协方差分析与混合线性模型

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1、第 9讲 协 方 差 分 析 与 混 合 线性 模 型理 学 院 汪 晓 银 教 授华 中 农 业 大 学 数 学 建 模 创 新 实 践 基 地 课 件 如 果 在 单 因 素 、 双 因 素 或 多 因 素 试 验中 有 无 法 控 制 的 因 素 x影 响 试 验 的 结 果 Y，且 x可 以 测 量 、 x与 Y之 间 又 有 显 著 的 线 性 回归 时 ， 常 常 利 用 线 性 回 归 来 矫 正 Y的 观 测 值 、消 去 x的 差 异 对 Y的 影 响 。 例 如 ， 研 究 施 肥 对 苹 果 树 产 量 的 影 响 ，由 于 苹 果 树 的 长 势 不 齐 ， 必 须 消

2、 去 长 势 对产 量 的 影 响 。 又 如 ， 研 究 饲 料 对 动 物 增 重的 影 响 ， 由 于 动 物 的 初 重 不 同 ， 必 须 消 去初 重 对 增 重 的 影 响 。协 方 差 分 析 这 种 不 是 在 试 验 中 控 制 某 个 因 素 ，而 是 在 试 验 后 对 该 因 素 的 影 响 进 行 估 计 ，并 对 试 验 指 标 的 值 作 出 调 整 的 方 法 称 为统 计 控 制 ， 可 以 作 为 试 验 控 制 的 辅 助 手段 。 以 统 计 控 制 为 目 的 ， 综 合 线 性 回 归分 析 与 方 差 分 析 所 得 到 的 统 计 分 析 方

3、法 ，称 为 协 方 差 分 析 ， 所 需 要 统 计 控 制 的 一个 或 多 个 因 素 ， 例 如 苹 果 树 的 长 势 ， 又如 动 物 的 初 重 等 等 称 为 协 变 量 。1 协 方 差 分 析 思 想 原 理 2 单 因 素 协 方 差 分 析 -理 论 2 单 因 素 协 方 差 分 析 -理 论 2 单 因 素 协 方 差 分 析 -理 论 2 单 因 素 协 方 差 分 析 -理 论 2 单 因 素 协 方 差 分 析 -计 算 data ex; do a=1 to 3;do i=1 to 8;input x y ;output ;end;end;cards;47

4、54 58 66 53 63 46 51 49 56 56 66 54 61 44 50 52 54 53 53 64 67 58 62 59 62 61 63 63 64 66 69 44 52 48 58 46 54 50 61 59 70 57 64 58 69 53 66 ; proc glm;class a;model y=x a/solution;lsmeans a/stderr pdiff;run;2 单 因 素 协 方 差 分 析 -计 算 2 单 因 素 协 方 差 分 析 -计 算 施 用 三 种 肥 料 的 产 量 矫 正 后 有 极 显著 的 差 异 2 单 因 素 协

5、 方 差 分 析 -计 算 3双 因 素 协 方 差 分 析 -不 考 虑 交 互 作 用 方 差 来 源 平 方 和 自 由 度 均 方 和 F值 显 著 性 A Q A r-1 MQ A FA B Q B s-1 MQ B FB 误 差 Q E rs-r-s MQ E 总 和 Q T rs-2 3双 因 素 协 方 差 分 析 -不 考 虑 交 互 作 用 data ex;do a=1 to 3 ;do b=1 to 5 ;input x y ;output; end; end;cards;8 2.85 10 4.24 12 3.00 11 4.94 10 2.8810 3.14 12 4

6、.50 7 2.75 12 5.84 10 4.0612 3.88 10 3.86 9 2.82 10 4.94 9 2.89;proc glm;class a b ;model y=x a b/solution;lsmeans a b/stderr pdiff;run;3双 因 素 协 方 差 分 析 -不 考 虑 交 互 作 用 3双 因 素 协 方 差 分 析 -不 考 虑 交 互 作 用 方 差 来源 平 方 和 自 由度 均 方和 F值 显 著性 A 0.6046 2 0.3023 2.49 N B 7.1245 4 1.7811 14.66 * 误 差 0.8502 7 0.121

7、5 总 和 8.5793 1各 小 区 的 产 量 矫 正 后 没 有 显 著 的 差 异 ， 各 品种 的 产 量 矫 正 后 有 极 显 著 的 差 异 。3双 因 素 协 方 差 分 析 -不 考 虑 交 互 作 用 方 差 来源 平 方和 自 由 度 均 方 和 F值 显 著性 A Q A r-1 MQ A FA B Q B s-1 MQ B FB AB Q AB (r-1)(s-1) MQ AB FAB 误 差 Q E rs(m-1)-1 MQ E 总 和 Q T rsm-24双 因 素 协 方 差 分 析 -考 虑 交 互 作 用 4双 因 素 协 方 差 分 析 -考 虑 交 互

8、 作 用 data ex; do a=1 to 4; do b=1 to 2;do i=1 to 2;input x y;output;end;end;end;cards;14.6 97.8 12.1 94.2 19.5 11.2 18.8110.1 1.6 100.3 12.9 98.5 18.5 119.4 12.2 114.7 12.8 99.2 10.7 89.6 12.2122.2 16.9 105.3 12.0 102.1 12.4 103.8 16.4 117.2 17.2 117.9proc glm; class a b;model y=x a ba*b/solution;ls

9、means a b/stderr pdiff;run; 4双 因 素 协 方 差 分 析 -考 虑 交 互 作 用 4双 因 素 协 方 差 分 析 -考 虑 交 互 作 用 方 差 来 源 平 方 和 自 由 度 均 方 和 F值 显 著 性 A 277.43485 3 92.478286 6.51 * B 2.845259 3 2.845259 0.20 N AB 12.848100 1 4.282700 0.30 N 误 差 99.441171 7 14.205882 A与 B的 交 互 作 用 矫 正 后 不 显 著 ， 促 生 长 剂之 间 的 差 异 极 显 著 ， 试 验 批 次

10、 间 的 差 异 不 显 著 4双 因 素 协 方 差 分 析 -考 虑 交 互 作 用 3.混 合 线 性 模 型通 过 一 个 例 子 讲 述 混 合 线 性 模 型 的 使 用艾 滋 病 疗 法 的 评 价艾 滋 病 是 当 前 人 类 社 会 最 严 重 的 瘟 疫 之 一 ， 从 1981年 发 现 以来 的 20多 年 间 ， 它 已 经 吞 噬 了 近 3000万 人 的 生 命 。艾 滋 病 的 医 学 全 名 为 “ 获 得 性 免 疫 缺 损 综 合 症 ” ， 英 文 简 称AIDS， 它 是 由 艾 滋 病 毒 （ 医 学 全 名 为 “ 人 体 免 疫 缺 损 病 毒

11、 ” , 英 文 简 称 HIV） 引 起 的 。 这 种 病 毒 破 坏 人 的 免 疫 系 统 ， 使 人 体丧 失 抵 抗 各 种 疾 病 的 能 力 ， 从 而 严 重 危 害 人 的 生 命 。 人 类 免疫 系 统 的 CD4细 胞 在 抵 御 HIV的 入 侵 中 起 着 重 要 作 用 ， 当 CD4被 HIV感 染 而 裂 解 时 ， 其 数 量 会 急 剧 减 少 ， HIV将 迅 速 增 加 ，导 致 AIDS发 作 。 3.混 合 线 性 模 型艾 滋 病 治 疗 的 目 的 ， 是 尽 量 减 少 人 体 内 HIV的数 量 ， 同 时 产 生 更 多 的 CD4，

12、至 少 要 有 效 地 降低 CD4减 少 的 速 度 ， 以 提 高 人 体 免 疫 能 力 。迄 今 为 止 人 类 还 没 有 找 到 能 根 治 AIDS的 疗 法 ，目 前 的 一 些 AIDS疗 法 不 仅 对 人 体 有 副 作 用 ，而 且 成 本 也 很 高 。 许 多 国 家 和 医 疗 组 织 都 在 积极 试 验 、 寻 找 更 好 的 AIDS疗 法 。 3.混 合 线 性 模 型请 你 完 成 以 下 问 题 ：（ 1） 利 用 附 件 1的 数 据 ， 预 测 继 续 治 疗 的 效 果 ， 或 者 确 定最 佳 治 疗 终 止 时 间 （ 继 续 治 疗 指 在

13、 测 试 终 止 后 继 续 服 药 ，如 果 认 为 继 续 服 药 效 果 不 好 ， 则 可 选 择 提 前 终 止 治 疗 ） 。（ 2） 利 用 附 件 2的 数 据 ， 评 价 4种 疗 法 的 优 劣 （ 仅 以 CD4为 标 准 ） ， 并 对 较 优 的 疗 法 预 测 继 续 治 疗 的 效 果 ， 或 者 确定 最 佳 治 疗 终 止 时 间 。(3) 艾 滋 病 药 品 的 主 要 供 给 商 对 不 发 达 国 家 提 供 的 药 品 价格 如 下 ： 600mg zidovudine 1.60美 元 ， 400mg didanosine 0.85美 元 ， 2.25

14、 mg zalcitabine 1.85美 元 ，400 mg nevirapine 1.20美 元 。 如 果 病 人 需 要 考 虑 4种 疗法 的 费 用 ， 对 （ 2） 中 的 评 价 和 预 测 （ 或 者 提 前 终 止 ） 有什 么 改 变 。 3.混 合 线 性 模 型ID 疗 法 年 龄 时 间 Log(CD4 count+1) 1 2 36.4271 0 3.1355 1 2 36.4271 7.5714 3.0445 1 2 36.4271 15.5714 2.7726 1 2 36.4271 23.5714 2.8332 1 2 36.4271 32.5714 3.2

15、189 1 2 36.4271 40 3.0445 2 4 47.8467 0 3.0681 2 4 47.8467 8 3.8918 2 4 47.8467 16 3.9703 2 4 47.8467 23 3.6109 2 4 47.8467 30.7143 3.3322 2 4 47.8467 39 3.0910 3 1 60.2875 0 3.7377 4 3 36.5969 0 4.1190 4 3 36.5969 7.1429 4.1109 4 3 36.5969 16.1429 4.7095 3.混 合 线 性 模 型1对 4种 疗 法 的 疗 效 评 价 的 分 析对 题 目

16、所 给 的 附 件 2的 数 据 进 行 分 析 可 知 ， 决 定 病 人的 CD4的 浓 度 的 因 素 有 年 龄 ， 检 查 的 时 刻 ， 治 疗 方案 这 三 个 因 素 。 因 此 我 们 将 年 龄 分 成 5类 ， 检 查 的 时刻 分 为 4个 时 间 段 ， 治 疗 方 案 有 4种 。 而 问 题 是 以CD4的 浓 度 为 标 准 来 评 价 疗 效 的 优 劣 ， 即 CD4的 浓度 越 大 ， 那 么 疗 效 越 好 。 由 于 考 虑 题 中 所 给 的 样 本有 6000多 个 （ 病 人 的 个 数 *各 个 病 人 检 查 的 次 数 ） ，因 此 我 们

17、 考 虑 用 MIXED（ 混 合 线 性 模 型 ） 。 下 面 我们 就 混 合 线 性 模 型 的 原 理 进 行 说 明 。 3.混 合 线 性 模 型混 合 线 性 模 型 过 程 是 拟 合 许 多 不 同 数 据 的 混 合 线 性模 型 ， 并 利 用 所 拟 合 的 模 型 对 数 据 进 行 统 计 推 断 。首 先 混 合 线 性 模 型 的 主 要 假 设 是 数 据 服 从 正 态 分 布 ，由 于 本 题 所 给 的 数 据 的 样 本 容 量 有 6000多 个 ， 因 此 ，我 们 可 认 为 它 服 从 正 态 分 布 。 又 由 于 正 态 分 布 的 数据

18、 可 完 全 有 均 值 和 方 差 确 定 ， 因 此 一 个 混 合 线 性 模型 是 由 两 个 模 型 决 定 的 。 分 别 是 均 值 模 型 和 方 差 模型 。 MIXED使 用 约 束 最 大 似 然 的 方 法 来 拟 合 数 据 的 。一 旦 数 据 的 模 型 已 经 建 立 ， 我 们 可 以 使 用 该 模 型 通过 固 定 效 应 参 数 和 协 方 差 参 数 进 行 统 计 推 断 。 用 这些 统 计 量 可 以 对 模 型 进 行 评 价 。 3.混 合 线 性 模 型再 者 ， 该 分 析 的 重 要 假 设 是 数 据 是 正 态 分 布 的 ， 由于

19、 我 们 将 附 录 2的 数 据 进 行 了 分 类 。 由 于 数 据 出 现 在类 （ 如 可 能 是 同 一 年 龄 段 中 ） ， 那 可 能 的 情 况 是 来自 同 一 年 龄 段 的 这 些 CD4的 值 是 相 关 的 ， 不 是 独 立的 。 鉴 于 此 ， 由 于 附 录 2所 给 的 数 据 是 高 度 数 据 （ 即样 本 容 量 很 大 ） ， 那 么 考 虑 这 种 因 素 是 相 关 。 因 此我 们 对 这 些 因 素 进 行 相 关 性 建 模 ， 我 们 使 用 随 机 效用 。 在 本 题 中 ， 我 们 规 定 年 龄 、 检 查 时 刻 为 随 机

20、效应 ， 即 使 得 具 有 相 同 年 龄 水 平 或 相 同 检 查 时 刻 的 水平 之 间 存 在 共 同 的 相 关 性 ， 那 么 ， 此 模 型 才 较 为 合理 。 3.混 合 线 性 模 型2 对 4种 疗 法 的 疗 效 模 型 的 建 立1） 数 据 的 处 理a、 所 有 病 人 的 年 龄 是 在 14.9021， 74.193的 区 间 内 ,以 （ 74.193-14.9021） /5=11.85818为 区 间 长 度 。 我们 将 患 者 按 照 年 龄 阶 段 分 为 5级 ， 分 别 记 作 1至 5（ 如表 4所 示 ） ；b、 我 们 将 患 者 所

21、接 受 的 治 疗 方 法 分 为 4种 ， 分 别 记作 1至 4；c、 我 们 将 病 人 的 检 查 的 时 刻 0， 40以 10为 区 间 长度 ， 分 为 4级 ， 分 别 记 作 1至 4 3.混 合 线 性 模 型 3.混 合 线 性 模 型2） 确 定 固 定 效 应 和 随 机 效 应固 定 效 用 是 设 计 者 所 研 究 的 因 素 ， 在 此 题 中 为4种 疗 法 。 因 为 病 人 的 年 龄 是 随 机 的 ， 并 且 病人 接 受 检 验 的 时 刻 是 也 是 随 机 进 行 的 ， 故 病 人的 年 龄 和 病 人 接 受 检 验 的 治 疗 时 刻 应

22、 该 为 随 机效 应 。 3.混 合 线 性 模 型3） 协 方 差 结 构 的 选 择模 型 中 具 体 选 用 哪 种 结 构 矩 阵 ： 在 相 同 模 型 结 构 下 ，选 择 几 个 不 同 结 构 的 协 方 差 矩 阵 ， 从 中 选 取 似 然 比统 计 量 （ -2Log Likeli-hood） 、 Akaikes Information Schwartz Bayesian三 个 指 标 均 较 小的 一 个 ， 通 常 以 AIC为 主 要 判 断 指 标 。 依 据 专 业 知识 和 既 往 文 献 ， 在 此 模 型 中 选 用 符 合 对 称 结 构 CS、不 规

23、 则 结 构 UN、 一 阶 自 回 归 结 构 AR(1)、 空 间幂 相 关 结 构 SP（ POW） 。 3.混 合 线 性 模 型4） 建 立 混 合 线 性 模 型 的 线 性 模 型 ， 如 下 ： curecuretimetimeageageave BXBXBXBY * 3.混 合 线 性 模 型data ex;input name a x1 x2 y ;if x126.76 then x1=1;if 26.76=x141.662 then x1=2;if 41.662=x156.56 then x1=3;if 56.56=x171.467 then x1=4;if 71.467

24、=x1 then x1=5;if x210 then x2=1;if 10=x220 then x2=2;if 20=x230 then x2=3;if 30=x2 then x2=4;cards;1 2 36.4271 0 3.13551 2 36.4271 7.5714 3.04451 2 36.4271 15.5714 2.7726 1 2 36.4271 23.5714 2.8332 3.混 合 线 性 模 型1313 1 15.8412 20 4.40671313 1 15.8412 27 3.55531313 1 15.8412 35 3.4657;proc glm;class a x1 x2;model y=a x1 x2;means a/duncan;proc mixed;class a x1 x2;model y=a;random x1 x2;lsmeans a;run; 3.混 合 线 性 模 型 3.混 合 线 性 模 型 3.混 合 线 性 模 型