机械振动学 课件.ppt

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1、 振 动 概 念 （ vibration） 物 体 经 过 它 的 静平 衡 位 置 所 做 的 往 复 运 动 。 或 者 说 某 一 物理 量 在 其 平 衡 位 置 或 平 衡 值 附 近 来 回 的 变动 。 振 动 首 先 是 一 种 运 动 。 比 如 ： 地 壳 的 运 动 、交 流 电 、 电 磁 波 、 潮 水 的 涨 落 等 。2 机 械 振 动 的 研 究 对 象 和 分 类2.1 研 究 对 象 “ 振 动 系 统 ”第 一 章 绪 论 系 统 的 定 义 ： 由 若 干 个 元 素 构 成的 有 机 组 合 ， 个 元素 间 存 在 着 相 互 作用 、 互 相 影

2、响 的 关系 。 机 械 系 统 的 定 义 ： 由 若 干 个 机 械 元 件组 成 的 系 统 。 具 体的 讲 ， 是 由 运 动 副连 接 的 一 些 构 件 所组 成 的 能 完 成 一 定运 动 的 机 械 装 置 。第 一 章 绪 论 2.2 机 械 系 统 研 究 内 容 系 统 （ S） 输 入 （ X） 输 出 （ Y）激 励 响 应第 一 章 绪 论系 统 的 研 究 内 容 包 括 三 个 方 面 ：1. 已 知 系 统 的 输 入 （ X） 和 系 统 （ S） ,求 输 出(Y)系 统 的 动 力 响 应 分 析 ， 或 叫 动 态 分 析 。2. 已 知 系 统

3、的 输 入 （ X） 和 输 出 (Y)， 求 系 统（ S） 系 统 设 计 ； 系 统 识 别 或 系 统 辨 识 。3. 已 知 系 统 的 系 统 （ S） 和 输 出 (Y)， 求 输 入（ X） 环 境 预 测 。 自 由 振 动 ： 给 图 中 质 量 块一 个 激 励 ， 给 一 个 初 始 位移 后 ， 质 量 块 就 开 始 振 下去 。 强 迫 振 动 ： 用 一 个 电 机 作元 件 ， 给 系 统 一 个 持 续 激励 ， 系 统 会 在 电 机 的 强 制激 励 下 振 动 。 自 激 振 动 ： 扬 声 器 的 鸣 叫声 。3 机 械 振 动 的 分 类3.1 按

4、 输 入 分 mk第 一 章 绪 论 简 谐 振 动 ： 符 合 正 弦 （ 预 选 ） 规 律 的 振 动 。 周 期 振 动 ： x（ t） x（ t+kT） ， 瞬 态 振 动 ： 风 铃 随 风 而 动 ； 地 震 随 机 振 动 ： 不 能 用 当 前 的 现 象 预 测 未 来 ， 但 是符 合 统 计 学 规 律 ， 可 以 用 统 计 的 方 法 来 研 究 。如 ， 烟 的 运 动 ； 红 旗 的 飘 动 。3.2 按 输 出 分 第 一 章 绪 论 自 由 度 ： 用 来 描 述 一 个 物 体 确 定 运 动 的 独 立 坐 标 。 单 自 由 度 系 统 ： 多 自 由

5、 度 系 统 ： 可 以 是 两 个 、 三 个 甚 至 是 n个 自 由 度 系 统 ， n个 独 立坐 标 ， n维 空 间 。 连 续 系 统 ： 用 偏 微 分 方 程 描 述3.3 按 自 由 度 划 分 ),.,( vdxtHH 可 用 微 分 方 程 描 述第 一 章 绪 论 线 性 振 动 非 线 性 振 动 :二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 ）(0kxxm3.4 按 微 分 方 程 分单 摆 振 动 方 程 ）(0sin xkxm 第 一 章 绪 论 4 主 要 参 考 文 献 书 +期 刊书 ： 张 策 、 张 维 平 、 邵 韧 平 、 闻 邦 春 、 李 有 堂 、

6、 张 义 民 等期 刊 ： 噪 声 与 振 动 （ sound and vibration）第 一 章 绪 论 2.1 一 些 基 本 概 念 、 无 阻 尼 单 自 由 度 振 动 系 统 2.3 有 线 性 阻 尼 自 由 振 动2.4 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 2.8 隔 振 原 理2.5 周 期 激 励 下 的 响 应2.6 任 意 激 励 下 的 响 应2.7 简 谐 力 的 功 和 等 效 阻 尼2.2 固 有 频 率 的 计 算 当 物 体 沿 x轴 作 直 线 运 动 时 ， 惯 性 的 大 小 可 用 质 量 来 表示 。 根 据 牛 顿 第 二 定

7、 律 ， 作 用 在 物 体 上 的 外 力 F， 物 体 由 此产 生 的 加 速 度 和 物 体 质 量 m之 间 有 下 述 关 系 ：)1-(122dtxdmF 构 成 机 械 振 动 系 统 的 基 本 元 素 有 惯 性 、 恢 复 性 和 阻 尼 。惯 性 就 是 能 使 物 体 当 前 运 动 持 续 下 去 的 性 质 。 恢 复 性 就 是 能使 物 体 位 置 恢 复 到 平 衡 状 态 的 性 质 。 阻 尼 就 是 阻 碍 物 体 运 动的 性 质 。 从 能 量 的 角 度 看 ， 惯 性 是 保 持 动 能 的 元 素 ， 恢 复 性是 贮 存 势 能 的 元 素

8、 ， 阻 尼 是 使 能 量 散 逸 的 元 素 。构 成 机 械 振 动 系 统 的 基 本 元 素质 量 的 单 位 为 kg。 阻 尼 力 Fd反 映 阻 尼 的 强 弱 ， 通 常 是 速 度 x的 函 数 ， 阻 尼 力可 表 示 为 这 种 阻 尼 称 为 粘 性 阻 尼 。 比 例 常 数 c称 为 粘 性 阻 尼 系数 ， 单 位 N.s/m。 )31( xcFd 典 型 恢 复 性 元 件 是 弹 簧 ， 弹 簧 产 生 的 恢 复 力 是 该 元 件 位移 的 函 数 ， 即 Fs=Fs（ x） 。 当 Fs（ x） 是 线 性 函 数 时 ， 有 ： Fs=kx (1-2

9、) k称 为 弹 簧 常 数 或 弹 簧 的 刚 度 系 数 。 单 位 为 N/m。质 量 、 弹 簧 和 阻 尼 器 是 构 成 机 械 振 动 系 统 物 理 模 型 的三 个 基 本 元 件 。 自 由 度 与 广 义 坐 标 自 由 度 数 : 完 全 确 定 系 统 运 动 所 需 的 独 立 坐 标 数 目 称 为 自 由 度 数 。 刚 体 在 空 间 有 6个 自 由 度 ： 三 个 方 向 的 移 动 和 绕 三 个 方 向 的 转 动 ，如 飞 机 、 轮 船 ； 质 点 在 空 间 有 3个 自 由 度 ： 三 个 方 向 的 移 动 ， 如 高 尔 夫 球 ； 质 点

10、 在 平 面 有 2个 自 由 度 ： 两 个 方 向 的 移 动 ， 加 上 约 束 则 成 为 单自 由 度 。 质 量 元 件 无 弹 性 、 不 耗 能 的 刚 体 ， 储 存 动 能 的 元 件 xmFm 平 动 ： 力 、 质 量 和 加 速 度 的 单 位 分 别为 N、 kg和 m / s 2。JT m 转 动 ： 力 矩 、 转 动 惯 量 和 角 加 速 度 的单 位 分 别 为 Nm、 kg m 2和 rad / s 2 2.1 离 散 系 统 的 组 成 2.1 离 散 系 统 的 组 成弹 性 元 件 无 质 量 、 不 耗 能 ， 储 存 势 能 的 元 件 xkF

11、s 平 动 ： 力 、 刚 度 和 位 移 的 单 位 分 别 为N、 N / m和 m 。ts kT 转 动 ： 力 矩 、 扭 转 刚 度 和 角 位 移 的 单位 分 别 为 Nm、 Nm / rad和rad 阻 尼 元 件 无 质 量 、 无 弹 性 、 线 性 耗 能 元 件 xcF d 平 动 ： 力 、 阻 尼 系 数 和 速 度 的 单 位 分别 为 N、 N s/ m和 m/s。td cT 转 动 ： 力 矩 、 扭 转 阻 尼 系 数 和 角 速 度的 单 位 分 别 为 Nm、 Nms / rad和 rad/s 2.1 离 散 系 统 的 组 成等 效 弹 簧 刚 度 斜

12、 向 布 置 的 弹 簧 2e cos/ kxFk xx 串 联 弹 簧 并 联 弹 簧 ni ikk 1e ni ikk 1e 11 ni icc 1e ni icc 1e 11并 联 系 统 串 联 系 统等 效 阻 尼 系 数 传 动 系 统 的 等 效 刚 度 21te1t /ikk 传 动 系 统 的 等 效 阻 尼 ct1e= ct1 / i 2 21e1 /iJJ 等 效 质 量 传 动 系 统 的 等 效 惯 量 单 自 由 度 系 统 的 类 型 tQkxxrxm tQkxxm kxxrxm kxxm sinsin00 00 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 单 自

13、 由 度 有 粘 性 阻 尼 的 自 由 振 动 单 自 由 度 无 阻 尼 受 迫 振 动 单 自 由 度 有 粘 性 阻 尼 的 受 迫 振 动机 械 振 动 学 例 ： 如 右 图 ， 舍 振 动 体 的质 量 为 m， 它 所 受 的 重力 为 W， 弹 簧 刚 度 为 k,弹 簧 挂 上 质 量 块 的 静 伸成 量 为 j， 此 时 系 统处 于 静 平 衡 状 态 ， 平 衡位 置 为 0-0， 求 给 系 统一 个 初 始 扰 动 后 系 统 的振 动 方 程 。模 型 的 建 立机 械 振 动 学单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 无 阻 尼 自 由 振 动

14、： 振 动 系 统 受 到 初 始 扰 动 后 ， 不 再 受 到外 力 作 用 ， 也 不 受 阻 尼 的 影 响 所 作 的 振 动 。 静 平 衡振 动系 统 产 生弹 性 恢 复 力弹 力 重 力静 平 衡 破 坏初 始 扰 动 机 械 振 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 解 ： 取 静 平 衡 位 置 为 坐标 原 点 ， 以 X轴 为 系 统的 坐 标 轴 ， 向 下 为 正方 向 建 立 坐 标 系 。 以 x表 示 质 量 块 的 受 扰后 的 位 移 ， 当 质 量 块离 开 平 衡 位 置 时 ， 在质 量 块 上 作 用 的 力 有： XTW

15、mg kxkT j W重 力弹 性 恢 复 力 x由 于 受 力 不 平 衡 ， 质 量 块 产 生 加 速 度机 械 振 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 根 据 牛 顿 第 二 定 律 建 立 振 动 微 分 方 程 ：xmxkw j )( 0, 0 22 xx mkkxxm nn ：则 上 式 可 写 成令即 叫 做 系 统 的 固 有 频 率2n二 阶 齐 次 常 系 数 微 分 方 程 ， stex机 械 振 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 扭 转 振 动 问 题例 1-2： 右 图 所 示 ， 垂 直 轴 的 下 端固 定 一

16、个 水 平 圆 盘 。 已 知轴 长 为 l ,直 径 为 d,剪 切弹 性 模 量 为 G,圆 盘 的 转 动惯 量 为 I， 在 盘 上 施 加 初始 扰 动 后 （ 如 力 偶 ） ， 系统 做 自 由 扭 转 振 动 。 若 不计 阻 尼 影 响 ， 振 动 将 永 远持 续 下 去 。 求 系 统 的 振 动方 程 。 机 械 振 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 由 材 料 力 学 知 ： 扭 转 刚 度 为 ： 324Gdk )/(J 0JI sradk kkn 系 统 固 有 角 频 率令 即 扭 转 振 动 微 分 方 程 为 ：建 立 如 图 所

17、示 坐 标 系 ， 0 )1(21 2 nn sHzIkf 代 入 微 分 方 程 得 到 ：将系 统 振 动 的 固 有 频 率 ：机 械 振 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 典 型 的 单 自 由 度 自 由 振 动 单 摆例 1-3： 如 左 图 所 示 ，求 t时 刻 刚 体 的 角 度是 多 少 ？ 机 械 振 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 解 ： 以 静 平 衡 位 置 为 原 点 ， 以 角 增加 的 方 向 为 正 方 向 建 立 坐 标 系 。 隔 离 物 体 ， 进 行 受 力 分 析 。 使 用 牛 顿 定 律 建

18、 立 振 动 模 型 ：a) 力 矩 形 式 ： 0sin 0sinsin mglJ mglJ Jmgl 作 为 摆 动 时 ，即 b) 力 形 式 ：？机 械 振 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 txtxtx xbxb bbx bbx t nnnn nnnn nn cossin)( 0sin0cos 0cos0sin 000 0201 210 210 时 有 ：代 入 初 始 条 件 ：1-2 无 阻 尼 单 自 由 度 系 统 的自 由 振 动 规 律为 ：高 等 数 学 知 方 程 的 通 解 度 和 初 位 移 均 为 零 。此 初 始 条 件 亦 即 ：

19、初 速预 先 给 定 初 始 条 件 ：考 虑 00002 ,0 xxxxxx ttn )sin( cossin)( 21 tA tbtbtx n nn .; ;A 211 2221为 频 率三 要 素 ： n bbtg bb 机 械 振 动 学单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 结 论单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 的 方 程 是 一 样 的 ,规 律 是 相 同 的 ， 具 有 以 下 特 点 ： 1.单 自 由 度 无 阻 尼 振 动 是 简 谐 的 。 2.振 幅 决 定 于 初 始 条 件 ： )(; 222120220 bbAxxA n 图 中

20、系 统 ， 用 手 把 m移 到 X0位 置 ， 初 始 位 移 的 大 小 决定 于 m的 振 幅 ， 如 果 放 手 的 同 时 ， 给 m一 个 右 向 的 初速 度 ， 可 以 通 过 上 式 计 算 出 其 最 大 振 幅 。机 械 振 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 3. 固 有 频 率 与 初 始 条 件 无 关 。 系 统 一 定 ， 固 有频 率 一 定 。 fTfmk nn 1;2; 的 特 点 ， 座 钟 。应 用 ： 利 用 “ 等 时 性 ”思 考 ： 钟 表 的 钟 摆 的 摆 角 大 是 准 确 还 是 小 准 确 ？结 论 机 械 振

21、 动 学 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 在 振 动 研 究 中 ， 计 算 振 动 系 统 的 固 有 频 率 有 很 重 要 的 意 义 ， 除用 定 义 法 （ 牛 顿 法 ） 外 ， 通 常 还 有 以 下 几 种 常 用 的 方 法 ， 即 静变 形 法 、 能 量 法 和 瑞 利 法 ， 现 分 别 加 以 介 绍 。2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法1、 静 变 形 法 （ Static Deformation Method） Wk j 当 单 振 子 处 于 静 平 衡 状 态 时 ， 弹 簧 的 弹 性 力 与 振 动 质量 的 重

22、 力 互 相 平 衡 ， 即 存 在 关 系 式 ： 由 上 式 可 得 ： jj mgWk 故 系 统 的 固 有 频 率 为 ： )1(2121 jn gmkf 由 此 可 见 ， 只 要 知 道 质 量 块 处 的 弹 性 静 变 形 ， 就 可 以 计算 出 系 统 的 固 有 频 率 。 在 有 些 实 际 问 题 中 ， 不 能 直 接 给出 系 统 的 弹 簧 刚 度 时 ， 利 用 此 法 计 算 固 有 频 率 比 较 方 便 。 例 1 设 一 悬 臂 梁 长 度 为 ， 抗 弯 刚 度 为 ， 自 由 端 有 一 集 中 质 量 。梁 本 身 重 量 忽 略 不 计 。

23、试 求 这 一 系 统 的 固 有 频 率 （ 见 下 图 ） 。自 由 端 有 集 中 质 量 的 悬 臂 梁 解 ： 悬 臂 梁 在 自 由 端 由 集 中 力 mg所 引 起 的 静 挠 度 为 ： EJmglj 3 3 )1(321 3mlEJfn 当 不 易 用 计 算 方 法 求 出 静 挠 度 时 ， 也 可 用 实 测 方 法 得 到 静 挠度 ， 然 后 按 （ 1） 式 计 算 系 统 固 有 频 率 。 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 2、 能 量 法 （ Energy Method）在 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 中 ， 由 于 没

24、有 能 量 的 损 失 ， 所 以 振 幅始 终 保 持 为 一 常 数 ， 即 在 振 动 过 程 中 振 幅 始 终 不 衰 减 。 我 们将 这 样 的 系 统 称 为 保 守 系 统 。在 保 守 系 统 中 ， 根 据 机 械 能 守 恒 定 律 ， 在 整 个 振 动 过 程 的任 一 瞬 时 机 械 能 应 保 持 不 变 。式 中 ：T 系 统 中 运 动 质 量 所 具 有 的 动 能 ；U 系 统 由 于 弹 性 变 形 而 储 存 的 弹 性 势 能 ， 或 由 于 重 力 作 功 而 产 生 的 重 力 势 能 。 0UTdtd即 ： T+U=常 数 或 2.2 计 算

25、 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 x kxmgxkxdxmgx 0 22122 2121 kxkxmgxmgxU 221 xmT 对 于 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 来 说 ， 系 统 的 动 能 为 ：1. 重 力 势 能 ： 当 质 量 块 m低 于 静 平 衡 位 置 时 ， 重 力 势 能 为 -mgx。2. 弹 性 势 能 ： 当 质 量 块 m运 动 至 离 静 平 衡 位 置 距 离 +x时 ， 弹 簧 的弹 性 力 对 质 量 块 所 作 的 功 即 为 系 统 此 时 的 弹 性 势 能 。 如 下 图 所 示 ，系 统 的 弹 性 势 能

26、 为 ：故 系 统 的 势 能 为 ： )2()(2121 22 常 数Ekxxm 所 以 ：系 统 的 势 能 则 由 以 下 两 部 分 组 成 ： 22xmmgx单 自 由 度 振 动 系 统 的 弹 性 势 能这 就 是 单 自 由 度 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 的 能 量 方 程 。这 一 方 程 说 明 ， 无 阻 尼 自 由 振 动 系 统 的 能 量 关 系是 振 动 质 体 的 能 量 与 弹 性 势 能 的 相 互 转 化 过 程 ，而 无 能 量 的 消 耗 。 但 在 振 动 系 统 中 存 在 阻 尼 时 ，则 在 振 动 质 体 的 动 能 与 弹 性 势

27、 能 的 互 相 转 化 过 程中 ， 有 一 部 分 能 量 将 为 克 服 阻 力 而 不 断 地 转 化 为热 能 ， 故 系 统 的 振 幅 将 逐 渐 减 小 ， 直 至 完 全 消 失 。 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 tAx nsin EtkAtAm nnn 22222 sin21cos21 EAmT n 22max 21 0T25232 ， 时 ，、或、当 nnn ttt EkAU 2max 21 maxmax UT )3(2121 222 kAAm n mkn 若 将 无 阻 尼 自 由 振 动 的 时 间 历 程 代 入 系 统 的 能 量 方

28、 程 （ 2） 式 可 得 ： 这 说 明 系 统 的 最 大 动 能 或 最 大 势 能 均 等 于 系 统 的 总 能 量 ， 且 动 能 与 势 能 的最 大 值 相 等 ， 即 ： 0U20 时 ，、或、当 nn ttt 根 据 上 式 即 可 算 出 系 统 的 固 有 频 率 ： 对 弹 簧 质 量 系 统 （ 单 振 子 ）用 上 述 能 量 法 意 义 不 大 。 但是 复 杂 的 单 自 由 度 系 统 用 能量 法 计 算 固 有 频 率 比 较 方 便 。 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 例 1： 一 根 矩 形 截 面 梁 ， 上 面 承受

29、质 量 为 m 的 物 体 （ 如 图 所 示 ） 。若 忽 略 梁 的 质 量 ， 试 用 能 量 法 求该 系 统 的 固 有 频 率 。 承 受 质 量 的 矩 形 截 面 梁解 ： 梁 的 刚 度 可 用 静 变 形 法 求 出 ： jmgk 而 梁 的 静 扰 度 可 根 据 材 料 力 学 公式 计 算 ： EJlbmgaj 3 22 223 baEJlk 故代 入 （ 3） 式 即 可 求 出 该 系 统 的 固 有 圆 频 率 ： 223 bmaEJln 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 例 2:下 图 所 示 为 测 量 低 频 振 幅 用 的 传

30、感 器 的 一 个 元 件 无 定向 摆 。 已 知 a=3.54cm， mg=0.856N， k=0.3N/cm。 且 整 个 系 统 对转 动 轴 o的 转 动 惯 量 。 试 求 系 统 的 固 有 频 率 。无 定 向 摆 解 ： 取 摇 杆 偏 离 平 衡 位 置 的 角 位 移 为 广义 坐 标 ， 并 设则 对 简 谐 振 动 来 说 ， 摇 杆 正 经 过 平 衡 位 置 时 的 速 度最 大 ， 故 此 时 系 统 动 能 最 大 ， 而 势 能 为 零 。 即 ： tA nsin)cos( tA nn nAA maxmax 2202max0max 2121 nAIIT 当

31、摇 杆 摆 到 最 大 角 位 移 处 时 ， 速 度 为 零 ， 故 此 时 系统 动 能 为 零 ， 而 势 能 最 大 ， 它 包 括 以 下 两 个 部 分 ： 1） 弹 簧 变 形 后 储 存 的 弹 性 势 能 ： 2) 质 量 块 m的 重 心 下 降 后 的 重 力 势 能 ： AkakaU 22max2max1 212 22maxmaxmax2 2121cos1 mglAmglmglmgU 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 解 ： 取 摇 杆 偏 离 平 衡 位 置 的 角 位 移 为 广 义 坐 标 ， 并 设则 故 对 简 谐 振 动 来 说 ，

32、 摇 杆 正 经 过 平 衡 位 置 时 的 速 度 最 大 ， 故 此 时 系 统 动 能 最大 ， 而 势 能 为 零 。 即 ： 当 摇 杆 摆 到 最 大 角 位 移 处 时 ， 速 度 为 零 ， 故 此 时 系 统 动 能 为 零 ， 而 势 能 最 大 ，它 包 括 以 下 两 个 部 分 ： 1） 弹 簧 变 形 后 储 存 的 弹 性 势 能 ：2) 质 量 块 m的 重 心 下 降 后 的 重 力 势 能 ： tA nsin)cos( tA nn Amax nA max 2202max0max 2121 nAIIT AkakaU 22max2max1 212 22maxma

33、xmax2 2121cos1 mglAmglmglmgU 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 022 I mglkan HzI mglkafn 77.0106.17 4856.054.33.0221221 2202 maxmax UT 因 为 222220 2121 mglAAkaAI n 故得 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 前 面 介 绍 的 几 种 计 算 系 统 固 有 频 率 的 方 法 ， 都 是 将 系 统 中 弹 簧 的 质 量忽 略 不 计 。 但 是 在 有 些 系 统 中 ， 弹 簧 本 身 的 质 量 在 系 统 总

34、质 量 中 占 有一 定 的 比 例 ， 此 时 若 再 忽 略 弹 簧 的 质 量 ， 就 将 会 使 得 计 算 出 来 的 系 统固 有 频 率 偏 高 。 瑞 利 法 则 将 弹 簧 质 量 对 系 统 振 动 频 率 的 影 响 考 虑 了 进去 ， 从 而 能 得 到 相 当 准 确 的 固 有 频 率 值 。3.瑞 利 法 （ Rayleigh Method）应 用 瑞 利 法 时 ， 必 须 先 假 定 一 个 系 统 的 振 动 形 式 。 而 且 所 假 定 的 振 动形 式 越 接 近 实 际 的 振 动 形 式 ， 则 计 算 出 来 的 固 有 频 率 的 近 似 值

35、 就 越 接近 准 确 值 。 实 践 证 明 ， 以 系 统 的 静 态 变 形 曲 线 作 为 假 定 的 振 动 形 式 ，则 所 求 得 的 固 有 频 率 的 近 似 值 与 准 确 值 相 比 较 ， 一 般 来 说 误 差 是 很 小的 。现 以 最 简 单 的 弹 簧 质 量 系 统 为 例 来 说 明 瑞 利 法 的 应 用 。 在 下 图 的 系统 中 ， 若 弹 簧 的 质 量 与 质 量 块 的 质 量 相 比 是 很 小 的 ， 则 系 统 的 振 动 形式 就 不 会 显 著 地 受 到 弹 簧 质 量 的 影 响 。 在 这 种 情 况 下 ， 假 设 弹 簧 在

36、 振动 过 程 中 的 变 形 （ 各 截 面 的 瞬 时 位 移 ） 与 弹 簧 在 受 轴 向 静 载 荷 作 用 下 的 变 形 相 同 是 足 够 精 确 的 。 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 弹 簧 质 量 系 统 lxx 解 :假 设 弹 簧 上 距 固 定 端 距 离 为 处 的 位 移 为 ： x式 中 ： l 处 于 平 衡 位 置 时 弹 簧 的 长 度 ； x 弹 簧 在 联 结 质 量 块 一 端 的 位 移 。 令 表 示 弹 簧 单 位 长 度 的 质 量 ， 则弹 簧 微 段

37、 d 的 质 量 为 d .其 最大 动 能 则 为 : dlx 2max21 lxx弹 簧 在 处 的 微 段 d 的 速 度 应 为 :当 质 量 块 在 某 一 瞬 时 的 速 度 为 时 ，所 以 弹 簧 的 全 部 动 能 为 ： 3221 2max20 max lxdlxT ls 3221 2max20 max lxdlxT ls )1(323221 2max2max2maxmax lmxlxxmT )2(22maxmax kxU 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法显 然 ， 系 统 的 全 部 动 能 应 该 是 质 量 块 m的 最 大 动 能 与 弹

38、簧 的 最 大动 能 之 和 ， 即系 统 的 最 大 势 能 仍 与 无 质 量 弹 簧 的 情 况 相 同 ， 即 ：所 以 弹 簧 的 全 部 动 能 为 ：由 动 能 和 势 能 相 等 原 理 得 ： 232 2 max2max kxlmx 对 简 谐 振 动 来 说 ， 上 式 即 成 为 ： 232 222 kAlmAn 由 此 可 以 得 出 系 统 固 有 频 率 的 计 算 公 式 为 ： 3lm kn 结 论 ： 为 了 考 虑 弹 簧 质 量 对 系 统 固 有 频 率 的 影 响 ， 只 需 要 将1/3的 弹 簧 质 量 当 作 一 个 集 中 质 量 加 到 质

39、量 块 上 去 即 可 。 一 般 将 上 式 中 的 称 为 “ 弹 簧 的 等 效 质 量 ” “ effective mass of spring”,以 ms表 示 。 但 是 不 同 的 振 动 系 统 ， 其 弹 簧 的 等 效 质 量 不 同 ， 需 具体 加 以 计 算 。 因 为 所 以 因 此 只 要 先 算 出 系 统 弹 性 元 件 的 动 能 ， 即 可 根 据 上 式 计 算 出 系 统 弹 性元 件 的 等 效 质 量 。 根 据 系 统 中 的 弹 簧 质 量 与 质 量 块 质 量 相 比 很 小 ， 从 而在 振 动 过 程 中 弹 簧 各 截 面 的 瞬 时

40、 位 移 按 线 性 变 化 这 一 假 设 而 得 出 的 。 但是 ， 即 使 弹 簧 的 质 量 较 大 ， 用 原 式 计 算 系 统 固 有 频 率 也 具 有 足 够 的 精 确度 。 例 如 ,当 时 ， 固 有 频 率 的 计 算 误 差 约 为 0.5 ； 当 时 ， 计 算误 差 约 为 0.8 ； 当 时 ， 计 算 误 差 约 为 3 。3l 221 xmT ss 22xTm ss ml 5.0 ml ml 2 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 例 如 图 所 示 的 等 截 面 简 支 梁 上 有 一 集 中 质 量 m， 若 将 梁 本 身

41、 的 重 量 W考虑 在 内 ， 计 算 此 系 统 的 固 有 频 率 。图 承 受 集 中 质 量 的 等 截 面 梁 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 解 ： 假 设 梁 在 振 动 时 挠 度 曲 线 与 梁 在 图 示 载 荷 作 用 下 的 静 挠 度 曲 线一 致 。梁 上 物 体 左 侧 距 A点 为 处 的 静 挠 度 为 ：梁 上 物 体 右 侧 距 B点 为 处 的 静 挠 度 为 ：在 物 体 m处 梁 的 静 挠 度 为 ：设 物 体 m在 振 动 状 态 下 的 最 大 速 度 为 ， 则 在 物 体 左 右 两 侧 梁 的 所 有点 的

42、最 大 速 度 、 与 振 动 位 移 y1、 y2之 间 存 在 以 下 关 系 ： 21 6 blaEJlmgby 22 6 albEJlmgayEJlbmgaym 3 22 my1y 2y nmmyyyy 11 nmmyyyy 22 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 所 以 梁 的 左 右 两 部 分 的 最 大 速 度 为 ：因 而 梁 的 左 右 两 部 分 的 最 大 动 能 为 ：式 中 ： w 梁 的 单 位 长 度 的 质 量 ； 2211 2 blabayyyyy mmm 2222 2 albabyyyyy mmm dblabagywT ams 20 22

43、4221 42 222222 1581052332 balbablgwaym gwaym 22 bm s dalbbagywT 0 2242222 42 2222 22 1028122 aalbabaalgwbym gwbym 22 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 22222 158105233 balbabl 2222 2 102812 aalbabaal 梁 的 全 部 动 能 为 ：根 据 上 式 可 算 出 梁 的 等 效 质 量 为 ：所 以 系 统 的 固 有 圆 频 率 为 ：式 中 ： ， 为 梁 的 刚 度 。 221 2 msss yg wbwa

44、TTT g wbwams sn mm k 223 babwawmg gEJl 223 baEJlk 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法 4632.02 wlEJgn 4637.02 wlEJln 2.2 计 算 系 统 固 有 频 率 的 其 它 方 法从 上 式 可 以 看 出 当 忽 略 梁 的 质 量 时 所 计 算 出 的 系 统 固 有 频 率 比用 瑞 利 法 计 算 出 的 数 值 要 小 ， 因 而 误 差 较 大 。 应 用 瑞 利 法 也 可求 得 无 载 荷 的 固 有 频 率 的 相 当 准 确 的 数 值 。 由 于 无 载 荷 的 变 形曲

45、线 是 对 称 的 ， 所 以 首 先 需 将 载 荷 移 到 梁 的 中 间 ， 然 后 再 令 载荷 为 零 （ m 0） ， 即 可 求 出 无 载 荷 梁 的 固 有 圆 频 率 为 ：而 这 一 固 有 圆 频 率 的 精 确 值 为 ：可 见 ， 近 似 值 与 理 论 精 确 值 之 差 小 于 1 。 内 容 参 考 2.3。2.3 等 效 质 量 和 等 效 刚 度 振 动 微 分 方 程 振 动 微 分 方 程 )(tFkxxcxm 方 程 的 解 )()()( 21 txtxtx 其 中 ， tx1 为 相 应 齐 次 方 程 的 解 瞬 态 响 应 tx2 为 方 程

46、的 特 解 稳 态 响 应 或 零 初 始 条 件 的 解 单 自 由 度 线 性 阻 尼 自 由 振 动 系 统 自 由 振 动 振 动 微 分 方 程设 0 xkxcxm tsAtx e)( 02 kscsm特 征 方 程 222,1 nnns 有 临 界 阻 尼 系 数 kmc 2c 阻 尼 比 或 阻 尼 因 子 kmccc 2c 定 义 12nn2,1 s mkmcnn nn 2;2; 令 阻 尼 比 或 阻 尼 因 子 单 自 由 度 线 性 阻 尼 自 由 振 动 系 统 讨 论 (1) 系 统 无 阻 尼即 ,0,0 n方 程 的 解 12nn2,1 s特 征 值系 统 对 初

47、 始 扰 动 的 响 应 ）（ tRtx ncos)( 2n020 )/( xxR 0tanarc 0tanarc 0n0 0 0n0 0 xxx xxx 1110 0 ，特 征 值 取 决 于单 自 由 度 线 性 阻 尼 自 由 振 动 系 统 讨 论 (2) 12nn2,1 s特 征 值系 统 对 初 始 扰 动 的 响 应方 程 的 解 个 不 等 的 虚 数 根 。为 2,10 2,1Sn n )(cose)( rn tRtx t 2d 0n020 2221 xxxR DDR 0tanarc 0tanarc 00d 0n0 00d 0n0 xx xx xx xx 则令 ,22r nn

48、 )sincos( sincos r2r1 rr r2,1 r tDtDex tite ins nti 2 21 122 nr nrrT 单 自 由 度 线 性 阻 尼 自 由 振 动 系 统 讨 论 (3)方 程 的 解 12nn2,1 s特 征 值系 统 对 初 始 扰 动 的 响 应 nssn n 21,1 nttCCtx e )( 21 )(e)( 000 txnxxtx tn 00 xx ）（ 00 xx ）（初 始 条 件 ： 单 自 由 度 线 性 阻 尼 自 由 振 动 系 统 讨 论 (4) 12nn2,1 s特 征 值系 统 对 初 始 扰 动 的 响 应 tsts xsx

49、sxxsstx 21 e)(e)(1)( 01020021 tsts CCtx 21 ee)( 21 00 xx ）（ 00 xx ）（ 1方 程 的 解 单 自 由 度 线 性 阻 尼 自 由 振 动 系 统 振 动 特 性 无 阻 尼 0： 简 谐 运 动弱 阻 尼 0 1： 衰 减 运 动 单 自 由 度 线 性 阻 尼 自 由 振 动 系 统 小 阻 尼振 动 对 数 衰 减 率 21 12ln nnxx2 224 单 自 由 度 线 性 阻 尼 自 由 振 动 系 统 简 谐 激 励稳 态 响 应 (粘 性 阻 尼 ) tFxkxcxm sin0 M 2. 5 简 谐 激 励 力 作

50、 用 下 的 强 迫 振 动 求 解 过 程 运 动 方 程 的 解 可 以 用 它 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 和 方 程 （ 2） 的 特 解 来 表 示 )2(sin2,2 )1(sinsin 20n 00 tfxnxmFfmkmcn tmFmkxmcxtFxkxcxm n 则，令 可 化 为 2x)()( 21 txtxx 1x)sin()( 1 tAetx rnt 在 小 阻 尼 情 况 下 ， 是 个 衰 减 振 动 ， 只 在 开 始 振 动后 的 某 一 段 时 间 内 有 意 义 。 研 究 受 迫 振 动 中 持 续 等 幅 振 动 时 可 忽 略 之 。 表

51、示 系 统 的 受 迫 振 动 ， 称 为 系 统 的 稳 态 解 ， 设2x )sin()(2 tBtx将 代 入 到 方 程 （ 2） 中 可 解 出 B与 2x 2222222 2arctan;4)( nn nnfB 22220 12arctan;)2()1( 1 kFBnn ;n令 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 求 解 过 程 进 一 步 讨 论 ： kFBs 0 sBB令 ： 则 ： 222 )2()1( 1 sBB 22220 12arctan;)2()1( 1 kFB 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 解 的 讨 论二

52、、 讨 论 : 图 给 出 了 以 为 横 坐 标 ， 为 纵 坐 标 ， 在 不 同 阻 尼 比 下 的 一 组 曲 线 簇 。 不 难 理 解 ， 在 简 谐 激 振 力 作 用 下 ， 线 性系 统 的 受 迫 振 动 也 是 简 谐 振 动 ， 振 动 的 频 率 等 于 激 励 力 的频 率 ， 受 迫 振 动 的 振 幅 取 决 于 系 统 本 身 的 物 理 特 性 、 激 励力 的 大 小 及 频 率 值 ， 但 与 初 始 条 件 无 关 。 受 迫 振 动 的 振 幅 与 频 率 比 及 阻 尼 比 有 关 (1) 当 频 率 比 0.2时 ， 即 激 振 频 率 远 小

53、于 系 统 的 固 有 频率 n时 ， 无 论 阻 尼 的 大 小 如 何 ， 1， 称 为 准 静 态 区 。 即振 幅 近 似 等 于 激 励 力 幅 作 用 下 的 静 变 形 。 故 在 低 频 区 振 幅主 要 由 弹 簧 刚 度 控 制 。 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 解 的 讨 论（ 2） 频 率 比 很 大 (5) , 0， 激 振 频 率 远 大 于 系 统 的 固 有频 率 n ， 因 激 励 力 方 向 改 变 太 快 ， 振 动 物 体 由 于 惯 性 来 不及 跟 随 ， 几 乎 停 着 不 动 。 故 在 高 频 区 受 迫 振 动

54、 的 振 幅 主 要 取决 于 系 统 的 惯 性 ， 称 为 惯 性 区 ， 这 一 特 性 正 是 隔 振 和 惯 性 传感 器 的 理 论 依 据 。（ 3） 当 频 率 比 =1， 激 振 频 率 接 近 系 统 的 固 有 频 率 ， 这 时 阻 尼 值 越 小 ， 则 越 大 。 当 阻 尼 为 零 时 ， 振 动 为 无 限 大 。 习 惯 上 把 幅 值 的 频 率区 间 称 为 共 振 区 。 将 （ 6） 对 求 导 ， 并 令 d/d=0 ， 可 解 得 处 有 最 大 幅 值 ，把 称 为 共 振 频 率 。 2221 221 n 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用

55、下 的 强 迫 振 动 解 的 讨 论 相 位 与 频 率 比 的 关 系 曲 线 表 明 =1时 ， 振 动 位移 总 是 滞 后 激 振 力 /2 ， 频 率 比 1； 当 =-/2 -， 共 振 点 前 后 相 位 差恰 好 为 。 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 简 谐 激 励全 响 应 (粘 性 阻 尼 ) tFxkxcxm sin0 2220 12arctansin)2()1( 1 )cos(Re)( tkF ttx rtn 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 简 谐 激 励全 响 应 (无 阻 尼 )： )1(sin0 tF

56、xkxm 设 其 特 解 为 ： tBtx sin)( 22 n fB代 入 到 上 式 得 ： )2(sinsincos 2221 tftCtCx nnn 方 程 （ 1） 的 通 解 解 为 ： 00 00 xxxx 设 初 始 条 件 为 ： 220201 / n nfxCxC代 入 到 方 程 （ 2） 中 得 ： )3()sin(sinsincos 2200 ttftxtxx nnnnnn 则 ： )4()sin(sin)sin( 220 ttftAx nnnn 即 ： 初 始 条 件 产 生 的 自 由 振 动简 谐 激 励 力 产 生 的 受 迫 振 动伴 随 受 迫 振 动 产

57、 生 的 自 由 振 动 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 ttk Ftx nn20 sinsin1)( n 000 xx 若 初 始 条 件 为 ：则 ： 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 2. 5 简 谐 激 励 力 作 用 下 的 强 迫 振 动 简 谐 激 励全 响 应 (无 阻 尼 ) tFxkxm sin0 000 xx ttk Ftx n n20 sinsin1)( n n n 2.6 简 谐 力 的 功 和 等 效 阻 尼简 谐 力 的 功简 谐 力 tFtF sin)( 0 dtxtFFdxdW sin 0Q= )sin

58、()( tBtx振 动 系 统 的 稳 态 解 为则 激 振 力 在 微 小 位 移 dx上 所 作 的 微 元 功 应 为 ：在 一 个 周 期 内 （ t=0 2 /w） 所 作 的 功 ， 也 就 是 F(t)输 入系 统 的 能 量 ， 即 为 dtxtFW 20 )( dtttBF )cos(sin20 0 tdttBF )cos(sin200 sin0BF 可 见 ， 简 谐 激 振 力 在 一 个 周 期 内 所 作 功 的 大 小 ， 不 仅决 定 于 激 振 力 幅 F0 及 振 幅 B 的 大 小 ， 还 决 定 于 两 者之 间 的 相 位 角 。 当 0即 外 力 超

59、前 位 移 时 ， 作 正 功 ； 当 0即 外 力 落 后 于 位 移 时 ， 作 负 功 ； 而 当 =0或 = 时 ， 即 外 力 在 一 个 周 期 内 作 功 之 和等 于 零 。 激 振 力 在 一 个 周 期 内 所 作 的 功 W ， 可 以 看 成 是 激 振力 的 两 个 分 量 作 功 的 和 ， 即 与 位 移 同 相 的 分 量 F = F cos 和 与 速 度 同 相 的 分 量 F = F sin 所 作 功 之 和 。 sin0 BFW 2.6 简 谐 力 的 功 和 等 效 阻 尼 0 )cos()sin(cos )cos()sin(cos )sin(200

60、20 0 20 1 tdttBF dttBtF dtxtFWF )sin(cos0 tF与 位 移 相 同 的 力 ：在 一 个 周 期 内 所 作 的 功 为 ： 2.6 简 谐 力 的 功 和 等 效 阻 尼简 谐 力 tFtF sin)( 0 激 振 力 在 一 个 周 期 内 所 作 的 功 为 分 量 作 功 之 和 ， 即 为 W = W + W = F Bsin 因 此 ， 激 振 力 在 一 个 周 期 内 所 作 的 功 ， 就 是 其 超 前 位 移 /2 的 分 量 所 作 的 功 。 sin )(cossin )cos(0 220020 2 BF tdtBF dtxtF

61、WF 与 速 度 同 向 的 力 F sincos（ t-） 在 一 个 周 期 内 所 作 的 功 为 ：2.6 简 谐 力 的 功 和 等 效 阻 尼简 谐 力 tFtF sin)( 0 2.6 简 谐 力 的 功 和 等 效 阻 尼时 ， 粘 性 阻 尼 力 在 一 个 振 动 周 期 中 所 做 的 功 ：xcF c 220 2220 )(sin XcdttcXdtxFD T cc 在 单 自 由 度 受 迫 振 动 方 程 中 ， 阻 尼 力 被 设 为 。 实 际 物 理 模型 与 振 动 位 移 一 阶 导 数 成 正 比 的 是 纯 液 体 摩 擦 阻 尼 ， 称 为 粘 性阻

62、 尼 。 这 种 阻 尼 是 线 性 的 ， 数 学 上 易 于 处 理 ， 故 常 把 非 线 性 阻尼 用 等 效 粘 性 阻 尼 来 代 替 。等 效 原 则 ： 一 个 振 动 周 期 中 ， 两 种 阻 尼 耗 散 的 能 量 相 等 。xc等 效 阻 尼 力 在 一 个 振 动 周 期 中 所 作 的 功 ： 所 以 有 ： xc e 2XcDD ec )1(2XDce )cos( tXx当 受 迫 振 动 的 位 移 响 应 为 ： 干 摩 擦 阻 尼 ： 干 摩 擦 阻 尼 力 F可 视 为 一 个 常 力 ， 在 整 个 受 迫振 动 中 力 的 幅 值 不 变 ， 方 向

63、始 终 与 运 动 方 向 相 反 。当 质 量 从 平 衡 位 置 移 动 到 最 大 偏 离 位 置 X， 即 在 周 期 内 ， 摩擦 力 做 功 为 FX， 故 一 个 整 周 期 内 做 功 代 入 （ 1） 式 ， 得 到干 摩 擦 的 等 效 阻 尼 : XFXFXc e 44 2 2.6 简 谐 力 的 功 和 等 效 阻 尼 结 构 阻 尼 ： 由 材 料 形 变 过 程 中 的 内 摩 擦 产 生 。材 料 在 加 载 -卸 载 过 程 中 ， 会 形 成 应 力 -应 变 迟 滞 曲 线 ， 它包 容 的 面 积 就 是 内 摩 擦 所 消 耗 的 能 量 ， 它 近 似

64、 地 与 振 幅 平方 成 正 比 。 即 ：其 中 是 与 频 率 无 关 的 比 例 系 数 ， 随 材 料 不 同 而 变 。 因此 ， 结 构 等 效 阻 尼 ： 2XaD r rre aXXaXDc 222ra 2.6 简 谐 力 的 功 和 等 效 阻 尼 周 期 激 励稳 态 响 应 (粘 性 阻 尼 ) 1 222 110 21 sincos2 n nnnn nnk tnbtnakatx 212arctan nnn n1 mknkmc2 21 1 110 sincos2 n nn tnbtnaatFtF tFxkxcxm 2. 7 非 简 谐 周 期 激 励 力 的 响 应 分

65、 析 例 ： 质 量 弹 簧 系 统 受 到 周 期 方 波 激 励 求 系 统 稳 态 响 应 。 TtTF TtFtF 2, 20,)( 00 )(tF0F 0F 0 T2/T t610 1.00 2. 7 非 简 谐 周 期 激 励 力 的 响 应 分 析 解 ：0 弹 簧 质 量 系 统 固 有 频 率 610 激 励 力 的 基 频 ： T 2601 1 110 )sincos(2)( n nn tnbtnaatF Tn Tn T tdtntFTb tdtntFTa dttFTa 110 sin)(2 cos)(2 )(2 因 a0 一 周 期 内 总 面 积 为 0 =0 T,0

66、2Ttn 1cos 2T区 间 内 ， 关 于 为 反对 称 ， 而 关 于 对 称)(tF=0 1 1sinn n tnb )(tF0F0F 0 T2/T t2. 7 非 简 谐 周 期 激 励 力 的 响 应 分 析 1 1sin)( n n tnbtF Tn tdtntFTb 1sin)(22,0 T区 间 内)(tF 4T关 于 为 对 称 tn 1sin 4T而 n取 偶 数 时 ， 关 于 反 对 称 ,2 TT区 间 内)(tF 43T关 于 为 对 称 tn 1sin 43T而 n取 偶 数 时 ， 关 于 反 对 称 0nb 6,4,2n因 此 )(tF0F0F 0 T2/T t 1 2T 2. 7 非 简 谐 周 期 激 励 力 的 响 应 分 析 1 1sin)( n n tnbtF Tn tdtntFTb 1sin)(2当 n 取 奇 数 时 0nb 6,4,2n nFtdtnFTtdtntFTb TTn 040 100 1 4sin8sin)(2 5,3,1n于 是 ， 周 期 性 激 励 F(t) 可 写 为 ： 5,3,1 101 1 sin14sin)(