概率论课本习题答案

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1、2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图；(3).【解】故X的分布律为X012P（2） 当x0时，F（x）=P（Xx）=0当0x1时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)= 当1x2时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=当x2时，F（x）=P（Xx）=1故X的分布函数(3) 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表

2、示出事故的次数，则Xb（1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故 所以 .9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X6（5，0.3）(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb（7，0.3）10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与

3、时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的

4、概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为250012=30000元.设1年中死亡人数为X，则Xb(2500,0.002)，则所求概率为由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000） 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时

5、间内有一只电子管损坏的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 当x100时F（x）=0当x100时 故 18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】依题意知，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交

6、通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，XN（40，102），则若走第二条路，XN（50，42），则+故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若XN（40，102），则若XN（50，42），则 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN（3，22），（1） 求P2X5，P-4X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由

7、某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 28.设随机变量X的分布律为X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9故Y的分布律为Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3049.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因为P（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1当ye2时FY（y）=P(Yy)=0. 当e2ye4时， 当ye4时，即 故 8.设二维随机变量（X

8、，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】 题8图 题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】 题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度.【解】（1） 得.(2) 13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20

9、.20.420.38(2) 因故X与Y不独立.22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故从而而X与Y独立，故,从而即： 又即从而同理 又,故.同理从而故YX11.设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.设随机变量X，Y，Z相互

10、独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）= fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值 由X与Y的独立性，得 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为于是34.设随机变量X和Y的联合概率分布为YX -1 0 1010.07 0.18 0.

11、150.08 0.32 0.20试求X和Y的相关系数. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为YX -101P0.080.720.2所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)=0.12 -0.60.2=0从而 =01.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P10X18.【解】设表每次掷的点数，则 从而 又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而 所以 14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P|X-Y|6的估计. （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m，则XB（100，0.2）从而 11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000. 由中心极限定理有