 母 方 向 矢 量 在 x,y轴 上的 投 影（ 5） 字 符 串 的 轨 迹 set_text_path(dx,dy),字 符 串 的 轨 迹 是一 条 直 线 ， 斜 率 为 m=dy/dx 5)符 号 属 性（ 1） 符 号 种 类Set_marker_type(mt)， mt是 符 号 的 ASCII编 码（ 2） 符 号 色 彩Set_marker_color_index(mc),mc是 查 色 表 的

62、地 址（ 3） 符 号 大 小 Set_marker_size_scale_factor(ms),ms是 字 符 的 缩 放 比 例上 述 命 令 定 义 图 元 性 质 虽 然 灵 活 ， 但 很 麻 烦 ， 需 要 n条 命 令 才 能定 义 一 个 图 元 的 n个 性 质 。 可 以 采 用 组 合 命 令 ， 即 使 用 一 个 命 令来 定 义 一 组 性 质 。组 合 命 令 定 义 分 两 步 完 成 ： 1、 建 立 组 合 表 中 的 值 ， 即 将 一 组 性质 赋 予 某 输 出 设 备 的 组 合 表 中 的 某 一 地 址 。 2、 用 编 号 （ 即 组 合 表

63、的 地 址 ） 调 用 这 组 性 质 。 例 子 ： 以 直 线 为 例 ， 说 明 组 合 命 令 的 定 义（ 1） 建 立 组 合 表 的 值 的 命 令Set_line_representation(WS,lid,lt,lw,lc)， 其 中 WS是 图 形输 出 设 备 编 号 ， lid是 性 质 编 号 ， lt直 线 种 类 ， lw直 线 宽 度 ， lc直线 色 彩（ 2） 调 用 这 组 性 质 的 命 令Set_line_index(li),li是 性 质 编 号Set_line_representation(1,3,dotted,0.5,1)Set_line_rep

64、resentation(4,3,solid,1,7)Set_line_index(3) 凡 画 直 线 都 采 用 性 质 3。 如 编 号 为 1的 输 出 设 备 被 激 活 ， 则 输 出直 线 性 质 为 点 线 、 0.5粗 、 1号 色 彩 3、 属 性 的 查 询属 性 查 询 指 令 的 功 能 是 将 基 元 的 某 个 性 质 赋 给 变 量 返 回 。Inquire 基 元 的 类 型 和 性 质 （ 变 量 ）例 ： inquire_linetype(ilt)这 条 指 令 功 能 是 把 当 前 直 线 的 种 类 赋 给 变 量 ilt返 回 。 3.3.3三 维

65、图 元 的 输 出很 多 图 形 软 件 中 ， 三 维 图 元 的 输 出 只 是 在 原 来 二 维 图元 输 出 命 令 的 基 础 上 增 加 一 个 后 缀 3， 例 如 move的 三维 形 式 move-3(x,y,z)， 命 令 line的 三 维 形 式 line-3(x,y,z)等 等 。实 际 上 ， 要 在 图 形 输 出 设 备 上 是 输 出 一 个 三 维 图 元 ，必 须 进 行 投 影 变 换 。视 域 坐 标 系 统 （ viewing coordinate system,VCS）投 影 面 与 面 重 合 ， Z轴 正 向 指 向 要 表 达 的 物 体

66、， 透 视 投影 的 中 心 位 于 Z轴 的 负 轴 上 。 将 三 维 图 元 输 出 到 图 形 设 备 上 ， 必 须 经 过 以 下 步 骤 ：1、 定 义 一 个 视 域 坐 标 系 统 VCS， 为 此 需 定 义 如 下 数 据（ 1） VCS坐 标 原 点（ 2） VCS的 Z轴 方 向（ 3） VCS的 y轴 方 向2、 将 投 影 物 体 的 世 界 坐 标 变 换 为 视 域 坐 标在 完 成 了 前 2个 步 骤 后 ， 投 影 就 可 以 进 行 了 。 然 后 将 二 维 视 域 坐标 转 换 为 规 格 化 坐 标 ， 便 可 在 屏 幕 上 显 示 了 。3、 选 择 平 行 投 影 或 透 视 投 影 进 行 投 影 变 换 ， 使 VCS三 维 对 象 变为 VCS在 XOY平 面 上 的 二 维 对 象 。4、 在 VCS的 XOY平 面 上 定 义 一 窗 口 ， 并 定 义 相 应 的 视 区 ， 进 行 标 准 变 换 。 世 界 坐 标 WCS 视 域 坐 标 VCS3Dvcs 2Dvcs 标 准 设 备 坐 标NDC视 域 变 换 投影