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1、1 向 量 空 间 、 基 和 维 数 2 一、向量空间概念则 称 V是 向 量 空 间定 义 设 V是 非 空 的 n维 向 量 的 集 合 ， 如 果 （ 1） V对 加 法 运 算 具 有 封 闭 性 ， 即 ， 有 （ 2） V对 数 乘 运 算 具 有 封 闭 性 ， 即 V , V VVR 有, 3 特 例 ：1、 只 有 一 个 零 向 量 所 构 成 的 向 量 空 间 称 为 零 空 间 。2、 所 有 的 n维 向 量 全 体 构 成 一 个 最 大 的 向量 空 间 nR 4 例 ： T1 1 2 3 1 2 3( , , ) | 0V x x x x x x 对 于 向
2、 量 的 加 法 和 数 乘 是 否 是 R上 的 向 量 空 间 ？1 2 3 1 2 3 1 1( , , ) , ( , , ) , , ,T Tx x x y y y V V k R 1332211 ,0)( Vyxyxyx 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1( , , ) , ( ) 0,Tk kx kx kx kx kx kx k x x x k V 显 然 零 向 量 在 此 集 合 ,下 证 证 明 加 法 和 数 乘 的 封 闭 性1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( , , ) , 0, 0,Tx y x y x y x x x y y y 5 二、向量空间
3、的基与维数定义且满足：(1) 1, 2, , r 线性无关；(2) V 中任一向量都可以由1, 2, , r 线性表示；则称1, 2, , r 为V的一组基底，简称基，r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。设V为向量空间，若存在1, 2, , r V. 6 注1：若将向量空间V看成无穷个向量组成的向量组，其基就是其极大线性无关组，其维数就是其秩。注2：零空间 没有基，规定其维数为0。 7 例如：对于Rn(1) 基本单位向量组 是一组基，称为标准基。(2) 1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (1, 1, 0, 0), ，n = (1, 1, 1) 也是基。1 2 n, , , 原因是什么？ 8 三、向量在给定基下的坐标定义4.2设1, 2, , n 是向量空间 V 的一组基，任取 V, 都有 = x11 + x22 + + xnn且组合系数 x1, x2, , xn 唯一，称为向量 在基 1, 2, , n 下的坐标，记为 (x1, x2, , xn)为什么唯一 9 例如：在 R3 中， = (2, 3, 1)T = 213 2 + 1 3 注：1、基并不是唯一的 2、向量在不同基坐标也不同 10 例求向量 在如下基下的坐标),( 21 nxxx 1 2(1,0, 0), (1,1, 0), (1,1, 1)n
向量空间的基和维数
