土体本构模型

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1、土 体 本 构 模 型 本 构 关 系 ： 材 料 的 应 力 应 变 (时 间 )关 系本 构 模 型 ： 反 映 材 料 的 应 力 应 变 ( 时 间 )关 系 的 数 学 模 型 ， 即 数 学 表达 式 。 当 然 ， 这 种 数 学 表 达 式 可 能 很 复 杂 ， 而 且 包 括 一 系 列 的 数 学 表 达式 。 E 1 .应 力 和 应 变 Txzyzxyzyx ppp (一 ） 应 力 和 应 变 分 量 的 几 种 表 示 方 法1.一 般 分 量 土 体 中 一 点 的 应 力 状 态 ， 可 以 用 处 于 该 点 的 正 六 面 体 单 元 的 表 面 上 的

2、6个 （ 9个 ） 应 力 分 量 来 表 示 ， 即 3个 正 应 力 分 量 ， 3个 剪 应 力 分 量 写成 矩 阵 形 式 为 zyx , zxyzxy , Tzxyzxyzyx 应 力 偏 量 （ 1） 矩 阵 或 向 量 表 示 法偏 应 力 1 .应 力 和 应 变(一 ） 应 力 和 应 变 分 量 的 几 种 表 示 方 法1.一 般 分 量图 5 1中 表 示 了 单 元 体 上 的 这 6个 应 力 分 量 。 相 应 地 ， 也 有 6个 应 变 分 量 ，以 矩 阵 表 示 为 Tzxyzxyzyx （ 1） 矩 阵 或 向 量 表 示 法 1.应 力 和 应 变

3、图 5-1 （ 2） 张 量 表 示 法如 果 某 些 量 依 赖 于 坐 标 轴 的 选 取 ， 并 且 ， 当座 标 变 换 时 ， 它 们 的 变 换 具 有 某 种 指 定 的 形式 ， 则 这 些 量 总 称 为 张 量 。 一 点 的 应 力 分 量就 总 称 为 应 力 张 量 。ij ijij zzyzx yzyyx xzxyx 在 进 行 公 式 推 导 时 ， 一 般 尽 量 用 一 种 表 示 方 法 ： 矩 阵 或 张量 ， 不 宜 混 用 1.应 力 和 应 变（ 2） 张 量 表 示 法 ijS ppp zzyzx yzyyx xzxyx 注 意 ： 在 进 行 公

4、 式 推 导 时 ， 一 般 尽 量 用 一 种 表 示 方 法 ： 矩 阵 或 张 量 ， 不 宜混 用偏 应 力 张 量 在 弹 性 力 学 中 ， 法 向 应 力 和 应 变 以 拉 为 正 ， 压为 负 ； 而 土 体 一 般 不 能 受 拉 ， 土 力 学 中 讨 论 的 地 基应 力 、 土 压 力 等 ， 都 是 以 压 为 正 ， 拉 为 负 。 因 此 ，土 力 学 中 ， 应 力 应 变 分 量 的 正 负 规 定 就 与 弹 性 力 学相 反 ， 即 正 面 上 的 负 向 应 力 为 正 ， 负 面 上 的 正 向 应力 为 正 。 不 仅 正 应 力 如 此 ， 剪

5、应 力 也 如 此 ， 以 保 持一 致 ， 并 能 套 用 弹 性 力 学 公 式 。 注 意 ： 1.应 力 和 应 变 2. 主 应 力 应 变 分 量 在 正 六 面 体 单 元 中 可 以 找 到 3个 互 相 垂 直 的 面 ， 其 上 剪 应 力 为 0，只 作 用 有 正 应 力 。 这 样 的 面 叫 正 应 力 面 ， 所 作 用 的 正 应 力 叫 主 应 力 。3个 面 上 的 主 应 力 按 大 小 排 列 ， 分 别 为 大 主 应 力 、 中 主 应 力 和小 主 应 力 。 1 2 3 1.应 力 和 应 变应 力 状 态 表 示 方 法 之 一 ： 主 应 力

6、 方 向 余 弦 主 应 力 与 坐 标 轴 的 选 择 无 关 ，应 变 也 可 用 三 个 主 应 变 分 量 表 示 ， 矩 阵 形 式 Ti 321 将 坐 标 系 的 三 个 轴 顺 着 三 个 主 应 力 方 向 放 ，分 别 以 1， 2， 3表 示 ， 如 图 5-2所 示 。 再 对 这 个 坐 标系 的 8个 挂 限 分 别 作 等 倾 面 。 8个 挂 限 的 等 倾 面 围 成了 一 个 正 八 面 体 。 这 些 等 倾 面 叫 八 面 体 面 。根 据 力 的 平 衡 关 系 可 以 推 得 正 八 面 体 面 上 的 正 应 力和 剪 应 力 分 别 为 3. 八

7、 面 体 应 力 和 应 变 图 5-2 1.应 力 和 应 变 32131 OCT 21323222131 OCT 21323222131 OCT 剪 应 力 OCT作 用 在 八 面 体 面 上 还 有 个 方 向 问 题 。 这 决 定 于 中 主 应 力 接 近大 主 应 力 还 是 小 主 应 力 。 与 应 力 相 应 ， 还 有 八 面 体 面 上 的 应 变 ， 正 应 变 和 剪 应 变 分 别 为 2 1 3 32131 OCT 21323222132 OCT 1.应 力 和 应 变 在 土 体 本 构 模 型 理 论 中 ， 常 常 也 用 球 应 力 、 偏 应 力 以

8、 及 或 作 为应 力 分 量 。球 应 力 也 称 为 平 均 正 应 力 以 p表 示4. 球 应 力 、 偏 应 力 及 相 应 应 变 32131 p 偏 应 力 又 叫 广 义 剪 应 力 ， 以 q表 示 21323222121 q 1.应 力 和 应 变 注 意 ： 这 里 的 偏 应 力 和 Sij的 区 别 ， 建 议 这 里 不 用 偏 应 力)(31 zyx 注 意 ： 此 式 也 可 用 6个 应 力 分量 表 示 p 和 q也 可 以 用 八 面 体 应 力 来 表 示 ， 如 下p OCT OCTq 23 反 映 了 复 杂 应 力 状 态 下 受 剪 的 程 度

9、， 因 此 常 用 来 表 示 剪 应 力 。 当 时 ， 如 轴 对 称 的 三 轴 仪 试 样 受 力 情 况 ， 32 31 1.应 力 和 应 变 可 以 推 知 相 应 的 应 变 分 量体 积 应 变 ： 321 v偏 应 变 ： 其 中 表 示 了 复 杂 受 力 状 态 下 的 剪 切 变 形 。 对 于 轴 对 称 三 轴 试样 的 变 形 ， 有 s 32 31 2 v 332 131 vs 1.应 力 和 应 变 231232221 )()()(32 s 球 应 力 和 偏 应 力 ， 以 及 相 应 的 应 变 分 量 ， 实 际 上 与 八 面 体 应 力 和 应变

10、是 等 效 的 ， 仅 仅 是 系 数 不 同 。 但 在 分 析 能 量 时 ， 要 简 单 得 多 。 可 以推 得 ： 体 积 变 形 能 ： vv pW 形 变 能 ： ss qW 1.应 力 和 应 变 对 于 一 组 确 定 的 p和 q， 可 以 有 许 多 种 主 应 力 分 量 的 组 合 ， 解 是不 确 定 的 。 因 此 ， 要 有 第 三 个 分 量 。 第 三 个 分 量 常 取 应 力 罗 德（ Lode） 参 数 31 31231 2132 2 式 中 ， ， 为 三 个 应 力 摩 尔 圆 的 直 径 ， 见 图 5-3 32 21 31 1.应 力 和 应

11、变 2 131 32 b还 有 一 个 参 数 b也 反 映 了 中 主 应 力 接 近 大 主 应 力 的 程 度 。若 ， b=1； 若 ,b=012 32 图 5-3相 应 地 ， 也 有 应 变 罗 德 参 数 31 3122 1.应 力 和 应 变 5. 应 力 不 变 量第 一 应 力 不 变 量 ： 3211 I第 二 应 力 不 变 量 ： 1332212 I第 三 应 力 不 变 量 ： 3213 I 此 外 ， 还 有 下 面 两 个 偏 应 力 不 变 量 ， 它 们 须 与 第 一 应 力 不 变 量 相 结 合 形 成 三 个 独 立 的 应 力 分 量 ： 1.应

12、力 和 应 变第 二 偏 应 力 不 变 量 ： 第 三 偏 应 力 不 变 量 ： 213232221612 J 2131323212713 222 J 不 随 坐 标 轴 的 选 取 而 改 变 表 示 一 点 应 力 状 态 的 方 法 ？ ？ （ 二 ） 应 力 空 间 和 应 力 路 径1 应 力 和 应 变 空 间 为 了 表 示 应 力 状 态 ， 表 示 各 应 力 分 量 的 数 值 ， 常 常 以 应 力 分 量 为 坐 标 轴 形成 一 个 空 间 ， 叫 做 应 力 空 间 。 该 空 间 内 的 一 点 的 几 个 坐 标 值 就 是 相 应 的 应 力分 量 。 如

13、 果 应 力 分 量 取 三 个 主 应 力 ， 和 ， 以 三 个 主 应 力 分 量 为 坐 标 轴 构成 一 个 直 角 坐 标 系 ， 叫 主 应 力 空 间 。 这 个 空 间 内 一 点 有 三 个 坐 标 值 ， 就 代 表了 实 际 土 体 中 一 点 的 某 种 应 力 状 态 。 图 5-4中 的 M点 代 表 了 应 力 状 态 ， 和 。 1 2 3 M1 M2M3 1.应 力 和 应 变 图 5-4 1.应 力 和 应 变 弹 塑 性 力 学 ：Pi平 面 为 过 原 点 与 空 间主 对 角 线 垂 直 的 平 面 平 面 在 主 应 力 空 间 内 ， 法 线 与

14、 空 间 主 对 角 线 重 合 的 等 倾 面 ， 被 叫 做 面 。所 谓 空 间 主 对 角 线 ， 就 是 与 3个 坐 标 轴 的 夹 角 都 相 等 的 线 。 主 应 力 空 间 中 ，在 该 线 上 有 321 八 面 体 面 是 几 何 空 间 （ 长 度 坐 标 系 ） 内 的 面 ， 面 是 在 应 力 空 间 内 的 面 。 两者 坐 标 系 不 同 ， 物 理 概 念 不 同 。 再 者 ， 八 面 体 面 在 几 何 空 间 内 的 八 个 挂 限 都 有 ， 而 面 只 存 在 于 应 力 空 间 内 的 第 一 挂 限 和 与 其 相 对 的 挂 限 ， 其 它

15、 挂 限 内 的 等 倾 面 并不 是 面 。 空 间 主 对 角 线 也 只 存 在 于 这 两 个 挂 限 。 1.应 力 和 应 变 利 用 面 可 以 较 好 地 反 映 应 力 状 态 。 图 5-4中 点 M的 坐 标 代 表 主 应 力 分 量 。通 过 M点 作 面 。 它 到 原 点 的 距 离 为 pOO 331 321 在 面 上 ， M到 空 间 主 对 角 线 的 距 离OM 21323222131 q32 它 们 分 别 与 应 力 分 量 p和 q有 关 。 而 点 M在 面 内 的 方 位 可 反 映 第 三 个 分 量 。将 图 5-4中 的 三 个 主 应

16、力 坐 标 轴 ， 以 及 代 表 应 力 状 态 的 点 M 投 影 到 面 上 ， 如图 5-5所 示 。 1.应 力 和 应 变 在 该 面 上 放 一 个 二 维 的 直 角 坐标 系 ， 令 Y轴 与 2轴 重 合 ， X轴 在 1 的 那 一 侧 。 定 义 到 X轴 的 转 角 叫应 力 罗 德 角 。 它 就 是 与 第 三 应 力 分量 有 关 的 参 数 。 可 以 证 明 ， 它 与 罗德 参 数 间 的 关 系 为 ： 3tan 1.应 力 和 应 变 应 力 空 间 还 可 以 用 其 他 形 式 的 应 力 分 量 为 坐 标 。如 果 以 ， ， ， ， 和 六

17、个 应 力 分 量 为 坐 标 ， 则 应 力空 间 是 六 维 空 间 ， 无 法 用 图 形 表 示 ， 仅 可 以 作 抽 象 的 理 解 。 p-q 平 面 1.应 力 和 应 变 如 果 忽 略 第 三 应 力 不 变 量 或 应 力 罗 德 角 对 变 形 的 影 响 ， 可 以 只 用 、 两个 分 量 来 构 成 二 维 的 应 力 空 间 ， 叫 p q平 面 ， 如 图 5-6所 示 。 在 后 面 的 本 构 模型 理 论 中 ， 常 常 会 用 到 这 种 平 面 。 图 5-6 1.应 力 和 应 变 图 5-6 1.应 力 和 应 变 表 示 应 力 状 态 或 应

18、 力 路 径 也 有 优 点P204qp )(21 31 p )(21 31 q二 维 问 题 中 ， 与 应 力 空 间 相 应 ， 以 应 变 分 量 为 坐 标 轴 形 成 一 个 空 间 ， 叫 做 应 变 空 间 。 该 空间 内 的 一 点 的 几 个 坐 标 值 就 是 应 变 分 量 。 图 5-8所 示 为 主 应 变 空 间 。 它 的 三 个 坐 标轴 分 别 为 ， 和 。 1 23 图 5-8 1.应 力 和 应 变 2.应 力 路 径 在 应 力 空 间 内 ， 代 表 应 力 状 态 的 点 移 动 的 轨 迹 ， 叫 应 力 路 径 。 它 表示 应 力 变 化

19、 的 过 程 ， 或 者 加 荷 的 方 式 。 1.应 力 和 应 变 图 9 1.应 力 和 应 变 设 土 体 中 一 点 初 始 应 力 状 态 如 图 5-9应 力 空间 内 点 所 示 ， 受 力 后 变 化 到 。 从 到 ， 可 以 有 各 种 方 式 ， 如 、 和 按 比 例 增 加 ； 初 期 增 加 得 多 ， 和 增 加 得 少 ， 而 后 期 反 过 来 。 对 于 某种 加 荷 方 式 ， 代 表 应 力 状 态 的 点 将 从 沿某 种 轨 迹 移 动 到 。 加 荷 过 程 中 ， 不 同 的加 荷 方 式 可 以 用 不 同 的 应 力 路 径 来 表 示

20、。 更 常 用 的 是 用 p-q平 面 的 应 力 路 径 1.应 力 和 应 变 与 其 相 应 ， 当 然 也 有 应 变 路 径 。 普 通 三 轴 应 力 状 态 下pq （ 三 ） 应 力 应 变 关 系 矩 阵 k D D广 义 虎 克 定 律 增 量 形 式 )( )( )( yxzz zxyy zyxx EE EE EE （ 三 ） 应 力 应 变 关 系 矩 阵广 义 虎 克 定 律 D D DD （ 三 ） 应 力 应 变 关 系 矩 阵 复 杂 应 力 状 态 下 的 应 力 应 变 关 系 是 多 元 化 的 ， 要 表 示 出 多 元 素 与 多 元 素 之间 的

21、关 系 ， 就 要 用 张 量 或 矩 阵 。 常 用 到 的 增 量 形 式 的 应 力 应 变 关 系 的 矩 阵 为 D 式 中 D叫 刚 度 矩 阵 ， 如 果 应 力 和 应 变 分 量 取 一 般 形 式 ， 各 有 6个 分 量 ， 则 矩 阵D为 6 6， 共 36个 元 素 。 如 果 用 主 应 力 和 主 应 变 分 量 ， 则 矩 阵 D为 3 3， 共9个 元 素 。 二 维 问 题 的 应 力 分 量 为 ， 应 变 分 量 为 ， 因此 其 矩 阵 D也 是 3 3 的 ， 将 上 式 展 开 可 写 成 ： xyyx ,xyyx , 1.应 力 和 应 变 xy

22、yxxyyx DDD DDD DDD 333231 232221 131211 对 于 任 一 元 素 D i j， 其 意 义 为 ， 要 产 生 单 位 应 变 增 量 而 其 它 应 变 增 量 为 0时 ，在 应 施 加 的 应 力 增 量 中 的 分 量 即 为 Dij。 显 然 ， D i j 的 值 愈 大 ， 材 料 愈 难 变形 ， 表 示 材 料 刚 度 愈 大 。 j i 1.应 力 和 应 变 xyyxx DDD 131211 应 力 应 变 关 系 也 可 写 成 相 反 的 形 式 ， 即 : C 式 中 C叫 柔 度 矩 阵 。 对 于 二 维 问 题 ， 将 其

23、 展 开 ， 可 写 成 xyyxxyyx CCC CCC CCC 333231 232221 131211 在 复 杂 受 力 条 件 下 ， 建 立 土 的 应 力 应 变 关 系 ， 实 际 上 就是 要 给 出 矩 阵 C或 D。 C或 D互 为 逆 矩 阵 1.应 力 和 应 变C ij越 大 ， 材 料 越 软 xyyxx CCC 131211 2.土 体 三 维 变 形 的 试 验 三 轴 仪 应 力 变 形 试 验 三 轴 仪 的 构 造 示 意 如 图 5-10所 示 。 图 5-10 仪 器 构 造 ： 中 间 为 圆 柱 形 土 样 。 其 下 为 透 水 石 ， 透 水

24、 石 放 在 三 轴 仪 底 座 上 ； 试 样 顶 部 也放 有 透 水 石 再 上 面 是 金 属 的 试 样 帽 。试 验 时 ， 土 样 的 上 下 两 端 与 透 水 石 接 触 处 ， 分 别 放 置 滤 纸 。 试 样 外 侧 包 有 薄 橡 皮膜 ， 膜 的 下 端 扎 紧 于 底 座 ， 上 端 扎 紧 于 试 样 帽 。所 谓 压 力 室 就 是 能 够 施 加 水 压 力 或 气 压 力 的 密 室 ， 侧 向 为 有 机 玻 璃 筒 ， 上 部 为 金属 顶 盖 ， 下 部 固 定 于 底 座 ， 其 间 设 有 密 封 圈 防 止 漏 水 ， 顶 盖 的 中 央 为

25、一 金 属 活 塞杆 传 递 竖 向 荷 载 。 2.土 体 三 维 变 形 试 验 实 验 原 理 ： 试 验 时 在 压 力 室 中 充 水 并 加 压 ， 这 一 压 力 叫 围 压 。 围 压 通 过 橡 皮 膜 从侧 向 传 到 试 样 上 ， 也 通 过 试 样 帽 从 竖 向 作 用 给 土 样 ， 此 时 试 样 受 各 向 相 等的 压 力 ： 小 主 应 力 。 待 固 结 稳 定 后 再 用 加 压 设 备 竖 向 加 荷 。 土 样 上 增加 的 竖 向 应 力 叫 偏 应 力 q（ 轴 向 附 件 应 力 ） ， 此 时 竖 向 应 力 为 大 主 应 力 ， 1 +

26、q。 由 于 土 样 是 圆 柱 形 的 ， 故 中 主 应 力 2 。 在 加 竖 向 荷载 时 ， 可 以 用 测 微 表 量 测 试 样 的 竖 向 变 形 量 ， 由 此 可 推 得 轴 向 应 变 a /L0， 式 中 L0为 初 始 试 样 高 度 。 0L 2.土 体 三 维 变 形 试 验 三 轴 仪 中 的 试 样 是 圆 柱 形 的 ， 其 受 力 和 变 形 是 轴 对 称 的 ， 它 有 两 个 方 向 的应 力 和 ， 同 时 测 得 两 种 应 变 和 ， 由 它 们 可 推 出 侧 向 应 变 1 3 av r2 avr 2.土 体 三 维 变 形 试 验 三 轴

27、 仪 试 样 的 应 力 变 形 状 态 是 轴 对 称 的 ， 而 实 际 工 程 问 题 中 土 体 应 力应 变 状 态 往 往 并 非 轴 对 称 的 ， 因 此 需 要 有 相 应 的 试 验 设 备 来 研 究 更 加 复 杂的 应 力 状 态 。 2.土 体 三 维 变 形 试 验 2.平 面 应 变 试 验岩 土 工 程 许 多 问 题 可 以 简 化 为 平 面 应 变 问 题 平 面 问 题 注 意 ： （ 1） 三 个 方 向 的 尺 寸 ； 小 主 应 力 方 向 尺 寸 应 较 小 ， 试 样 才 能 达 到 破 坏 ； （ 2） 试 验 仪 器 中 难 以 处 理

28、的 问 题 ； 不 同 方 向 的 加 荷 板 打 架 ！ 2.土 体 三 维 变 形 试 验 2 1 3 3.真 三 轴 试 验 真 三 轴 仪 的 试 样 为 立 方 体 ， 从 三 个 方 向 分 别 施 加 三 个 主 应 力 分 量 。 由 于加 荷 方 式 的 不 同 ， 产 生 了 不 同 型 式 的 真 三 轴 仪 ： （ ） 三 个 方 向 全 为 刚 性 板 加 荷 。 2.土 体 三 维 变 形 试 验 （ ） 方 向 为 刚 性 板 加 荷 ， 另 两 方 向 为 气 压 或 液 压 柔 性 加荷 。 （ ） 方 向 柔 性 加 荷 ， 而 和 方 向 为 刚 性 板

29、。1 3 1 2 2 1 3 图 5-12是 河 海 大 学 的 真 三 轴 仪 示 意 ， 属 于 第 （ ） 种 类 型 。 图 5-12a.整 体 结 构 b.加 荷 与 变 形 示 意 2.土 体 三 维 变 形 试 验 实 验 原 理 2方 向 的 传 力 块 B是 由 多 层 金 属 板 与 橡 皮 相 间 复 合 而 成 。 在 竖 向 该 传 力 块 可与 试 样 同 步 压 缩 ， 而 在 2向 靠 金 属 板 传 力 保 持 刚 性 。 竖 向 荷 载 由 试 样 和 传 力块 共 同 承 担 ， 但 荷 载 2.土 体 三 维 变 形 试 验传 感 器 只 量 测 试 样

30、 上 的 荷 载 ， 从 而 可 算 得 1。传 压 块 B上 下 有 滚 轮 ， 可 适 应 试 样 在 2向 的 变 形 。这 样 2方 向 的 加 荷 板 不 要 予 留 空 隙 ， 可 使 2均匀 作 用 于 试 样 ， 且 试 样 自 始 至 终 规 整 。 小 主 应 力则 用 气 压 施 加 。 4.空 心 扭 剪 仪 土样P 1 P2a.空 心 圆 柱 试 样 b.扭 剪 仪 整 体 结 构图 5-13 2.土 体 三 维 变 形 试 验 外 室为 什 么 是 空 心 而 不 用 实 心 ？ ？ 仪 器 所 用 的 试 样 为 空 心 的 圆 柱 体 ， 如 图 13(a)所

31、示 ， 仪 器 的 整 体 结构 如 图 13(b)所 示 。 试 样 被 包 在 内 外 橡 皮 膜 之 中 。 该 仪 器 可 以 对 试 样施 加 种 荷 载 ， 径 向 内 压 力 、 径 向 外 压 力 、 竖 向 压 力 z和 环 向扭 剪 应 力 ， 根 据 内 外 径 向 应 力 可 以 推 算 出 环 向 应 力 。1r 2rz 2.土 体 三 维 变 形 试 验注 意 ： 研 究 变 形 与 研 究 强 度 的 土 工 仪 器 各 有 哪 些 ？ 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 利 用 前 面 所 讲 的 一 些 土 体 应 力 变 形 试 验 的 仪 器

32、进 行 试 验 研 究 可 以 揭 示 土 体变 形 的 许 多 规 律 。 这 是 建 立 本 构 模 型 的 依 据 。 1. 非 线 性 和 非 弹 性 图 5-15(a)是 金 属 和 混 凝 土 等 坚 硬 材 料 的 轴 向 拉 压 曲 线 ， 图 5-15(b)为 土 的 三 轴试 验 得 出 的 轴 向 应 力 与 轴 向 应 变 之 间 的 关 系 曲 线 。 与 金 属 材 料 不 同 的是 ， 初 始 的 直 线 阶 段 很 短 ， 对 于 松 砂 和 正 常 固 结 粘 土 ， 几 乎 没 有 直 线 阶 段 ， 加 荷一 开 始 就 呈 非 线 性 。 1 3a 这

33、种 非 线 性 变 化 的 产 生 ， 是 因 为 除 弹 性 变 形 以 外 还 出 现 了 不 可 恢 复 的 塑 性 变 形 。土 体 是 松 散 介 质 ， 受 力 后 颗 粒 之 间 的 位 置 调 整 ， 在 荷 载 卸 除 后 ， 不 能 恢 复 ， 形 成 较大 的 塑 性 变 形 。 图 15a.金 属 b.土 体 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 如 果 加 荷 到 某 一 应 力 后 再 卸 荷 ， 曲 线 将 如 图 16所 示 。 为 加 荷 段 ， 为 卸 荷 段 。 卸 荷 后 能 恢 复 的 应 变 即 弹 性 应 变 。 不 可 恢 复 的 那

34、部 分 应 变 为 塑性 应 变 。 图 16 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 经 过 一 个 加 荷 退 荷 循 环 后 ， 再 加 荷 ， 将 如 图 16中 的 段 所 示 ， 它 并 不 与 线 重 合 ， 而 存 在 一 个 环 ， 叫 回 滞 环 。 回 滞 环 的 存 在 表 示 退 荷 再 加 荷 过 程 中能 量 消 耗 了 ， 要 给 以 能 量 的 补 充 。 再 加 荷 还 会 产 生 新 的 不 可 恢 复 的 变 形 ， 不 过同 一 荷 载 多 次 重 复 后 塑 性 变 形 逐 渐 减 小 。非 线 性 和 非 弹 性 是 土 体 变 形 的 突

35、 出 特 点 。弹 性 、 塑 性 、 粘 性 （ 流 变 性 ） 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 弹 性 、 塑 性 、 粘 性能 够 恢 复 的 变 形 ；不 能 恢 复 的 变 形 ；状 态 随 时 间 而 变 化 的 性 质 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 剪 胀 性 和 塑 性 体 积 应 变 土 体 受 力 后 会 有 明 显 的 塑 性 体 积 变 形 。 图 17为 土 样 在 三 轴 仪 中 逐 步 施 加 各向 相 等 的 压 力 后 ， 再 卸 除 所 得 到 的 与 体 积 应 变 之 间 的 关 系 曲 线 图 17 3.土 体 三 向

36、 变 形 的 主 要 规 律vp evpv 可 见 存 在 不 可 恢 复 的 塑 性 体 积 应 变 ， 而 且 它 往 往 比 弹 性 体 积 应 变 更大 。 这 一 点 与 金 属 不 同 ， 金 属 塑 性 变 形 是 由 于 晶 格 之 间 的 错 动 滑 移 而 造 成的 ， 只 有 形 状 改 变 ， 不 产 生 体 积 变 化 。 金 属 是 很 密 实 的 材 料 ， 晶 格 间 没 有可 压 缩 的 孔 隙 ， 因 此 被 认 为 是 没 有 塑 性 体 积 变 形 的 。土 体 的 塑 性 变 形 也 与 颗 粒 的 错 位 滑 移 有 关 。 这 种 错 动 滑 移

37、不 仅 在 受 剪 时 发生 ， 受 压 时 也 存 在 。 在 各 向 相 等 的 压 力 作 用 下 ， 从 宏 观上 来 说 ， 是 不 受 剪 切 的 ； 但 在 微 观 上 ， 颗 粒 间 有错 动 。 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律vp 剪 切 也 会 引 起 塑 性 体 积 变 形 在 三 轴 仪 中 对 土 样 施 加 偏 压 力 的 同 时 ， 减 小 围 压 ， 并令 ， 使 球 应 力 保 持 不 变 ， 所 得 出 的 应 力 应 变 曲 线 将 如 图 19所 示 。尽 管 体 积 应 力 不 变 ， 但 图 中 仍 有 体 积 应 变 ， 此 时 测

38、 得 的 体 积 应 变 完 全 是 剪 切 造成 的 。 在 图 19（ ） 中 ， 体 积 应 变 随 偏 应 力 增 大 而 增 大 。 剪 切 引 起 的体 积 收 缩 ， 叫 剪 缩 。 软 土 和 松 砂 常 表 现 为 剪 缩 。 31 3 2 313 v 31 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 图 5-19a b 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 a 在 图 19（ ） 中 ， 开 始 阶 段 为 剪 缩 ， 以 后 曲 线 向 上 弯 曲 ， 为 负 的 体 积 应变 ， 即 体 积 膨 胀 ， 这 种 现 象 叫 做 剪 胀 。 紧 密 砂 土

39、， 超 固 结 粘 土 ， 常 表 现 为 剪胀 。 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 a.松 砂 b.密 砂图 5-20 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 砂 土 受 剪 所 产 生 体 积 变 形 可 用 图 20来 说 明 。 假 定 土 体 沿 水 平 向 受 剪 切 。 对 于松 砂 ， 受 剪 后 某 些 颗 粒 填 入 原 来 的 孔 隙 ， 体 积 减 小 ； 对 于 密 砂 ， 原 来 的 孔 隙 体 积 较小 ， 受 剪 时 一 些 颗 粒 必 须 上 抬 才 能 绕 过 前 面 的 颗 粒 产 生 错 动 滑 移 ， 于 是 体 积 膨 胀 。

40、 塑 性 剪 应 变 土 体 受 剪 发 生 剪 应 变 。 剪 应 变 的 一 部 分 与 骨 架 的 轻 度 偏 斜 相 对 应 ，荷 载 卸 除 后 能 恢 复 ， 是 弹 性 剪 应 变 。 另 一 部 分 则 与 颗 粒 之 间 的 相 对 错 动滑 移 相 联 系 ， 荷 载 卸 除 后 不 能 恢 复 ， 为 塑 性 剪 应 变 。 不 仅 剪 应 力 能 引 起剪 应 变 ， 体 积 应 力 也 会 引 起 剪 应 变 。 三 轴 仪 中 的 土 样 在 应 力 和 下 变 形 稳 定 后 ， 保 持 不 变 而 降 低 ,见 图 21（ a） ， 则 会 发 现 ， 随着 减

41、 小 ， 轴 向 应 变 不 断 增 大 ， 直 至 最 后 达 到 破 坏 。 31 3 31 3 3 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 a.单 元 体 应 力 变 化 c.应 力 路 径 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律331 A sp B B Aq p破 坏 线 AB破 坏 线b.摩 尔 圆 变 化 d.剪 应 变 等 q试 验 在 这 一 应 力 变 化 过 程 中 ， 应 力 摩 尔 圆 直 径 不 变 ， 位 置 不 断 向 左 移 动 ，如 图 21（ b） ， 摩 尔 圆 从 移 动 到 。 当 围 压 降 到 一 定 值 ， 摩 尔 圆 与 库 仑

42、 破裂 线 相 切 ， 土 样 剪 坏 ， 这 时 剪 应 变 已 发 展 到 很 大 数 值 。由 此 可 见 ， 球 应 力 的 变 化 确 实 引 起 了 不 可 恢 复 的 剪 应 变 。 这 种 应 力 变 化 可以 用 图 21（ c） 中 坐 标 系 中 的 线 段 来 表 示 。 还 可 点 绘 出 剪 应 变 s随 球 应 力 减 小 而 增 加 的 关 系 曲 线 ， 如 图 21（ d） 中 的 段 。 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 硬 化 和 软 化 三 轴 试 验 测 得 的 轴 向 应 力 与 轴 向 应 变 的 关 系 曲 线 有 两 种 形态

43、。 图 22（ ） 所 示 曲 线 有 一 直 上 升 的 趋 势 直 至 破 坏 ， 这 种 形 状 的 应 力 应 变 关 系叫 硬 化 型 ,软 土 和 松 砂 表 现 为 这 种 形 态 图 22(a) 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 图 22（ ） 所 示 曲 线 前 面 部 分 是 上 升 的 ， 应 力 达 到 某 一 峰 值 后 转 为 下 降 曲线 ， 即 应 力 在 降 低 ， 而 应 变 却 在 增 加 ， 这 种 形 态 叫 做 软 化 型 。 紧 密 砂 和 超 压 密粘 土 表 现 为 这 种 形 态 。 图 22(b) 3.土 体 三 向 变 形

44、的 主 要 规 律 将 转 换 为 ， 点 绘 曲 线 ， 其 形 式 与 图 22也 相 似 ，存 在 硬 化 和 软 化 两 种 形 式 。对 于 其 他 剪 切 试 验 （ 如 直 剪 、 单 剪 ） ， 得 出 的 关 系 曲 线 也 有 硬化 和 软 化 的 区 别 。 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 应 力 路 径 对 变 形 的 影 响 岩 土 材 料 存 在 较 大 的 塑 性 变 形 。 沿 不 同 的 应 力 路 径 加 荷 ， 各 阶 段 的 塑性 变 形 增 量 不 同 ， 累 积 起 来 ， 就 有 不 同 的 应 变 总 量 。 这 就 是 应 力

45、路 径 对 变形 的 影 响 。 图 23a b 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 虚 线 表 示 排 水 试 验 的 有 效 应 力 路 径 。 实 线 表 示 先 做 不 排 水 试 验 ， 其 有效 应 力 路 径 为 ， 达 到 接 近 破 坏 的 点 后 ， 排 水 固 结 ， 保 持 不 变 而 增 加 ，应 力 路 径 为 。两 种 应 力 路 径 初 始 和 终 了 应 力 状 态 相 同 ， 两 种 路 径 所 对 的 轴 向 应 变 大 不 同 。实 线 ， 因 点 接 近 破 坏 线 ， 必 然 产 生 较 大 的 轴 向 应 变 ， 最 终 必 然 较 大

46、 如 图 23（ ） 中 的 线 所 示 。虚 线 远 离 破 坏 线 ， 其 轴 向 应 变 必 然 较 小 ， 如 图 23（ ） 中 的 1线 所 示 。 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 应 力 历 史 对 变 形 的 影 响应 力 历 史 指 历 史 上 的 应 力 路 径 。 由 于 塑 性 变 形 不 可 恢 复 ， 历 史 上 发 生 的 变 形 将 保 存和 积 累 起 来 。 它 无 疑 会 影 响 今 后 的 变 形 。 图 24中 ， 、 两 点 具 有 相 同 的 应 力 ， 然 而 点 处 于 初 始 加 荷 曲 线 上 ， 点 处 于 再 加 荷 曲

47、 线 上 ， 两 点 对 应 不 同 的 ， 它 们 所 处 应 力 应 变 关 系 曲 线 的 斜 率 也不 同 。 如 果 施 加 同 样 的 荷 载 增 量 ， 则 对 应 状 态 的 土 体 应 变 增 量 大 ， 而 对 应 状 态的 土 体 应 变 增 量 小 。 因 、 两 点 有 着 不 同 的 应 力 历 史 ， 加 荷 后 就 有 不 同 的 变 形 。超 固 结 土 比 正 常 固 结 土 变 形 小 ， 也 是 这 个 缘 故 。 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 图 24 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 又 如 ， 压 缩 试 验 中 ，

48、 Pc的 影 响 图 24中 ， 、 两 点 具 有 相 同 的 应 力 ， 然 而 点 处 于 初 始 加 荷 曲 线 上 ， 点 处 于 再 加 荷 曲 线 上 ， 两 点 对 应 不 同 的 ， 它 们 所 处 应 力 应 变 关 系 曲 线 的 斜 率 也 不同 。 如 果 施 加 同 样 的 荷 载 增 量 ， 则 对 应 状态 的 土 体 应 变 增 量 大 ， 而 对 应 状 态 的土 体 应 变 增 量 小 。 因 、 两 点 有 着 不同 的 应 力 历 史 ， 加 荷 后 就 有 不 同 的 变 形 。超 固 结 土 比 正 常 固 结 土 变 形 小 ， 也 是 这个 缘

49、 故 。 各 向 异 性 地 基 土 一 般 是 水 平 向 成 层 。 由 于 土 沉 积 过 程 中 水 平 和 竖 直 方 向 条 件 不 同 ，土 的 结 构 存 在 着 差 异 ， 使 土 体 在 许 多 方 面 表 现 为 各 向 异 性 。 应 力 应 变 关 系 也不 例 外 ， 这 种 叫 原 生 各 向 异 性 。此 外 ， 各 向 应 力 状 态 不 同 ， 还 能 引 起 新 的 各 向 异 性 。 重 塑 土 本 来 不 存 在 土 体 结构 上 的 两 向 差 异 ， 但 只 要 各 向 应 力 不 等 ， 在 应 力 应 变 关 系 上 就 会 表 现 为 各 向

50、异 性 ， 称 为 应 力 引 起 的 各 向 异 性 。 -次 生 各 向 异 性 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 a b图 25 应 力 引 起 的 各 向 异 性 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 A Bfx y 1 3A 3A 1A平 面 应 变 条 件 下 ， 从 大 主 应 力 和 小 主 应 力 方向 分 别 加 载 刚 度 矩 阵 或 柔 度 矩 阵 为 非 对 称 ： C12C21; C11=C22 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律1 3A 3A 1A xyyxxyyx CCC CCC CCC 333231 232221 13121

51、1 8、 固 结 应 力 对 变 形 的 影 响 高 压 三 轴 试 验 资 料 表 明 ， 土 体 在 高 围 压 （ 固 结 应 力 ） 下 的 变 形 性 状 与 低 围 压 情况 下 有 所 不 同 。 主 要 有 如 下 三 个 方 面 ： （ 1） 强 度 包 线 不 呈 直 线 ， 而 是 呈 向 下 微 弯 的 曲 线 ， 如 图 28（ a） 所 示 。这 表 示 有 效 强 度 指 标 随 着 固 结 压 力 的 增 加 而 降 低 了 。 为 了 反 映 这 种 变化 ， 可 以 用 折 线 来 代 替 曲 线 ， 也 就 是 在 不 同 的 压 力 范 围 用 不 同

52、的 强 度 指 标 。如 图 28（ b） 所 示 ， 压 力 低 于 A， 用 1， 压 力 高 于 A， 用 2。 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律ap30 lg 8、 固 结 应 力 对 变 形 的 影 响 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律ap30 lg f0 f如 何 确 定 ？ （ 2） 有 些 土 ， 如 紧 密 砂 ， 在 低 压 力 下 受 剪 时 体 积 会 发 生 膨 胀 。 而 在高 压 力 下 ， 所 有 土 都 表 现 为 剪 缩 ， 如 图 29中 所 示 的 v- a曲 线 。 （ 3） 软 化 现 象 一 般 也 是 在 低 压 力

53、下 表 现 出 来 的 。 在 高 压 下 ， 通 常（ 1- 3） - a曲 线 是 硬 化 型 的 ， 如 图 29所 示 。 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 图 29 不 同 围 压 下 的 应 力 应 变 曲 线 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律 3.土 体 三 向 变 形 的 主 要 规 律9、 中 主 应 力 对 变 形 的 影 响中 主 应 力 对 强 度 影 响平 面 应 变 条 件 下 测 定 的 摩 擦 角 比 轴 对 称 条 件 下大 3 5度 ；中 主 应 力 对 应 力 应 变 曲 线 有 影 响 b=0; b=0.5; b=1.0 4.

54、弹 性 非 线 性 模 型 实 际 工 程 中 的 初 始 应 力 状 态 、 应 力 增 量 和 应 力 路 径 是 千 变 万 化 的 ， 试验 无 法 模 拟 这 种 复 杂 的 变 化 。 因 此 ， 必 须 通 过 假 定 、 推 理 、 验 证 ， 建 立 某 种符 合 实 际 变 形 规 律 的 数 学 计 算 方 法 数 学 模 型 ， 将 少 量 的 特 定 条 件 下 试 验 得出 的 结 果 推 广 到 一 般 ， 运 用 于 工 程 。 这 种 数 学 模 型 就 是 本 构 模 型 。 4.弹 性 非 线 性 模 型线 性 弹 性 模 型 （ 广 义 虎 克 定 律

55、） 321321321 1111111 EEE EEE EEEE zyzy zxzx yzyz yxzz zxyy zyxx GGGEEE 111111 D C 4.弹 性 非 线 性 模 型线 性 弹 性 模 型 （ 广 义 虎 克 定 律 ） D 2100000 0210000 0021000 0001 0001 0001)21)(1( vv vv vvED GGGGKGKGK GKGKGK GKGKGKD 00000 00000 00000 000343232 000323432 000323234 用 E、 v， v0.5,不 能 反 映剪 胀用 K、 G， 其 取 值 基 本 没 有

56、 限 制 ,能反 映 剪 胀 4.弹 性 非 线 性 模 型线 性 弹 性 模 型 （ 广 义 虎 克 定 律 ） D 2100000 0210000 0021000 0001 0001 0001)21)(1( vv vv vvED 用 E、 v， v0.5? 4.弹 性 非 线 性 模 型线 性 弹 性 模 型 （ 广 义 虎 克 定 律 ） )1(200000 0)1(20000 00)1(2000 0001 0001 00011 vvvvv vv vvEC C 4.弹 性 非 线 性 模 型 12 EG 213 EB 4.弹 性 非 线 性 模 型 假 定 土 体 为 线 弹 性 材 料

57、 会 有 较 大 误 差 ， 因 此 提 出 非 线 性 弹 性 模 型 。 式 中 只 含 有 两 个 参 数 ： 弹 性 模 量 E和 泊 松 比 ， 它 随 应 力 状 态 变 化 , 通 过 试 验 得 出 弹性 参 数 随 应 力 而 变 化 的 规 律 ， 从 而 建 立 相 应 公 式 。 )1(200000 0)1(20000 00)1(2000 0001 0001 00011 vvvvv vv vvEC C 4.弹 性 非 线 性 模 型弹 性 模 量 E和 泊 松 比 ， 体 积 变 形 模 量 K和 剪切 模 量 G 它 随 应 力 状 态 变 化 , 通 过 试 验 得

58、 出 弹 性 参 数随 应 力 而 变 化 的 规 律 ， 从 而 建 立 相 应 公 式 。 2100000 0210000 0021000 0001 0001 0001)21)(1( vv vv vvED GGGGKGKGK GKGKGK GKGKGKD 00000 00000 00000 000343232 000323432 000323234 （ 三 ） 应 力 应 变 关 系 矩 阵 2个 独 立 参 数 （ 一 ） 弹 性 参 数 的 确 定1、 弹 性 模 型 E 由 应 力 应 变 全 量 的 广 义 虎 克 定 律 ， 当 2 =3 = 0时 ， ， 因此 ， 。 E 11

59、 11E 4.弹 性 非 线 性 模 型 2311 1 E zyzy zxzx yzyz yxzz zxyy zyxx GGGEEE 111111 （ 一 ） 弹 性 参 数 的 确 定1、 弹 性 模 型 E 对 于 粘 性 土 ， 做 无 侧 限 压 缩 试 验 ， 此 时 ， 2 =3=0 ， 加 竖 向 应 力 ， 测 相 应 的应 变 ， 见 图 32（ a） 。 点 绘 出 轴 向 应 力 与 轴 向 应 变 的 关 系 曲 线 ， 如 图 32（ b） 所 示 ； 曲 线 上 的 点 A所 对 应 的 大 主 应 力 1 =， 大 主 应 变 = ， 故 弹 性 模量E 11 a

60、a 1a asE 它 是 曲 线 在 点 A 处 的 割 线 的 斜 率 ， 故 称 割 线 模 量 ， 以 Es表 示 。 4.弹 性 非 线 性 模 型 2311 1 E 4.弹 性 非 线 性 模 型 b： 割 线 模 量a 图 32 c： 泊 松 比 对 于 增 量 广 义 虎 克 定 律 ， 用 Et和 t分 别 表 示 模 量 和 泊 松 比 ， 则 无 侧 限 压 缩 试 验 时 ， , 自 然 有 。 因 此 ， 曲 线 的切 线 斜 率 ， 就 等 于 增 量 关 系 中 的 弹 性 模 量 ， 称 切 线 模 量 ， ttt E ddEdd 3211 0 32 dd 11d

61、dEt a at ddE 4.弹 性 非 线 性 模 型 zyzyyxzz zxzxzxyy yzyzzyxx GE GE GE 11 11 11 2、 泊 松 比 写 出 广 义 虎 克 定 律 的 另 一 个 式 子 EE 2133 做 无 侧 限 压 缩 试 验 ， E13 ， 而 11 E故 13 1 3 量 测 侧 向 膨 胀 应 变 ,它 就 是 。 点 绘 关 系 曲 线 ， 见 图 32（ c） ， 则 线 上 一 点 割 线 的 斜 率 就 等 于 全 量 的 泊 松 比 ， 叫 割 线 泊 松 比 ， 以 s表 示 ， . 。 自 然 ， 曲 线 的 切 线 斜 率 具 有

62、 切 线 泊 松 比 的意 义 ， 以 t 表 示 r 3 ar )( a rs 4.弹 性 非 线 性 模 型 a rt dd 它 用 于 反 映 增 量 的 应 力 应 变 关 系 。 图 32 (c) 4.弹 性 非 线 性 模 型复 杂 应 力 状 态 下 E、 v的 定 义 ？ ？ ？ 3、 体 积 模 量 B 在 三 轴 仪 中 对 土 样 施 加 各 向 相 等 的 压 力 3， 也 就 是 球 应 力 p， 逐 步 增 大 ，测 相 应 的 体 积 应 变 可 点 绘 出 关 系 曲 线 ， 如 图 5-34 所 示 ， 其 割线 斜 率 为 割 线 体 积 模 量 vpv 图

63、 5-34vs pB 切 线 的 斜 率 为 切 线 体 积 模 量vt ddpB 4.弹 性 非 线 性 模 型 tBsBp v 4、 剪 切 模 量 G 在 三 轴 仪 试 验 中 对 土 样 逐 级 施 加 偏 应 力 测 相 应 的 轴 向 应变 ， 可 求 得 偏 应 变 为 31 qv 3vas 八 面 体 剪 应 力 ：q oct 32 八 面 体 剪 应 变 ：soct 2 利 用 八 面 体 面 上 的 剪 应 力 剪 应 变 间 的 关 系 可 确 定 剪 切 模 量 4.弹 性 非 线 性 模 型 soctoct qG 3 soctoct qG 3 点 绘 关 系 曲 线

64、 ， 可 得 割 线 剪 切 模 量 Gs 和 切 线 剪 切 模 量 G t 如 图 35所 示 。 sq 3 图 35 4.弹 性 非 线 性 模 型3q sGtGs (二 )、 双 曲 线 模 型 (邓 肯 -张 模 型 )一 .切 线 弹 性 模 量 康 纳 等 人 发 现 ， 在 加 荷 时 ， 关 系 曲 线 可 以 用 双 曲 线 来拟 合 ， 如 图 5-36（ ） 所 示 。 对 于 某 一 小 主 应 力 来 说 ， 可 以 用 下式 表 示 31 a3 aaba 31式 中 ， 和 为 试 验 常 数 。 上 式 也 可 写 成aa ba 31 4.弹 性 非 线 性 模

65、 型 若 以 为 纵 坐 标 ， 为 横 坐 标 ， 构 成 新 的 坐 标 系 ， 则 双 曲 线 转 换成 直 线 ， 见 图 36（ ） ， 其 斜 率 为 ， 截 距 为 。31 a a a b图 5-36 4.弹 性 非 线 性 模 型 邓 肯 和 张 利 用 上 述 关 系 推 导 出 了 弹 性 模 量 公 式 。 在 不 变 条 件 下 ，由 式 得 增 量 的 弹 性 模 量 aatE 313111将 式 代 入 上 式 得 2at ba aE 由 式 得 baa 31 1 4.弹 性 非 线 性 模 型 aaba 313 at ddE 1 代 入 式 得 23111 baE

66、t 4.弹 性 非 线 性 模 型 现 在 来 研 究 和 的 意 义 以 及 它 们 随 应 力 的 变 化 。 由 式 可 见 ， 当 时a a 4 .弹 性 非 线 性 模 型a而 是 曲 线 的 初 始 切 线 斜 率 ， 其 意 义 为 初 始 切 线模 量 ， 用 Ei来 表 示 ， 见 图 5-36（ ） 。 因 此这 表 示 是 初 始 切 线 模 量 的 倒 数 。 试 验 表 明 ， 随 3 变 化 。 如 果 在 双 对数 纸 上 点 绘 和 的 关 系 ，则 近 似 地 为 一 直 线 ， 如 图 5-37所 示 。iEa 1 4 .弹 性 非 线 性 模 型 图 5-37这 里 为 大 气 压 力 。 引 入 是 为 了 使 纵 横 坐 标 化 为 无 因 次 量 。 直 线 的 截 距 为 ， 斜 率 为 。 于 是 有 ， ,由 此 得 ， 4 .弹 性 非 线 性 模 型a a由 式 还 可 见 ， 当 时这 里 用 表 示 当 时 的 值 ， 也 就 是 的 渐 近 值 。实 际 上 ， 不 可 能 趋 向 无 穷 大 ， 在 达 到 一 定 值 后