标准正态分布的密度函数

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1、一 、 标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 数二 、 标 准 正 态 分 布 的 概 率 计 算三 、 一 般 正 态 分 布 的 密 度 函 数正 态 分 布四 、 正 态 分 布 的 概 率 计 算 正 态 分 布 的 重 要 性正 态 分 布 是 概 率 论 中 最 重 要 的 分 布 ，一 定 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 许 多 分 布 所 不 具 备 的 正 态 分 布 可 以 作 为 许 多 分 布 的 近 似 分 布 以 下 情 形 加 以 说 明 ： 正 态 分 布 是 自 然 界 及 工 程 技 术 中 最 常 见 的 分 布之 一 ， 大 量 的 随 机

2、 现 象 都 是 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 的 可 以 证 明 ， 如 果 一 个 随 机 指 标 受 到 诸 多 因 素 的 影 响 ,但 其 中 任 何 一 个 因 素 都 不 起 决 定 性 作 用 ， 则 该 随 机 指 标 正 态 分 布 有 许 多 良 好 的 性 质 ， 这 些 性 质 是 其 它这 可 以 由 标 准 正 态 分 布 xex x2221下 面 我 们 介 绍 一 种 最 重 要 的 正 态 分 布定 义 若 连 续 型 随 机 变 量 X的 密 度 函 数 为则 称 X服 从 标 准 正 态 分 布 ， 记 为)1,0( NX标 准 正 态 分

3、 布 是 一 种 特 别 重 要 的它 的 密 度 函 数 经 常 被 使 用 ，所 以 用 专 门 的 符 号 )(x 来 表 示 。分 布 。 一 、 标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 数 x0 )(x 密 度 函 数 的 验 证 是 其 密 度 函 数 ，上 的 正 态 分 布 ，设 xNX )1,0( 0 x x 对 ， ；任 意 的 有 22 2xe dx 121 22 dxe x则 有（ 2） 根 据 反 常 积 分 的 运 算 有可 以 推 出 xex x2 221 确 是 密 度 函 数 由 此 可 知 ， x xex x2221若 随 机 变 量则 密 度 函 数 的

4、性 质 为 ： )1,0( NX x0 )(x标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 数 的 性 质， X的 密 度 函 数 为 内 处 处 连 续 ；在 xx.1 轴 对 称 ；为 偶 函 数 ， 其 图 像 关 于 yx.2 有 最 大 值 ：时 ，当 xx 0.3 399.0210 ;1.4 有 拐 点时 ， 曲 线当 xx 。轴 为 曲 线 的 水 平 渐 近 线x.5 x 的 图 像 称 为 标 准 正 态 （ 高 斯 ） 曲 线 。 xex x2221 随 机 变 量 )1,0( NX由 于 , ba由 图 像 可 知 ， 阴 影 面 积 为 概 率 值 。 ba dxxbXaP

5、)()( 对 同 一 长 度 的 区 间 ， 若 这 区 间 越 靠 近 x0 )(xa b ,0 x其 对 应 的 曲 边 梯 形 面 积 越 大 。标 准 正 态 分 布 的 分 布 规 律 时 “ 中 间 多 ， 两 头 少 ” . 二 、 标 准 正 态 分 布 的 概 率 计 算数 为标 准 正 态 分 布 的 密 度 函 xex x2221分 布 函 数 为 xdtedttx x tx 2221 )(x 1、 分 布 函 数 x0 )(xx)(x 书 末 附 有 标 准 正 态 分 布 函 数 数 值 表 ， 有 了 它 ，2、 标 准 正 态 分 布 表 dtex x t 222

6、1)( 表 中 给 的 是 x 0时 , (x)的 值 .可 以 解 决 标 准 正 态 分 布 的 概 率 计 算 . )( xXP x0 )(xx)(x x0 )(x x-x xXxPxXP )()( xx 1)(2 x1 ( )x ( ) 1 ( )x x 221( ) 2 uxx e du 2211 2 ux e du 2212 ux e du 令 ,t u dt du 则 ( ) ( )xx t dt 如 果 0,x 由 公 式 得 2212 txe dt 例 1 0 11 2 1 2X NP X P X 设 随 变 ， ， 试 ： ； 机 量 求 1 2 2 1P X 0.9772

7、 0.8413 1359.0 1 2 2 1P X 112 0.9772 1 0.8413 0.8185解 14.1424.13 XPXP 24.13 XP 24.1 24.11 1075.08925.01 14.14 XP 114.12 7458.018729.02 由 标 准 正 态 分 布 的 查 表 计 算 可 以 求 得 ，这 说 明 ， X 的 取 值 几 乎 全 部 集 中 在 -3,3区 间 内 ，当 X N(0,1)时 ，3 准 则 6826.01121 XP 9544.01222 XP 9974.01323 XP超 出 这 个 范 围 的 可 能 性 仅 占 不 到 0.3

8、%. 三 、 一 般 正 态 分 布 的 密 度 函 数0 x)(xp作 正 态 (高 斯 ） 曲 线 .所 确 定 的 曲 线 叫 如 果 连 续 型 随 机 变 量 X的 密 度 函 数 为( )p x 2 ( , )X N 22( )21( ) ,2 xp x e x （ 其 中 , 0 为 参 数 ）则 随 机 变 量 X服 从 参 数 为 , 的 正 态 分 布 ， 记 为 一 般 正 态 分 布 密 度 函 数 的 图 形 性 质数对 于 正 态 分 布 的 密 度 函 对 称 ，曲 线 关 于 直 线 x xp (x)0 h h， 有这 表 明 ： 对 于 任 意 的 0h hX

9、PXhP 我 们 有 ：由 高 等 数 学 中 的 知 识 ， xexp x 2 2221 取 到 最 大 值时 ，当 xpx xp (x)0 h h 处 有 拐 点 ；在曲 线 xxpy 的 值 就 越 小 越 远 ，离 xpx 的 区 间 ，这 表 明 ， 对 于 同 样 长 度 越 远 时 ，当 区 间 离 21p 越 小 落 在 该 区 间 中 的 概 率 就随 机 变 量 X 轴 为 渐 近 线 以曲 线 Oxxpy (4) 称 为 位 置 参 数 。 轴 平 行 移 动 ，的 图 形 沿则 xxp 不 改 变 其 形 状 所 确 定 图 形 的 位 置 完 全 由 参 数因 此 x

10、py (5) 若 固 定 ， 而 改 变 的 值 ， 决 定 了 图 形 中 峰 的 陡 峭 程 度 .正 态 分 布 由 它 的 两 个 参 数 和 称 为 形 状 参 数 。 图 形 越 陡 ，越 小 时 ，可 知 ， 当 xpy 21p 的 最 大 值 为由 于 xp越 大 时 ，反 之 ， 当 落 在因 而 X附 近 的 概 率 越 大 ； 的 取 值 越 分 散 这 表 明 X 的 图 形xpy 越 平 坦 ， 当 和 不 同 时 ， 惟 一 确 定 ，是 不 同 的 正 态 分 布 .(6) 若 固 定 ， 而 改 变 的 值 ， ),( 2NX 时 的 6826.0)|(| XP

11、 9544.0)2|(| XP 9974.0)3|(| XP 3,3 可 以 认 为 ， X的 取 值 几 乎 全 部 集 中 在的 区 间 内 。 这 在 统 计 学 上 称 为 3 准 则 ” 3 准 则 0 x)(xp 设 ),( 2NX X 的 分 布 函 数 是 xdtexF x t ,21)( 2 22 )( 四 、 正 态 分 布 的 概 率 计 算 它 的 依 据 是 下 面 的 引 理 ：正 态 分 布 都 可 以 通 过 线 性 变 换 转 化 为 标 准 正 态 分 布 .就 可 以 解 决 一 般 正 态 分 布 的 概 率 计 算 问 题 .),( 2NX 1,0 N

12、XY 则 设引 理 任 何 一 个 一 般 的根 据 引 理 , 只 要 将 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 制 成 表 ，标 准 正 态 分 布 的 重 要 性 在 于 ， 一 般 正 态 分 布 的 计 算 函 数 是 标 准 正 态 分 布 的 分 布x 有故 对 任 意 的 ,ba )( xXPxF )( xxXP bXaP ),( 2NX设若 )()()( abbXaP 1,0 NX 1,0 NXY ab )( bYaP 2 91 5 2 6 0X NP X P X P X 设 随 变 ， ， 试 ； ； 机 量 求 ： 51 XP )321()3 25( 311 131

13、1 16293.08413.0 4706.0解 例 3 3253 2321 XP .32),3,2( 2 NX ； ； ， 试 求 ：，设 随 机 变 量 06251 92 XPXPXP NX 62162 XPXP 6261 XP 841 XP)3 24()3 28(1 221 212 2 1 0.9773 0.0455 例 3解 010 XPXP )3 20(1 321 7486.032 已 知 2 10,2 0.6808X N P X d 95.010 CXP 求 ., cd解 10 0.68082dP X d 10P X C 95.0122 c 975.02 c 92.396.12 cc

14、 例 4 10 0.472d 10.94.d 102 2X CP 例 5 某 地 区 18至 22岁 的 男 子 身 高 为 X ,从 该 地 区 1、 随 机 地 抽 查 一 青 年 男 子 的 身 高 ， 25.5,170 NX他 身 高 超 过 168cm 的 概 率 为 多 少 。2、 若 抽 查 10个 青 年 男 子 测 其 身 高 恰 有 k（ 0k 10)个人 的 身 高 高 于 168cm 的 概 率 为 多 少 ？解 1681168 XPXP 5.5 1701681 64.0364.0 1、2、 设 该 地 区 身 高 高 于 168cm 的 人 数 为 X . pnBX

15、, 64.010 pn .10,1,036.064.0 1010 kCkXP kkk 公 共 汽 车 车 门 的 高 度 是 按 男 子 与 车 门 顶 头 碰 头机 会 在 0.01以 下 来 设 计 的 .设 男 子 身 高 X N (170,62),问车 门 高 度 应 如 何 确 定 ? 解 : 设 车 门 高 度 为 h cm,按 设 计 要 求或 01.0hXP 99.0hXP因 为 X N(170,62), )1,0(6170 NX )6170( h 0.99 hXP (2.33)=0.99010.99 33.26170 h18498.13170 h 即 设 计 车 门 高 度

16、为 184厘 米 时 ，可 使 男 子 与 车 门 碰 头 机 会 不 超 过 0.01.故查 表 得 例 6 例 7 的 概 率 不 超 过 个 月 的 月 降 水 量 都起 连 续的 正 态 分 布 求 从 某 月 ）（ 单 位 ：，某 地 区 的 月 降 水 量 服 从cm cm50 10 440 2440 ，则： 该 地 区 的 月 降 水 量 设 ： NXX 50P X )4 4050( 解 5.2 9938.0 cmP 5010个 月 降 水 量 都 不 超 过连 续所 以 ， 109938.0 9396.0 一 种 电 子 元 件 的 使 用 寿 命 （ 小 时 ） 服 从 正态

17、 分 布 (100,152),某 仪 器 上 装 有 3个 这 种 元 件 ， 三个 元 件 损 坏 与 否 是 相 互 独 立 的 .求 ： 使 用 的 最 初 90小时 内 无 一 元 件 损 坏 的 概 率 .解 : 设 Y为 使 用 的 最 初 90小 时 内 损 坏 的 元 件 数 , 2514.0)67.0()1510090( 故 4195.0)1(0 3 pYP则其 中 pBY ,3 90 XPp 例 8 例 9 设 某 工 程 队 完 成 某 项 工 程 所 需 时 间 为 X (天 )近 似服 从 参 数 为 22 5,100 的 正 态 分 布 。 奖 金 办 法 规 定

18、：若 在 100天 内 完 成 ， 则 得 超 产 奖 10000元 ；若 在 100天 至 115天 内 完 成 ， 则 得 超 产 奖 1000元 ；若 完 成 时 间 超 过 115天 ， 则 罚 款 5000元 。求 该 工 程 队 在 完 成 这 项 工 程 时 ， 奖 金 额 Y的 分 布 列 。解 依 题 意 25,100 NX 10010000 1151001000 1155000 X XXY可 见 Y是 X的 函 数 ， 且 是 离 散 型 随 机 变 量 。 1155000 XPYP 51001151 0013.09987.0131 1151001000 XPYP 0510

19、0115 4987.0 10010000 XPYP 5.00 则 Y 的 分 布 列 5.04987.00013.0 1000010005000 kpY 25,100 NX 作 业P142 16 17 18 19 20 正 态 分 布在 处 理 实 际 问 题 时 常 常 遇 到 这 样 一 种 随 机 变 量 ，对 它 进 行 大 量 重 复 的 观 察 ， 得 到 一 组 数 据 。 这 组 数 据虽 然 有 波 动 ， 但 总 是 以 某 个 常 数 为 中 心 。 偏 离 中 心偏 离 中 心 越 远 的 数 据 越 少 。 取 值 呈且 取 值 具 有 对 称 性 。如 ： 人 体 身 高 、 智 力 、 学 习 成 绩 、 电 器 寿 命 等 。产 生 这 种 现 象 的 原 因 是 受 多 因 素 的 影 响 ， 而 每 一 种 因素 在 正 常 情 况 下 都 是 相 互 独 立 的 ， 且 它 们 的 影 响 是 均 匀的 、 微 小 的 。 所 以 人 体 身 高 、 智 力 、 成 绩 、 寿 命 为 随 机变 量 是 一 个 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 。 这 种 随 机 变 量 的密 度 曲 线 是 单 峰 的 ， 且 有 左 右 对 称 的 形 状 。越 近 的 数 据 越 多 ；“中 间 大 、 两 头 小 ” 的 格 局 ，