标准差的意义

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1、 实 际 问 题 ： 有 两 位 射 击 运 动 员 在 一 次 射 击 测 试 中 各 射 靶10次 ， 每 次 命 中 的 环 数 如 下 ：甲 ： 乙 ： 如 果 你 是 教 练 ,你 应 当 如 何 对 这 次 射 击 作 出 评 价 ?如 果 是 一次 选 拔 考 核 ， 你 应 该 如 何 做 选 择 ？计 算 可 得 77 乙甲 x，x两 人 射 击 的 平 均 成 绩 是 一 样 的 .那 么 两 个 人 的 水 平 就 没有 什 么 差 异 吗 ? 4 5 6 7 8 9 10 环 数频 率0.10.20.3 (甲 )4 5 6 7 8 9 100.10.20.30.4 环

2、数频 率 (乙 ) 甲 成 绩 比 较分 散 ,乙 成绩 相 对 集 中看 来 ， 平 均 数 还 难 以概 括 样 本 的 实 际 状 态 ，因 此 ,我 们 还 需 要 从 另 外 的角 度 来 考 察 这 两 组 数 据 . 思 考 ： 什 么 样 的 指 标 可 以 反 映 一 组 数 据 变 化 范 围 的 大 小 ？ 我 们 可 以 用 一 组 数 据 中 的 最 大 值 减 去 最小 值 所 得 的 差 来 反 映 这 组 数 据 的 变 化 范 围 。用 这 种 方 法 得 到 的 差 称 为 极 差 极 差 最 大 值 最 小 值 在 生 活 中 ， 我 们 常 常 会 和

3、极 差 打 交道 班 级 里 个 子 最 高 的 学 生 比 个 子 最 矮 的 学生 高 多 少 ？ 家 庭 中 年 纪 最 大 的 长 辈 比 年 纪 最小 的 孩 子 大 多 少 ？ 这 些 都 是 求 极 差 的 例 子 例 1.（ 口 答 ） 求 下 列 各 题 的 极 差 。（ 1） 某 班 个 子 最 高 的 学 生 身 高 为 1.70米 ， 个子 最 矮 的 学 生 的 身 高 为 1.38米 ， 求 该 班 所 有学 生 身 高 的 极 差 。（ 2） 小 明 家 中 ， 年 纪 最 大 的 长 辈 的 年 龄 是 78岁 ， 年 纪 最 小 的 孩 子 的 年 龄 是 9

4、岁 ， 求 小 明 家中 所 有 成 员 年 龄 的 极 差 。 甲 的 环 数 极 差 =10-4=6乙 的 环 数 极 差 =9-5=4. 极 差 对 极 端 值 非 常 敏 感 ， 在 一 定 程 度 上 表明 样 本 数 据 的 的 波 动 情 况 但 极 差 只 能 反 映 一组 数 据 中 两 个 极 端 值 之 间 的 差 异 情 况 ， 对 其 他数 据 的 波 动 情 况 不 敏 感 ， 到 底 是 A组 还 是 B组 数据 更 加 稳 定 呢 ？ 有 必 要 重 新 找 一 个 对 整 组 数 据波 动 情 况 更 敏 感 的 指 标 考 察 样 本 数 据 的 分 散 程

5、 度 的 大 小 ， 最常 用 的 统 计 量 是 标 准 差 是 样 本 平 均 数 的 一 种 平 均 距 离 ，一 般 用 s表 示 所 谓 “ 平 均 距 离 ” ， 其 含 义 可 作 如 下 理 解 ： ).,2,1( nixx i x。 xx xxx in 的 距 离 是到表 示 这 组 数 据 的 平 均 数假 设 样 本 数 据 是 ,., 21 于 是 样 本 数 据 x1， x2， xn， 到 x的 平 均距 离 是 1 2| | | | | |nx x x x x xs n 平 均 距 离 标 准 差 由 于 上 式 含 有 绝 对 值 ， 运 算 不 太 方 便 ，因

6、 此 ， 通 常 改 用 如 下 公 式 来 计 算 标 准 差 2 2 21 2( ) ( ) ( )nx x x x x xs n 考 虑 一 个 容 量 为 2的 样 本 : .2,2, 121221 xxaxxxx 记其 样 本 的 标 准 差 为标 准 差 的 几 何 意 义 2 21 xx 1x 2xa 标 准 差 用 来 衡 量 一 批 数 据 的 波 动 大 小 (即这 批 数 据 偏 离 平 均 数 的 大 小 ). 标 准 差 的 取 值 范 围 是 什 么 ?标 准 差 为 0的 样 本数 据 有 什 么 特 点 ?标 准 差 是 怎 样 表 现 数 据 的 离散 程 度

7、 的 ?标 准 差 的 取 值 范 围 : 0,+)标 准 差 为 0的 样 本 数 据 都 等 于 样 本 平 均 数 .标 准 差 表 现 为 ： 标 准 差 越 大 ， 表 明 数 据 的 离 散 程度 就 越 大 ； 反 之 ， 标 准 差 越 小 ， 表 明 各 数 据 的 离散 程 度 就 越 小 。它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。标 准 差 的 作 用 : 例 题 分 析例 1 画 出 下 列 四 组 样 本 数 据 的 条 形 图 ，说 明 他 们 的 异 同 点 .(1) 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5；(2) 4， 4

8、， 4， 5， 5， 5， 6， 6， 6； O 频 率1.00.80.60.40.2 1 2 3 4 5 6 7 8 （ 1） 50 xs = O频 率1.00.80.60.40.2 1 2 3 4 5 6 7 8 （ 2） 50.82xs = (3) 3， 3， 4， 4， 5， 6， 6， 7， 7；(4) 2， 2， 2， 2， 5， 8， 8， 8， 8.频 率1.00.80.60.40.2 1 2 3 4 5 6 7 8 O （ 3） 51.49xs = 1.00.80.60.40.2 （ 4）频 率1 2 3 4 5 6 7 8 O 52.83xs = 对 于 城 市 居 民 月

9、 均 用 水 量 样 本 数 据 ， 其 平 均 数 =1.973 ， 标 准 差 s=0.868.在 这 100个 数 据 中 ，落 在 区 间 （ -s， +s） =1.105， 2.841外 的 有 28个 ；落 在 区 间 （ -2s， +2s） =0.237,3.709外 的 只 有 4个 ；落 在 区 间 （ -3s， +3s） =-0.631， 4.577外 的 有 0个 .xx xxx x x一 般 地 ,对 于 一 个 正 态 总 体 ( , ),数 据 落 在 区 间( )、 ( )、 ( )内的 百 分 比 分 别 为 68.3%、 95.4%、 99.7%， 这 个 原

10、 理在 产 品 质 量 控 制 中 有 着 广 泛 的 应 用 （ 参 考 教 材P79“ 阅 读 与 思 考 ” ） . 2, 2 , 2 3 , 3 .)()()(1 222212 xxxxxxns n 从 数 学 的 角 度 考 虑 ， 人 们 有 时 用 标 准 差的 平 方 s2_-方 差 来 代 替 标 准 作 为 测 量 样 本数 据 分 散 程 度 的 工 具 。 如 果 数 据 的 平 均 数 为 ， 方 差 为 ，那 么 nxxx ,2,1 x 2s,)(1)1( 2222212 xxxxns n ，的 方 差 仍 为，数 据 221)2( saxaxax n .)3( 2

11、221 skkxkxkx n的 方 差 为，数 据 （ 09 重 庆 高 考 ） 从 一 堆 苹 果 中 任 取 5只 ， 称 得 它 们 的质 量 如 下 （ 单 位 ： 克 ） 125， 124， 121， 123， 127则 该 样 本 标 准 差 s （ 克 ）（ 用 数 字 作 答 ） 【 解 析 】 样 本 平 均 数 1 (125 124 121 123 127) 1245x 则 样 本 方 差 2 2 2 2 2 21 (1 3 1 3 ) 4,5s O 所 以 2s 40164040164427441627乙 42213919142237404125甲乙甲问 :(1)哪 一

12、种 玉 米 长 得 高 ？(2)哪 种 玉 米 的 苗 长 得 齐 ？X 甲甲 =30, S2甲甲 =104.2 X乙 =31, S2乙 =128.8答 ： 乙 种 玉 米 的 苗 长 的 高 ， 甲 种 玉 米 的 苗 长 的答 ： 乙 种 玉 米 的 苗 长 的 高 ， 甲 种 玉 米 的 苗 长 的整 齐 整 齐 X甲 S2乙甲甲 甲甲 乙 乙答 ： 乙 种 玉 米 的 苗 长 的 高 ， 甲 种 玉 米 的 苗 长 的答 ： 乙 种 玉 米 的 苗 长 的 高 ， 甲 种 玉 米 的 苗 长 的整 齐 整 齐 甲 乙 ， 甲甲 乙 小 结1.用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总

13、体 的 数 字 特 征 ， 是 指 用 样 本 的众 数 、 中 位 数 、 平 均 数 和 标 准 差 等 统 计 数 据 ， 估 计 总 体 相应 的 统 计 数 据 .2.平 均 数 对 数 据 有 “ 取 齐 ” 的 作 用 ， 代 表 一 组 数 据 的 平 均水 平 .标 准 差 描 述 一 组 数 据 围 绕 平 均 数 波 动 的 幅 度 .在 实 际应 用 中 ， 我 们 常 综 合 样 本 的 多 个 统 计 数 据 ， 对 总 体 进 行 估计 ， 为 解 决 问 题 作 出 决 策 . 3.对 同 一 个 总 体 ， 可 以 抽 取 不 同 的 样 本 ， 相 应 的

14、平均 数 与 标 准 差 都 会 发 生 改 变 .如 果 样 本 的 代 表 性 差 ，则 对 总 体 所 作 的 估 计 就 会 产 生 偏 差 ； 如 果 样 本 没 有代 表 性 ， 则 对 总 体 作 出 错 误 估 计 的 可 能 性 就 非 常 大 ，由 此 可 见 抽 样 方 法 的 重 要 性 . 4.在 抽 样 过 程 中 ， 抽 取 的 样 本 是 具 有 随 机 性 的 ， 如从 一 个 包 含 6个 个 体 的 总 体 中 抽 取 一 个 容 量 为 3的 样本 就 有 20中 可 能 抽 样 ， 因 此 样 本 的 数 字 特 征 也 有 随机 性 .用 样 本 的

15、 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征 ， 是一 种 统 计 思 想 ， 没 有 惟 一 答 案 . 练 习 ：（ 1） 如 果 数 据 的 平 均 数 为 ， 方 差为 ， 中 位 数 为 a， 求 数 据 3x1+5， 3x2+5， ，3xn+5的 平 均 数 、 标 准 差 、 方 差 、 中 位 数 。nxxx ,2,1 x2s（ 2） 求 数 据 2， 1， 0， -1， 1的 方 差 。（ 3） 已 知 40个 数 据 中 的 前 20个 数 据 的 平 均 数 和 方差 分 别 为 60、 20， 后 20个 数 据 的 平 均 数 和 方 差 分 别为 80、 40， 求 这 40个 数 据 的 平 均 数 和 方 差 。