求变形的能量法

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1、子曰： 好 学 近 乎 知 ， 力 行 近 乎 仁 ， 知 耻 近 乎 勇 。知斯三者，则知所以修身。知所以修身，则知所以治人。知所以治人，则知所以治天下国家矣。 中 庸 前 面 解 决 了 强 度 问 题 （ 简 单 变 形 组 合 变 形 ） 刚 度 问 题 怎 么 办 ？1、 能 否 避 免 组 合 变 形 的 微 分 方 程 ？2、 能 否 只 求 出 若 干 控 制 点 的 变 形 ， 避 免 求 整 个 变 形 曲 线 用 揭 示 本 质 法 寻 根 能量法 dtvdmF 22 202 mvmvrdF 0vmvmdtF zEIxMy )( 能 量 方 法 ？ 内 容 121 杆 件

2、 变 形 位 能 的 计 算 122 卡 氏 定 理 123 莫 尔 定 理 124 计 算 莫 尔 积 分 的 图 乘 法 125 互 等 定 理 126 虚 功 原 理 121 杆 件 变 形 位 能 的 计 算 一 、 条 件 大 前 提 ： 1、 小 变 形 ； 2、 服 从 郑 玄 胡 克 定 律 线 弹 性 体 的 响 应 （ 内 力 、 应 力 和 变 形 ） 为 外 载 的 线性 函 数 小 前 提 ： 缓 慢 加 载 变 力 做 功 ， 功 只 转 成 变 形 位 能 （ 不 转 成 动 能 、 热 能 ） 二 、 变 力 做 功 贮 能 外 力 缓 慢 做 功 W ， 无

3、损 失 地 转 化 为 变 形 位 能 U，贮 存 于 弹 性 体 内 部 ： U = W 进 而 计 算 可 变 形 固 体 的 位 移 、 变 形 和 内 力 ， 称为 能 量 方 法 PW 21 P 广 义 力 （ 力 ， 力 偶 ） 广 义 位 移 （ 线 ， 角 位 移）P d PkdkPdW 2121 200 L xEAxNWU d2 )( 2 dxNdW )(21EANEdxd EANdxd L P dxGIxTWU 2 )( 2 dxTdW )(21pGI dxxTGdxdxd )( pGI dxxTd )( L xEIxMWU d2 )( 2MddW 21 EIyMEd dd

4、y )( EIM1EIMdxdxd vExvGxEx xEIxMxGIxTxEAxNU L wLL n LL PL d)(d)(dv)( d)(d)(d)( 222 222 222 222 IyM 2 22IMy IMI dAyMdA 22 22 EdVEIdAIdxEIdxM 2222 dW EdVdVW 2 结 论1. 变 形 位 能 是 状 态 函 数 （ 同 最 终 的 力 和 变 形 有 关 ） 2. 变 形 位 能 的 计 算 不 能 用 叠 加 原 理 EI dxMMEIdxMEIdxMEIdxMU 2122212 222 EI dxMMUU 2121 ? 1P 1M21 MMM

5、 1P 2P 2P2M 11 WU 22 WU 1212121 PdMEIdxMMEI dxMM )(1PA 2P2 A EI dxMMWWW 2121 )(则 1P 2P载 荷 在 载 荷 引 起 的 位 移 上 做 的 功 交 叉 项 是 两 个 载 荷 相 互 作 用 的 外 力 功 解 释 1 221221 PdMEIdxMMEI dxMM )(2P1P 1B 2P 1P载 荷 在 载 荷 引 起 的 位 移 上 做 的 功注 意 ： 1.载 荷 交 互 作 用 作 功 ， 不 同 于 自 力 做 功 是 变 载 由 零 一 点 一 点 增 大 ， 而 是 常 力 做 功 2.实 质

6、是 虚 功 原 理 21 PP3.因 ， 也 包 含 互 等 定 理 PUUPf A 2例 12.1 mUUmB 2后 面 的 偏 微 分 关 系 是 巧 合 ， 还 是 必 然 ？ 实 际 是 卡 氏 定 理说 明 要 善 于 发 掘 更 本 质 的 东 西 解 ： 用 能 量 法 （ 外 力 功 等 于 应 变 能 ）Q MNMTAAP NBj T求 内 力 jj sin)(: PRM T 弯 矩 )cos1()(: jj PRMN扭 矩A P R 外 力 功 等 于 应 变 能变 形 能 LL PL xEIxMxGIxMxEAxNU d2 )( d2 )( d2 )( 22n2 jjjj

7、 0 2220 222 d2 )(sind2 )cos1( REIRPRGIRP PEIRPGIRP P 443 3232 UfPW A 2 EIPRGIPRf PA 223 33 122 卡 氏 定 理 Castigliano Theory设 法 推 导 出 （ 不 是 简 单 的 证 明 ）PUf A mUB 推 导 的 出 发 点 iPi PUPU 0lim只 有 第 i 号 外 力 有 增 量 iP i iP )( iiii PP 1P iPi 2P nP 1P 2P nP ii PP ii i iP )( iiii PP 1P iPi 2P nP1P 2P nP ii PP ii i

8、ii ninii PPU PPPUPPPPU )0,.,.,0( ),.,.,(),.,.,( 11 iiii ninii PP PPPUPPPPU 2/ ),.,.,(),.,.,( 11 iiii PU 2/ 当 0 ,0 iiP 时 iiPU / 即 卡 氏 定 理 我 得 到 另 一 结 论 ， 因 意 大 利 工 程 师 阿 尔 伯 托 卡 斯 提 格 里 安 诺 (Alberto Castigliano， 1847 1884) iiii ninii PPUU 2/ ),.,.,(),.,.,( 11 iiii PPU 2/ 当 0,0 ii P时 ii PU / ii kP 所 以

9、 ),.,(),.,( 11 nn UPPU 二 、 使 用 卡 氏 定 理 的 注 意 事 项U 整 体 结 构 在 外 载 作 用 下 的 线 弹 性 变 形 能 Pi 视 为 变 量 ， 结 构 反 力 和 变 形 能 等 都 必 须 表 示 为 Pi 的 函 数为 Pi 作 用 点 沿 Pi 方 向 的 变 形1P iPi 2P nP 解 ： L xEIxMU d2 )( 2 )0(; 2)( axxPxM 应 用 对 称 性 得 EIaPxxPEIU a 12d)2(212 320 2 EIPaPUfC 6/ 3思 考 ： 分 布 荷 载 时 求 C 点 位 移 ？ qCa aA P

10、 Bf 例 求 A 点 的 挠 度 变 形求 弯 矩解 ： PxxM )( EIPLPUA 3 3求 变 形 能 EILPdxEIxMU L 62 )( 222 AL PEI x O 思 考 ： 如 何 求 A 点 转 角 例 用 卡 氏 定 理 求 B点 的 挠 度解 ： B点 加 一 个 力 Q 最 后 令 Q = 0 求 弯 矩 )()( xMPxM AP PA La B Cf xOx1 )()( xMQxM BQ 求 变 形 能 PQcbQaPdxEIMMU L QP 2/2/2 )( 222变 形 L Bp L BAQQB EI dxxMxM EI dxxMxMPPcPcQbQU )

11、()( )()()(limlim 00 实 际 引 向 了 Mohr定 理 )( 223 23 LaaaLaEIP )()( xLPxM P )( 0 )(0 )()( Lxa axxaxM B a L BpB dxEI xaxLPEI dxxMxM 0 )()()( 原 载 荷 和 虚 载 荷 各 自 对 应 的 变 形 能 不 必 计 算只 需 计 算 二 者 交 互 的 变 形 能 前 面 的 两 个 思 考 题 也 可 以 这 样 解 如 何 计 算 任 一 点 A的 位 移 ？ 在 实 载 荷 下 得 到相 应 内 力 如 弯 矩 为 M(x)q(x) A1、 在 A点 加 虚 单

12、位 力2 、 计 算 实 、 虚 载 荷 交 互 的 变 形 能 123 莫 尔 定 理 Mohr Theory AfAq(x) A =1P0弯 矩 M ( x ) 弯 矩 )(0 xM LA xEI xMxMfP d)()( 00前 面 讲 变 形 能 不 能 迭 加 的 交 互 项因 P0 = 1 LA xEI xMxMf d)()( 0 莫 尔 定 理 (单 位 力 法 )普 遍 形 式 的 莫 尔 定 理 xEI xMxMxGI xTxTxEA xNxN LL PLA d)()(d)()(d)()( 000 三 、 使 用 莫 尔 定 理 注 意 事 项M 0(x)与 M(x)的 坐

13、标 系 必 须 一 致 ， 每 段 杆 的 坐 标 系 可 自 由 建 立莫 尔 积 分 必 须 遍 及 整 个 结 构M0 沿 所 求 的 方 向 加时 结 构 产 生 的 内 力M(x) 结 构 在 原 载 荷 （ 实 载 荷 ） 下 的 内 力所 加 广 义 单 位 力 与 所 求 广 义 位 移 之 积 ， 必 须 为 功 的 量 纲 2)( 2qxaqxxM )2( )2(2 )0( 2)(0 axaxax axxxM解 ： 画 单 位 载 荷 图求 内 力 BA a aC0P =1BA a aCqx d)()(d)()( 2 00 0 aaaC xEI xMxMxEI xMxMf

14、a xEI xMxM0 0 d)()(2对 称 性 EIqaxxqxqaxEI a 245d2)2(2 4 0 2 变 形 BA a aCqx 0P =1 BA a aC 求 转 角 ， 重 建 坐 标 系 （ 如 图 ） aa xaxqxqaxEIxaxqxqaxEI 0 222220 11211 d2)2(1d2)2(1 2)( : 211 qxqaxxMAC axxM 2)( 10 0 2)( : 222 qxqaxxMBC axxM 2)( 20 q BA a aC x2x1 BA a aC MC0=1 d)()( )()( )(0 0)(0 0 aBCaAB xEI xMxM dxE

15、I xMxMc 注 ： 卡 氏 定 理 求 含 参 数 积 分 ， 再 求 导 ； 莫 尔 定 理 是 纯 数 值 积 分 ； 所 以 莫 尔 定 理 计 算 量 小功 能 原 理 单 个 集 中 载 荷方 向 的 位 移 无 法 补 救 1.积 分 求 变 形 能2.求 外 力 功卡 氏 定 理 多 种 载 荷 中 , 任一 集 中 载 荷 方 向的 位 移 任 意 位 移( 给 出 虚 载荷 P， 最 后令 P= 0 ) 1.积 分 求 变 形 能2.求 偏 导 数莫 尔 定 理 任 意 位 移 积 分 求 交 互 能 量 例 12.4 P357 例 12.6 P360 实 质 是 刚 架

16、 i i EIdxMM 梁 、 刚 架 i ii iii AE lNN 杆 、 桁 架 例 12.5 P359 124 计 算 莫 尔 积 分 的 图 乘 法 Multiplicative G raph Method for Calculating Mohr Integration为 了 简 化 Mohr积 分 计 算 EIdxMM tgxxM )( 坐 标 原 点 取 直 线 与 轴 的 交 点x EI dxxtgxMEI dxxMxM )()()( EIMdxxMEItgx cc )(对 原 点 的 形 心 坐 标cx )(xM 的 面 积 )(xMcx 对 应 弯 矩 的 值cM McM

17、y xcxy x图)(xM 图)(xM )(xM在 单 位 力 作 用 下 ， 是 一 条 直 线 1P1 2f11 f21 2 P2f22f12 1 125 互 等 定 理 Reciprocal Theory1、 功 的 互 等 定 理 （ Reciprocal Theory of Work） 121212121 fPdMEIdxMMEI dxMM )( fPdMEIdxMMEI dxMM 221221 )(212121 fPfP 功 的 互 等 定 理 2、 位 移 互 等 定 理 （ Reciprocal Theory of Displacement）212121 fPfP 21 PP

18、2112 ff 如 果则 有 位 移 互 等 定 理 ， 又 叫 Maxwell位 移 互 等 定 理书 上 讲 法 的 缺 点 ； 功 的 互 等 定 理 神 秘 色 彩 位 移 互 等 定 理 先 验 论例 题 12.15， P377对 于 126 虚 功 原 理 Principle of Virtual Work1 虚 位 移对 于 刚 体 ： 约 束 条 件 许 可 的 无 限 小 位 移对 于 变 形 体 ： 约 束 条 件 和 变 形 协 调 条 件 许 可 的 无 限 小 位 移 212121 fPfP 功 的 互 等 定 理 中 12f不 是 发 生 的 位 移 ， 只 是 位

19、 置 1处 的 一 种 可 能位 移 ， 或 叫 虚 位 移 1P 2、 虚 功 原 理对 于 刚 体 ： 平 衡 的 条 件 是 所 有 外 力 在 任 意 虚 位 移 上 所 作 的 虚 功 之 和 为 零对 于 变 形 体 ： 平 衡 的 条 件 是 所 有 外 力 在 任 意 虚 位 移 上 所 作 的 虚 功 恒 等 于 内 力 在 虚 变 形 上 的 虚 功 （ 虚 变 形 位 能 ） 3 虚 功 的 计 算外 力 ： P1, P2, 内 力 ： N, M,外 力 虚 功 ：We=P1a1+P2a2+.虚 位 移 ： a1, a2,., 虚 变 形 ： l内 力 虚 功 ： .)( MdlNdWi 由 We=Wi .)( MdlNdaP ii虚 功 原 理 是 最 一 般 的 功 能 原 理 dMa对 于 梁 ， 施 加 单 位 力 P=1, 力 P产 生 的 内 力 M则 有 ： dxEIxMd )( dEI MxMa )(莫 尔 定 理 小 结 ：1 变 形 位 能 的 概 念2 卡 氏 定 理3 莫 尔 定 理4 互 等 定 理5 虚 功 原 理 作 业 ： 12.19, 12.20