顺序统计量课件.pptx

《顺序统计量课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《顺序统计量课件.pptx（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第 2节 顺 序 统 计 量 一 、 定 义定 义 ： 设 (X1,X2,Xn)是 从 总 体 X中 抽 取 的 一 个 样 本， (x1,x2,xn)是 其 中 一 个 观 测 值 ， 将 观 测 值 按从 小 到 大 的 次 序 重 新 排 列 为 ：定 义 ： X(k)取 值 为 x(k)(k=1,2,n)， 由 此 得 到 特 别 的说 明X (k) 称 为 第 k 个 顺 序 统 计 量 (即 它 的 每 次 取 值总 是 取 每 次 样 本 观 测 值 由 小 到 大 排 序 后 的 第 k 个 值 ). 二 、 常 用 顺 序 统 计 量 极 差 中 位 数 分 位 数 四 分

2、位 数 1、 极 差极 差 反 映 了 随 机 变 量 X取 值 的 分 散 程 度 。 排 序 后 处 于 中 间 位 置 上 的 值2、 中 位 数 3、 分 位 数 4、 四 分 位 数 ： 排 序 后 处 于 25%和 75%位 置 上 的 值 五 数 概 括 与 箱 线 图次 序 统 计 量 的 应 用 之 一 就 是 五 数 概 括 与 箱 线 图 。 在得 到 有 序 样 本 后 ， 容 易 计 算 如 下 五 个 值 ：最 小 观 测 值 x min = x (1) ;最 大 观 测 值 x max = x (n);中 位 数 m 0.5 ;第 一 4 分 位 数 Q 1 =

3、m 0.25第 三 4 分 位 数 Q 3 = m 0.75 。所 谓 五 数 概 括 就 是 指 用 这 五 个 数 来 大 致 描 述 一 批 数据 的 轮 廓 。 三 、 顺 序 统 计 量 的 分 布1、 单 个 顺 序 统 计 量 的 分 布设 总 体 X的 密 度 函 数 为 f (x) ， 分 布 函 数 为 F (x) ，x1, x2, , xn 为 样 本 ， 则 第 k 个 次 序 统 计 量 x (k) 的密 度 函 数 为 : 证 明 ： 对 任 意 的 实 数 x ， 考 虑 次 序 统 计 量 x(k) 取 值落 在 小 区 间 (x , x + x 内 这 一 事

4、 件 ， 它 等 价 于“ 样 本 容 量 为 n 的 样 本 中 有 1 个 观 测 值 落 在 区 间 (x , x + x 之 间 ， 而 有 k-1 个 观 测 值 小 于 等 于 x ，有 n-k 个 观 测 值 大 于 x + x ”， 其 直 观 示 意 图 见 下图 x x+x n-kk - 1 1x (k) 的 取 值 示 意 图 1( ) ( )! ( ) ( )1 ( )( 1)!( )!k k k n kF x x F xn F x F x x F x F x xk n k 两 边 同 除 以 x , 并 令 x0 , 即 有推 论 1 ： 最 大 次 序 统 计 量

5、x (n) 的 概 率 密 度 函 数 为推 论 2 ： 最 小 次 序 统 计 量 x (1) 的 概 率 密 度 函 数 为 按 概 率 密 度 函 数 计 算 次 序 统 计 量 的 密 度 函 数 ：设 F(x)是 总 体 X的 分 布 函 数 ， X1， X2， ,Xn为 X的 样 本 ， X(1),X(2), ,X(n)为 顺 序 统 计 量 ，F(1)(x),F(n)(x)分 别 表 示 随 机 变 量 X(1),X(n)的分 布 函 数 ， 则 对 任 意 实 数 x有 ： 按 概 率 密 度 函 数 计 算 次 序 统 计 量 的 密 度 函 数 ： 当 X为 连 续 型 随

6、 机 变 量 且 有 密 度 函 数 f(x)时 ， 则X(1),X(n)也 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 且 它 们 的 密 度函 数 分 别 为 ： 例 1： 设 总 体 X 分 布 为 U(0,), X1 , X2, Xn 是取 自 总 体 的 样 本 ， 试 写 出 X(1) , X(n) 的 密 度 函 数 . .,0 ,0,1)(1)( 1-n)1( othersxxnxp .,0 ,0,1)()( 1-n)( othersxxnxp n 例 2： 设 总 体 XG l， X1,X2,Xn为 X的 样本 。 求 ： f(1)(x)， f(n)(x)。 例 3： 设 (X1,X

7、2,Xn)是 来 自 正 态 总 体 N(12,9)的 样 本 ， 求 ：解：1）因X1,X2,Xn独立，且服从相同分布 解 ： 我 们 首 先 应 求 出 x (2) 的 分 布 。 由 总 体 密 度 函 数不 难 求 出 总 体 分 布 函 数 为30 , 0;( ) , 0 1;1 , 1xF x x xx 可 以 得 到 x (2) 的 密 度 函 数 为 2 1 5 22 5!( ) ( ) ( )1 ( )(2 1)!(5 2)!p x F x p x F x 于 是 12 5 3 3(2) 01( ) 60 (1 )2P x x x dx 3 2 3 3 5 3 320 3 (

8、1 ) 60 (1 ) , 0 1x x x x x x 3 18 7813 3 40 20 (1 ) 20( )y x y y dy z z dz 4 57 75(1 ( ) ) 4(1 ( ) ) 0.12078 8 四 、 思 考 设 总 体 X 的 分 布 如 下 : X 0 1 2p 1/3 1/3 1/3现 抽 取 容 量 为 3 的 样 本 , 共 有 27 种 可 能 取 值 , 列 表 如 下x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 10 1 0 0 0 11 0 0 0 0 10 0 2 0 0 20 2 0 0 0 22 0

9、0 0 0 20 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)1 1 0 0 1 10 1 2 0 1 20 2 1 0 1 21 0 2 0 1 22 0 1 0 1 21 2 0 0 1 22 1 0 0 1 20 2 2 0 2 22 0 2 0 2 2 x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)2 2 0 0 2 21 1 2 1 1 21 2 1 1 1 22 1 1 1 1 21 2 2 1 2 22 1 2 1 2 22 2 1 1 2 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 例 5： 设 总 体 X的 分 布 为 仅 取

10、 0, 1, 2 的 离 散 均 匀 分布 ， X(1) 0 1 2p 19/27 7/27 1/27 X(2) 0 1 2p 7/27 13/27 7/27X(3) 0 1 2p 1/27 7/27 19/27 其 分 布各 不 相 同进 而 可 得 X(1)与 X (2) 的 联 合 分 布 如 下 : X (1)与 X (2)并 不 独 立 1/27002 3/274/2701 3/279/277/270 210 X(2) (1) (2) 19 7( 0) ( 0) 27 27P x P x (1) (2) 7( 0, 0) 27P x x ,而X(1) 由 此 可 得 X(1) , X

11、 (2) , X (3) 的 分 布 列 如 下 : 注 : 在 一 个 样 本 中 , X1 , X 2， , Xn 是 独 立 同 分布 的 , 而 次 序 统 计 量 X (1) , X (2) , X (n) 则 可能 既 不 独 立 , 分 布 也 不 相 同 . 充 分 统 计 量指 统 计 量 加 工 过 程 中 无 信 息 损 失 的 统 计 量 是 不 合 格 品 率 p的 充 分 统 计 量来 自 正 态 总 体 的 样 本 ， 若 总 体 期 望 已 知 ， 是 总 体 方 差 的 充 分 统 计 量 ， 若 总 体 方 差 已 知 ，是 总 体 期 望 的 充 分 统 计 量 。 10011 i iXT