高等数学A习题课4

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1、二、二、作业讲析作业讲析三、三、典型例题讲析典型例题讲析四、四、练习题练习题一、一、内容总结内容总结内容总结内容总结1 1、微分中值定理，、微分中值定理，LHospital法则法则 理解理解Rolle定理和定理和Lagrange中值定理，会运用中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式其证明一些命题、等式及不等式 了解了解Cauchy中值定理和中值定理和Taylor中值定理的中值定理的 条件，会用条件，会用Taylor公式进行近似计算公式进行近似计算 熟练掌握熟练掌握LHospital法则法则2 2、导数的应用、导数的应用 掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法掌握利用函数导数的符号判

2、定函数单调性的方法 掌握利用函数单调性证明不等式的方法掌握利用函数单调性证明不等式的方法 理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值 的求法的求法 了解函数曲线的凸性与拐点的概了解函数曲线的凸性与拐点的概 念，掌握曲线的凸性与拐点的判定念，掌握曲线的凸性与拐点的判定 会利用函数的单调性、极值、会利用函数的单调性、极值、凸性、拐点、渐近线等性态描绘凸性、拐点、渐近线等性态描绘 函数的图形函数的图形 明确函数的最值与极值在概念上的区别，明确函数的最值与极值在概念上的区别，掌握最值的求法及其简单应用掌握最值的求法及其简单应用作业中问题的讲析作业中问题的讲析典型例题讲

3、析典型例题讲析例例1 1分析分析 要证 ，即要证设函数设函数(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，证明内可导，证明在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使，使或可取 F(x)=(b-x)(x)-(a)，利用罗尔定理证明.证明证明 令 F(x)=(b-x)(x)-(a)，则有F(x)在 a,b上连续、在(a,b)内可导，且有F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知(a,b)，使 ，即例例2 2设设 f(x)在在a,b上连续、在上连续、在(a,b)内可导内可导(a 0,b0),求证方程求证方程在在(a,b)内至少有一个实根内至少有一个实根.分析分析 不可用介值定理证明(不一定连续

4、)；考虑中值定理，为此方程变形为则若取有且证明证明 令则F(x)也在a,b上连续、在(a,b)内可导，且由罗尔定理知(a,b)，使 ，即或又证又证 取函数 f(x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.即 为原方程的一个实根.下面的证法为什么错了？f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件，故有又令F(x)=lnx，它在a,b上也满足拉格朗日中值定理条件，故有两式相除得即故 为原方程的一个实根.例例3 3讨论函数 在x=0点的连续性.解其中故又而故 f(x)在 x=0点连续.例例4 4解求下列极限：故该极限不存在.注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则.例例5 5解求下列极限：总结：总结：求函数

5、的极限，不要拘求函数的极限，不要拘泥于泥于LHospital法则，综合运用法则，综合运用所学的方法，往往会有事半功所学的方法，往往会有事半功倍的效果倍的效果.例例6 6 当k为何值时,方程 x-lnx+k=0在区间(0,+)上(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?解 记 有 ，故 x=1为极小值点，又 f(x)在(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为 f(x)在(0,+)内的最小值，且 fmin=f(1)=1+k又(1)当1+k0,即k0,即k-1时,原方程无实根.于是例例7 7解证明当 时，sinx+tanx 2x取因此 在 上严格单调增，故从而 f(x)在 上严格单调

6、增，即亦即 sinx+tanx-2x 0或 sinx+tanx 2x例例8 8曲线 上那一点处的法线在y轴上的截距最小？解设 在(x,y)处的法线为因 故 法线方程为整理后为法线在y 轴上的截距为求其极值：令 解得 x1=1,x2=-1(舍去),故b(1)极小值，亦即最小值，从而在点(1,1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.例例9 9当 a,b为何值时,点(1,3)为曲线的 y=ax3+bx2 拐点？解令 得当 时，曲线在 上严格上凸；当 时，当 时，曲线在 上严格下凸；于是点 为曲线唯一的拐点.而要使(1,3)为拐点,须 ,即课内练习题课内练习题1.f(x)在0,1上可导，0f(x)0

7、)有几个实根？4.证明不等式5.讨论函数 的性态，并作图.课外练习题课外练习题6.设 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导.连接点A(a,f(a)和B(b,f(b)的直线段 AB 与曲线 y=f(x)相交于点C(c,f(c)(acg(0)=0故从而 f(x)在 上严格单调增，因此 f(x)f(0)=0，即(2)提示：取 f(t)=tlnt,t(0,+)，证明该函数严格下凸.4(1)取 则有再取 x (-,-3)-3(-3,-1)(-1,0)0(0,+)+0 -+0 +-0 +极大值-27/4 拐点 (0,0)5.曲线有两条渐近线：x=-1,y=x-2，性态列表如下：6.提示：对f(x)分别在a,c和c,b上运用拉格朗日中值定理，再对 在1,2上运用罗尔定理.7.(1)(2)e (3)(4)8.提示：分别将f(a)和f(b)在点(a+b)/2展开成泰勒公式，再相加.9.设底宽x，则周长函数为可求得底宽为 时截面周长最小.