数列的概念及简单表示法

《数列的概念及简单表示法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列的概念及简单表示法（30页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1.按 叫 数 列 ， 数 列 中 的 都 叫 做 个 数 的 项 ； 在 函 数 意 义 下 ,数 列 是 . , f(n)是 当 自 变 量 n从 1开 始 依 次 取 自 然 数 时 所 对 应 的 f(1)， f(2)， ， f(n) .通 常用 an代 替 f(n)， 故 数 列 的 一 般 形 式 为 : , 简 记 为 an,其 中 an是 数 列 的 第 项 . 3.1 数 列 的 概 念 及 简 单 表 示 法要 点 梳 理 每 一 个 数定 义 域 为 N*（ 或 它 的有 限 子 集 ） 的 函 数一 列 函 数 值 a1,a2,a3, ,ann第 三 章 数 列一 定

2、次 序 排 成 的 一 列 数 2.如 果 数 列 an的 第 n项 an与 n之 间 的 关 系 可 以 用 一 个 公 式 an=f(n)来 表 示 ， 那 么 an=f(n)叫 做 数 列 的 .但 并非 每 个 数 列 都 有 通 项 公 式 ， 也 并 非 都 是 唯 一 的 .3.如 已 知 数 列 an的 第 项 (或 )， 且 与 它 的 (或 )间 的 关 系 可 以 用 一 个 公 式 表 示 ， 此 公 式 叫 数 列 的 递 推 公 式 .数 列 常 用 表 示 法 有 : . 、 、 .4.数 列 按 项 数 来 分 ,分 为 、 ； 按 项 的 增 减 规 律 分

3、为 、 、 和 .通 项 公 式1 前 几 项 任 一 项 an前 一 项 an-1 前 几 项 解 析 法通 项 公 式 或 递 推 公 式 ) 列 表 法 图 象 法有 穷 数 列 无 穷 数 列递 增 数 列 递 减 数 列 摆 动 数 列 常 数 列 递 增 数 列 an+1 an； ； 递 减 数 列 an+1 an； 常 数 列 an+1 an. 递 增 数 列 与 递 减 数 列 通 称 为 . 按 任 何 一 项 的 绝 对 值 是 否 都 小 于 某 一 正 数 来 分 ,可 分 为 . 和 .5.已 知 Sn则 .数 列 an 中 ， 若 an最 大 ， 则 若 a n最

4、小 ， 则 =单 调 数 列 有 界数 列 无 界 数 列 na nnaa nnaa ， n=1n 2 . . . , . an-1an+1an-1an+1 S1Sn-Sn-1 1.下 列 对 数 列 的 理 解 有 四 种 ： 数 列 可 以 看 成 一 个 定 义 在 N*(或 它 的 有 限 子 集 1， 2， 3， ， n） 上 的 函 数 ； 数 列 的 项 数 是 有 限 的 ； 数 列 若 用 图 象 表 示 ， 从 图 象 上 看 都 是 一 群 孤 立 的 点 ； 数 列 的 通 项 公 式 是 惟 一 的 . 其 中 说 法 正 确 的 序 号 是 （ ） A. B. C.

5、 D. 解 析 由 数 列 与 函 数 的 关 系 知 对 ， 对 ， 由 数 列 的 分 类 知 不 对 ， 数 列 的 通 项 公 式 不 是 惟 一 的 ， 不 对 .基 础 自 测 C 2.设 an=-n2+10n+11， 则 数 列 an从 首 项 到 第 几 项 的 和 最 大 （ ） A.10 B.11 C.10或 11 D.12 解 析 a n=-n2+10n+11是 关 于 n的 二 次 函 数 ， 它 是 抛 物 线 f(x)=-x2+10 x+11上 的 一 些 离 散 的 点 ， 从 图 象 可 看 出 前 10项 都 是 正 数 ， 第 11项 是 0， 所 以 前

6、10项 或 前 11项 的 和 最 大 .C 3.已 知 数 列 an的 通 项 公 式 是 那 么 这 个 数 列 是 （ ） A.递 增 数 列 B.递 减 数 列 C.摆 动 数 列 D.常 数 列 解 析 a n+1an,数 列 an为 递 增 数 列 . ,32 1 nnna 1321)1(3 )1(2 1 nnnnaa nn ,0)13(1)1(3 2 nn A 4.已 知 数 列 an的 通 项 公 式 是 则 a2 a3等 于 （ ） A.70 B.28 C.20 D.8 解 析 易 知 a2=2,a3=10.5.(2008 北 京 理 ， 6） 已 知 数 列 an对 任 意

7、 的 p,q N*满 足 ap+q=ap+aq且 a2=-6,那 么 a10等 于 （ ） A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 解 析 由 a p+q=ap+aq,a2=-6,得 a4=a2+a2=-12,同 理 a8=a4+a4=- 24,所 以 a10=a8+a2=-24-6=-30. 22 13nnan n为 奇 数 ，n为 偶 数 ，CC 写 出 下 面 各 数 列 的 一 个 通 项 公 式 ： （ 1） 3， 5， 7， 9 ； （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 3， 33， 333， 3 333， ；【 思 维 启 迪 】 先 观 察 各 项 的 特 点 ，

8、然 后 归 纳 出 其 通 项 公 式 ，要 注 意 项 与 项 数 的 关 系 及 项 与 前 后 项 的 关 系 .题 型 一 由 数 列 前 几 项 求 数 列 的 通 项 公 式;,3231,1615,87,43,21 ;,63,51,43,31,23,1 ； ,1337,1126,917,710,1,32 （ 2） 每 一 项 的 分 子 比 分 母 少 不 1,而 分 母 组 成 数 列 21， 22， 23，24， ； 所 以(3)奇 数 项 为 负 ,偶 数 项 为 正 ， 故 通 项 公 式 中 含 因 子 （ -1)n；各 项 绝 对 值 的 的 分 母 组 成 数 列 1

9、， 2， 3， 4， ;而 各 项 绝 对 值的 分 子 组 成 的 数 列 中 ， 奇 数 项 为 1， 偶 数 项 为 3， 即 奇 数 项 为2-1， 偶 数 项 为 2+1，所 以也 可 以 为 .2 12 nnna .)1(2)1( na nnn n na n 3 1 （ n为 正 奇 数 ）（ n为 正 偶 数 ） (4)偶 数 项 为 负 ,奇 数 项 为 正 ， 故 通 项 公 式 必 含 因 子 （ -1） n+1,观 察 各 项 绝 对 值 组 成 的 数 列 ， 从 第 3项 到 第 6项 可 见 ,分 母 分 别由 奇 数 7,9,11,13组 成 ,而 分 子 则 是

10、 32+1,42+1,52+1,62+1,按 照这 样 的 规 律 第 1,2两 项 可 改 写 为 所 以（ 5） 将 数 列 各 项 改 写 为 分 母 都 是 3， 分 子分 别 是 10-1,10 2-1,103-1,104-1,所 以 ， 122 1212 11 22 ,39999,3999,399,39 ).110(31 nna .12 1)1( 21 nna nn 探 究 拓 展 （ 1） 根 据 数 列 的 前 几 项 求 它 的 一 个 通 项 公 式 ， 要注 意 观 察 每 一 项 的 特 点 ， 可 使 用 添 项 、 还 原 、 分 割 等 办 法 ，转 化 成 一

11、些 常 见 数 列 的 通 项 公 式 来 求 。（ 2） 根 据 数 列 的 前 几 项 写 出 数 列 的 一 个 通 项 式 是 不 完 全 归 纳法 ， 它 蕴 含 着 “ 从 特 殊 到 一 般 ” 的 思 想 ， 由 不 完 全 归 纳 得 出的 结 果 是 不 可 靠 的 ， 要 注 意 代 值 检 验 ， 对 于 正 负 符 号 变 化 ，可 用 （ -1） n或 （ -1） n+1来 调 整 .（ 3） 观 察 、 分 析 问 题 的 特 点 是 最 重 要 的 ， 观 察 要 有 目 有 ， 观察 出 项 与 项 数 之 间 的 关 系 、 规 律 ， 利 用 我 们 熟

12、知 的 一 些 基 本数 列 （ 如 自 然 数 列 、 奇 偶 数 列 等 ） 建 立 合 理 的 联 想 转 换 而 使问 题 得 到 解 决 。 已 知 数 列 的 通 项 公 式 为 （ 1） 0.98是 不 是 它 的 项 ？ （ 2） 判 断 此 数 列 的 增 减 性 . 【 思 维 启 迪 】 （ 1） 令 an=0.98,看 能 否 求 出 正 整 数 n; (2)判 断 an+1-an的 正 负 . 解 （ 1） 假 设 0.98是 它 的 项 ， 则 存 在 正 整 数 n,满 足 n 2=0.98n2+0.98. n=7时 成 立 ， 0.98是 它 的 项 . 题 型

13、 二 已 知 通 项 公 式 ， 判 断 数 列 性 质.12 2 nnan ,98.012 2 nn （ 2） 此 数 列 为 递 增 数 列 .探 究 拓 展 （ 1） 看 某 数 k是 否 为 数 列 中 的 项 ， 就 是 看 关 于 n的方 程 a n=k是 否 有 正 整 数 解 .（ 2） 判 断 数 列 的 单 调 性 就 是 比 较 an与 an+1的 大 小 . 11)1( )1( 2 22 21 nnnnaa nn .0)1()1( 12 22 nn n （ 12分 ） 已 知 数 列 an的 前 n项 和 Sn满 足 an+2SnSn-1 =0 (n 2), 求 an.

14、 【 思 维 启 迪 】 由 已 知 条 件 可 将 an=Sn-Sn-1 （ n 2)代 入 等 式 ， 得 关 于 Sn与 Sn-1的 一 个 等 式 ， 经 变 形 推 得 数 列 具 有 等 差 数 列 的 特 征 ， 进 而 求 得 Sn， 再 得 an. 解 当 n 2时 ， an=Sn-Sn-1, S n-Sn-1+2SnSn-1=0， 即 题 型 三 由 an与 Sn的 关 系 求 an或 Sn,211 a nS1,211 1 nn SS 数 列 是 公 差 为 2的 等 差 数 列 . 6分又 当 n 2时 ， 12分 nS1 ,2111 aS ,211 S ,22)1(21

15、 nnSn .21nSn )1(2 12122 1 nnSSa nnn,)1(2 1 nn )1(2 121 nn n=1n 2 . 探 究 拓 展 数 列 的 通 项 an与 前 n项 和 Sn的 关 系 是 ， 此 公 式 经 常 使 用 ， 应 引 起 足 够 的 重视 .已 知 an求 Sn时 方 法 千 差 万 别 ， 但 已 知 Sn求 an时 方 法 却 是 高度 统 一 ， 当 n 2时 求 出 an也 适 合 n=1时 的 情 形 ， 可 直 接 写 成a n=Sn=Sn-1,否 则 分 段 表 示 . 11 nnn SS Sa n=1n 2 方 法 与 技 巧1.求 数 列

16、 通 项 或 指 定 项 .通 常 用 观 察 法 （ 对 于 交 错 数 列 一 般 用 （ -1） n来 区 分 奇 偶 项 的 符 号 ） ； 已 知 数 列 中 的 递 推 关 系 ， 一 般 只 要 求 写 出 数 列 的 前 几 项 ， 若 求 通 项 可 用 归 纳 、 猜 想 和 转 化 的 方 法 .2. . 3.已 知 递 推 关 系 求 通 项 ： 这 类 问 题 的 要 求 不 高 ， 但 试 题 难 度 较 难 把 握 .一 般 有 三 种 常 见 思 路 ： (1)算 出 前 几 项 ， 再 归 纳 、 猜 想 ； 11 nnn SSSa （ n=1）（ n 2）

17、(2)“ an+1=pan+q” 这 种 形 式 通 常 转 化 为 an+1+ =p(an+ )由 待 定 系 数 法 求 出 ， 再 化 为 等 比 数 列 ； （ 3） 逐 差 累 加 或 累 乘 法 .4.创 新 内 容 ： 体 现 新 情 境 ， 体 现 与 其 它 知 识 的 交 汇 .失 误 与 防 范 1.数 列 是 一 种 特 殊 的 函 数 ， 即 数 列 是 一 个 定 义 在 非 零 自 然 数 集 或 其 子 集 上 的 函 数 ， 当 自 变 量 依 次 从 小 到 大 取 值 时 所 对 应 的 一 列 函 数 值 ， 就 是 数 列 .因 此 ， 在 研 究 函

18、 数 问 题 时 既 要 注 意 函 数 方 法 的 普 遍 性 ， 又 要 考 虑 数 列 方 法 的 特 殊 性 .2.根 据 所 给 数 列 的 前 几 项 求 其 通 项 时 ， 需 仔 细 观 察 分 析 ， 抓 住 其 几 方 面 的 特 征 ： 分 式 中 分 子 、 分 母 的 各 自 特 征 ； 相 邻 项 的 联 系 特 征 ； 拆 项 后 的 各 部 分 特 征 ； 符 号 特 征 ， 应 多 进 行 对 比 、 分 析 ， 从 整 体 到 局 部 多 角 度 观 察 、 归 纳 、 联 想 . 1.根 据 下 面 各 数 列 前 几 项 的 值 ， 写 出 数 列 的

19、一 个 通 项 公 式 ： （ 1） （ 2） （ 3） 5， 55， 555， 5 555， 55 555， （ 4） 5， 0， -5， 0。 5， 0， -5， 0， （ 5） 1， 3， 7， 15， 31， 解 析 （ 1） 这 是 一 个 分 数 数 列 ， 其 分 子 构 成 偶 数 数 列 ， 而 分 母 可 分 角 成 1 3,3 5,5 7,7 9,9 11， ， 每 一 项 都 是 两 个 相 邻 奇 数 的 乘 积 ， 经 过 组 合 ， 则 所 求 数 列 的 通 项 公 式,9910,638,356,154,32 ,225,8,29,2,21 （ 2） 数 列 的

20、项 ， 有 的 是 分 数 ， 有 的 是 整 数 ， 可 将 数 列 的 各 项 都 统 一 成 分 数 再 观 察 ：可 得 通 项 公 式（ 3） 联 想则 .)12)(12( 2 nn nan ，,225,216,29,24,21.22nan ,110999 nn个 ),110(95)999(95555 nnnna 个个 即(4)数 列 的 各 项 都 具 有 周 期 性 ,联 想 其 本 教 列 1,0,-1,0， ，则（ 5） 1=2-1， 3=22-1， 7=23-1， a n=2n-1故 所 求 数 列 的 通 项 公 式 为 an=2n-1.2sin95 nan ).110(

21、95 nna 2.已 知 函 数 f（ x） =2x-2-x， 数 列 an满 足 f（ log2an） =-2n （ 1） 求 数 列 an的 通 项 公 式 ； （ 2） 求 证 ： 数 列 an是 递 减 数 列 . （ 1） 解 f（ x） =2x-2-x， f（ log2an） =2log2an-2-log2an=-2 即 ,21 naa nn ,2 442 2 nnan .12 nnan .0122 nn ana （ 2） 证 明 an0， a n+10， an-an-1=2， 当 n=1时 ， a1=1, an是 以 1为 首 项 ， 2为 公 差 的 等 差 数 列 . an=

22、2n-1 (n N*). ,12 nn aS),12(41,12 2 nnnnn aaSaS ),12(41 12 11 nnn aaS ,)(2)(41 12 12 nnnn aaaa 1.A 2.A3.数 列 的 一 个 通 项 公 式 an是 ( ) A. B. C. D. 解 析 将 数 列 中 的 各 项 变 为 故 其 通 项 ,924,715,58,1 12)1( 2 nnn 1 )2()1( nnnn)1(2 1)2()1( 2 nnn 12 )2()1( nnnn ,5 42,331 ， ,9 64,753 .12 )1()1( nnna nn D 4.D 5.B6.若 数

23、列 an的 通 项 公 式 记 f（ n） =2(1-a1)(1- a2) (1-an)， 试 通 过 计 算 f(1),f(2),f(3)的 值 ， 推 测 出f(n) 为 （ ） A. B. C. D. 解 析 可 猜 测 2)1( 1 nan13nn 12nn 23nn,11 2123)1(2)1( 1 af ,12 2234)911)(411(2)2( f ,13 2345)1611)(911)(411(2 .12)( nnnfnn 1 )1)(1)(1(2)3( 321 aaaf C 7.8.（ 2009 武 汉 武 昌 区 调 研 测 试 ） 数 列 an 中 ， a3=2,a7=

24、1 数 列 是 等 差 数 列 ， 则 a11 .9.已 知 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， 满 足 log2(1+Sn)=n+1,求 数 列 的 通 项 公 式 . 解 Sn满 足 log2(1+Sn)=n+1, 1+Sn=2n+1 S n=2n+1-1. a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n 2), an的 通 项 公 式 为 54 11na 21 nna 23 n=1,n 1, 10.已 知 数 列 an中 ， a1=1,前 n项 和 为 Sn， 对 任 意 的 n 2,3Sn- 4,an, 总 成 等 差 数 列 . （ 1） 求 a2、

25、 a3、 a4的 值 ； （ 2） 求 通 项 公 式 an. 解 （ 1） 当 n 2时 ， 3Sn-4,an, 成 等 差 数 列 ， an=3Sn-4 （ n 2） . 由 a 1=1,得 a2=3(1+a2)-4,232 1 nS ,232432 1 nnn SSa ,212 a.41,4)211(3 333 aaa 232 1 nS.81,4)43211(3 444 aaa （ 2） 当 n 2时 ， an=3Sn-4, 3Sn=an+4, 可 得 :3an+1=an+1-an, a2， a3， ， an成 等 比 数 列 ， .81,41,21 432 aaa ,43 43 11 nn nn aS aS ,211 nnaa ,)21()21(21 1222 nnnn qaa 1)21(1 nna (n=1),（ n 2） 11.（ 1） 证 明 a n+3=an. (2)12.(1)f(x)=x2-4x+4. (2) 1 123 1 1111 nann aa nnn aaa 11 11 111 11 11 111 111 11 n nnnn a aaaa .)1(111 11 nna aan .210082 a 521na n (n=1)（ n 2） .