单元和形函数的构造

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1、第六章 单元和形函数的构造 单元类型 单元类型 单元类型 e eu N e1 形 函 数 Ni在 i结 点 值 为 1， 在 其 余 结 点 为 零 ， 即 ik ikyxN kki 01),(形 函 数 特 点 ：2 在 单 元 内 任 一 点 三 个 形 函 数 之 和 等 于 1。 即0 iN 3 能 保 证 用 形 函 数 定 义 的 未 知 量 (如 场 函 数 )在 相 邻 单 元 之 间 的 连 续 性 。4 应 包 含 任 意 线 性 项 ， 以 便 用 它 定 义 的 单 元 位 移 函 数 满 足 常 应 变 条 件 。 6.1一维拉格朗日单元 x1 x2 x3 xn 1,

2、2, ,i n 1 2 1 11 2 1 1( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )i i ni i i i i i i i nx x x x x x x x x xN x x x x x x x x x x 1n i ii N 1 2 3 n1, ( )( )n jj j i i jx xx x ( 1)( )nil x x1 x2 x3 xn1,2, ,i n 1 2 1 11 2 1 1( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )i i ni i i i i i i i nx x x x x x x x x xN x x x x x x

3、 x x x x 1n i ii N 1 2 3 n 1, ( )( )n jj j i i jx xx x 引 入 无 量 纲 坐 标 1 10 1 ( 0, , 1)nx xl 1 12 ( ) 1 1 ( 1, , 1)n nx x xl ( 1)1 2 1 1 1 2 1 1( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ni i ni ii i i i i i i nN l x1 x2 x3 xn 1n i ii N 1 2 3 n ( 1)1 2 1 11 2 1 1( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ni i

4、 ni ii i i i i i i nN l 11 1 ( 1, , 1)n x1 x21.线 性 单 元 1 1 2 1 21 1 2( )( )N ( 1)( 1) 1) (1)1(1 ) ( )2 l (1)2 21 ( )2N l 6.1一维拉格朗日单元 6.1一维拉格朗日单元1 2 1 11 2 1 1( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )i i ni i i i i i i i nN 2.二 次 单 元 x1 x3 x2( 1) (1)(0) 1 (1 )2N 2 (1 )2N 23 1N 3.三 次 单 元 x1 x3 x2x4( 1) ( 1/3

5、) 0 (1/3) (1) 21 (1 )(9 1)16N 22 (1 )(9 1)16N 23 9(1 3 )(1 )16N 24 9(1 3 )(1 )16N 6.2 二维单元6.2.1拉格朗日矩形单元(0,0) o ( ,0)r(0, )P ( , )r p( , )I J ( ) 0 1 1 10 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )r I I rI I I I I I I I rl 0 1 1 1( ) 0 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )J J ppJ J J J I J J J

6、 pl ( ) ( ), ( ) ( )r pI J I JN l l 6.2 二维单元6.2.1拉格朗日矩形单元( ) ( ), ( ) ( )r pI J I JN l l 123 4 1 1 12 2N 2 1 1 1 1 12 2 4N 1 1 14 3 1 1 1 1 12 2 4N 4 1 1 1 1 12 2 4N iiiN 1141 1,2, ,i n 6.2.2 Serendipity 四边形单元 8结 点二 次 单 元 12结 点三 次 单 元 5结 点 6结 点 6.2.2 Serendipity 四边形单元 123 4 2 1 1 1 1 12 2 4N 3 1 1 1

7、 1 12 2 4N 4 1 1 1 1 12 2 4N 1 1 1 2 2N 1 1 14 8结 点二 次 单 元 123 456 7 8 123 45 25 1 12N 1 1 51 2N N N 2 2 51 2N N N 结 点 5 结 点 6 123 456 26 1 12N 3 3 61 2N N N 2 2 5 61 1 2 2N N N N 27 1 12N 1 1 5 81 1 2 2N N N N 4 4 71 2N N N 结 点 7 结 点 8 123 456 28 1 12N 3 3 6 71 1 2 2N N N N 4 4 7 81 1 2 2N N N N 8结

8、 点二 次 单 元 123 456 7 87 8结 点二 次 单 元 123 456 7 8 26 1 12N 2 2 5 61 1 2 2N N N N 25 1 12N 1 1 5 81 1 2 2N N N N 28 1 12N 3 3 6 71 1 2 2N N N N 4 4 7 81 1 2 2N N N N 27 1 12N iiiN 1141 1,2, ,i n ( 1) ( 1) ( 1)m n p 6.3 三维单元6.3.1拉格朗日单元( , , )I J K( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) ( )m n pI J K I J kN l l l 6.3.2 三角

9、形棱柱单元一 、 6结 点 线 性 三 棱 柱 单 元形 函 数 1 (1 ) ( 1,2,3)21 (1 ) ( 4,5,6)2i i j jN L iN L j iL 为 三 角 形 面 积 坐 标 64 51 23 6结 点 五 面 体 单 元1 11 (1 )2N L 5 21 (1 )2N L 6.3.2 三角形棱柱单元二 、 15结 点 二 次 三 棱 柱 单 元 形 函 数 1 (1 )(2 2) ( 1,2,3)21 (1 )(2 2) ( 4,5,6)2i i ij j jN L L iN L L j 角 结 点 26 (1 )k kN L ( 1,2,3)k 矩 形 边 中

10、 点 10 1 2 13 1 211 2 3 14 2 312 1 3 15 1 32 (1 ) 2 (1 )2 (1 ) 2 (1 )2 (1 ) 2 (1 )N L L N L LN L L N L LN L L N L L 三 角 形 边 中 点 6.3.2 三角形棱柱单元二 、 15结 点 二 次 三 棱 柱 单 元 1 (1 )(2 2) ( 1,2,3)21 (1 )(2 2) ( 4,5,6)2i i ij j jN L L iN L L j 角 结 点 27 1(1 )N L 1 1 11 (1 )(2 2)2N L L 结 点 11 3 2 1 1 11 (1 ) (2 1)

11、2N L L 1 1 71 2N N N 6.3.2 三角形棱柱单元 6.4 阶谱单元1n i ii N 1 ( )n i ii N 线 性 单 元 x1 x21 1 2 1 1 1 2 2 ( ) ( )N N 1 21 1 ,2 2N N 二 次 单 元 x 1 x3 x2( 1) (1)(0) 1 (1 )2N 2 (1 )2N 23 1N 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )N N N 1 1 31 2N N N 23 1N 2 2 31 2N N N 1 21 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( )( )2N N N 二 次 单 元 x1 x3 x2( 1) (1)(0)

12、 1 21 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( )( )2N N N 332211 , NHNHNH 2, 21332211 aaa 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )H a H a H a 31i ii aH 由 一 维 到 二 维 ， 增 加 一 点 及 形 函 数 N3， a3是 解 决 “ 自 动 加密 ” 的 一 个 思 路 。 在 单 元 中 点 不 再 等 于 0. 1 2,H H 结 点 参 数 ai不 一 定 都 具 有 结 点 场 函 数 的 物 理 意 义 . 1 2 3 1H H H 6.5 wilson 单元1 四 结 点 单 元 不 是 二次 多 项

13、式2 四 结 点 L等 参 元 有 很 大 不 足 ， 无 法 反 映 弯 曲 。xN i 与 x无 关 ， yNi反 映 不 了 两 个 方 向 的 变 化 。 以 矩 形 单 元 为 例 ， 与 y无 关 ，Wilson提 出 在 场 函 数 中 增 加 非 结 点 位 移 的 参 数 1x y2x 2yxy3x 3y2x y 2xy4x 4y3x y 3xy2 2x y 5x 5y 1次 (3)2次 (6)3次 (10)4次 (15)5次 (21) 6.5 wilson 单元 4141 ii iivNv uNu xy 123 4四 边 形 单 元 iiiN 1141 4,1i 24234

14、1 2221 11 11 iii iivNv uNu几 何 变 换 仍 然 与 普 通 四 结 点 等 参 元 相 同 4 141 ii ii yNy xNx 一 、 单 元 位 移 场 6.5 wilson 单元xy 123 4四 边 形 单 元 242341 2221 11 11 iii iivNv uNu ee e e eu N a N 1 1 2 2 3 3 4 4 Tea u v u v u v u v单 元 结 点 位 移 1 2 3 4eN N N N N 2 2 2 21 1 0 00 0 1 1eN Te 4321 内 部 自 由 度 6.5 wilson 单元二 、 单 元

15、 应 变 e ee e e e e e ee Lu LN a LN B a B ee e e eu N a N 11 121 21 221 y y a ax J a ax xJy J 与 无 关 。 4 141 ii ii yNy xNx e ee e e e e e e eLu LN a LN B a B 11 121 21 221 y y a ax J a ax xJy 00 xL yy x 11 12 21 2221 22 11 120a a a aa a a a 11 12 21 2221 22 11 121 00 10 110 00 14 1 11 1i ii ie i i ii i

16、 i ii i i ii i i ia ax NB a aNy a a a ay x e ee e e e e e e eLu LN a LN B a B 4,1i 11 12 21 2221 22 11 122 2 0 00 0 2 22 2 2 2e e a aB LN a aa a a a 三 、 单 元 刚 度 矩 阵 eK2 e e eeT eT eTe e st D d t u fd t u fds 2 ee eeT eeT eT eT e e eeTeT eT eT eT eT eTt a B B D B a B dt a N N fd t a N N fds ee e e eB

17、 a B ;ee e e eu N a N 0 e e eeeeT e eT eT eTe e sat B DB d B DB d t N fd N fdsa 0 e e eeeT eT eT eTeee e sat B DB d B DB d t N fd N fds eeueeeeu eueuu PPaKK KK 三 、 单 元 刚 度 矩 阵 eK eeueeeeu eueuu PPaKK KK 1 11 1e eeee eT e eT euue eTu eTe eu eT eeK h B DB d t B DB J d dK t B DBdK t B DB dK t B DB d ee

18、e eT eTu seT eTe sP t N fd t N fdsP t N fd t N fds 三 、 单 元 刚 度 矩 阵 eK eeueeeeu eueuu PPaKK KK e 不 是 要 的 最 终 变 量 。 eeueee aKPK 11 1e e e e e e euuu u u uK K K K a P K K P eee PaK eueueuue KKKKK 1 euueue KKPP 1单 元 为 4结 点 8自 由 度 单 元 ， 对 于 弹 性 力 学 平 面 、 轴 对 称 空 间问 题 ， 这 种 单 元 比 4结 点 等 参 元 大 大 提 高 了 效 率 。