逆矩阵重点和习题课件.ppt

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1、定 理 ： 行 列 式 某 一 行 （ 或 列 ） 的 每 一 元 素 与 另 一 行（ 或 列 ） 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 为 零 。02211 ntnjtjtj AaAaAa tj02211 sninsisi AaAaAa si即 : snss inii aaa aaaD 21 21 inii inii aaa aaa 21 21 0 2 逆 矩 阵一 、 准 备 知 识 siD siAaAaAa sninsisi 02211 结 合 行 列 式 的 展 开 定 理 ， 有 ： ntnjtjtj AaAaAa 2211 tjD tj 0 引 例 ： 若 ， 求 矩

2、阵 X， 使 ： AX=E2 31 21A解 ： 设 43 21 xx xxXAX 43 2131 21 xx xx 10 01 4231 4231 33 22 xxxx xxxx解 线 性 方 程 组 容 易 得 到 ： x1=3, x2= 2 ,x3= 1, x4=1.问 题 ： 对 于 矩 阵 A， 是 否 存 在 一 个 矩 阵 A 1， 使 得 ：EAAAA 11比 较 矩 阵 方 程 AX=B与 数 的 方 程 ax=b. 11 23 二 、 逆 矩 阵 的 概 念 1.定 义 ： 对 于 n阶 方 阵 A， 如 果 存 在 一 个 n阶 方 阵 B， 使 AB=BA=E， 则 称

3、 A为 可 逆 矩 阵 （ 简 称 可 逆 ） ， 并 称 B为A的 逆 矩 阵 。例 ： 对 于 ， 11 23,31 21 BA 否 则 称 A是 不 可 逆 的 。 AB=E=BA.故 A是 可 逆 的 ， 并 且 B为 A的 逆 矩 阵 。A的 逆 矩 阵 记 为 ： A 1， 即 ： A A 1= A 1 A=E2.问 题 ： (1)怎 么 样 的 方 阵 才 可 逆 ？(2)若 A可 逆 ， 逆 阵 有 多 少 个 ？(3)若 A可 逆 ， 怎 样 去 求 它 的 逆 阵 A 1？ 分 析 ：设 B和 C都 是 A的 逆 矩 阵 , 则 ：AB=BA=E , AC=CA=E,B=B

4、E=B (AC)= (BA) C=EC=C需 证 明 B=C（ 证 明 唯 一 性 常 用 同 一 法 ）又注 ： 适 当 乘 上 单 位 阵 E， 并 将 E表 示 成 一 个 矩 阵 与 其逆 阵 乘 积 的 形 式 ， 是 一 种 常 用 的 技 巧 。 单 位 阵 技 巧3.定 理 ： 若 A可 逆 ， 则 A的 逆 阵 唯 一 。三 、 逆 阵 存 在 的 充 分 必 要 条 件1.定 理 ： 若 A可 逆 ， 则 . 0| A注 ： 如 果 ， 则 称 A是 非 奇 异 的 ， 否 则 称 A是 奇 异 的 。 0| A ijA2.伴 随 矩 阵 ： 设 An=（ aij） ， 令

5、 Aij是 A的 行 列 式 |A|中 元素 aij的 代 数 余 子 式 ， 将 这 n2个 数 排 成 如 下 n阶 方 阵 : nnnn nnaAA AAA AAAA 21 22212 12111* （ 注 意 中 Aij 的 排 列 ）*A称 之 为 A的 伴 随 矩 阵 。例 ： 求 的 伴 随 矩 阵 。 343 122 321A 34 1211 A 33 1212 A同 理 可 得 ： ,2,6,6,2 23222113 AAAA ,2,5,4 333231 AAA解 ： ,2 ,3 A所 以 ： 2 32 6 62 45 2 0| A *1 |1 AAA 3.定 理 ： 设 A

6、为 n阶 方 阵 ， 若 ， 则 A可 逆 ， 且 ： 111 一 行 元 素 与 另 一 行 元 素对 应 代 数 余 子 式 乘 之 和 |1A nnnn nnnnnn nn AAA AAA AAAaaa aaa aaaA 21 22212 1211121 22221 11211|1 |A| 0 00 |A| 0 |A|0 0一 行 元 素 与 对 应 代数 余 子 式 乘 之 和 同 理 ： EAAA )|1( E)|1( AAA )(|1 AAA证 明 ： 例 ： 求 的 逆 矩 阵 。 343 122 321A解 ： 343 122 321A 2 0A 1存 在 ， ,222 563

7、 462 A 故 AAA 11 .111 25323 231 注 :求 逆 阵 需 注 意 :1.Aij的 符 号 (-1)i+j;2. 中 Aij的 排 列 。*A 4.定 理 ： 方 阵 A可 逆 0| A推 论 ： 若 A、 B都 是 n阶 矩 阵 ， 且 AB=E， 则 BA=E， 即A、 B皆 可 逆 , 且 A、 B互 为 逆 矩 阵 。证 明 ： 因 为 AB=E， 所 以 |A|B|=1， |A|0, |B|0,故 A、 B皆 可 逆 。BA=EBA=(A 1A)BA=A 1(AB)A=A 1EA=A 1A=E注 ： 1.判 断 B是 否 为 A的 逆 , 只 需 验 证 AB

8、=E或 BA=E的一 个 等 式 成 立 即 可 。2.逆 矩 阵 是 相 互 的 。 即 ： 若 A 1=B， 则 B 1=A.（ 课 本 54页 推 论 1） 练 习 ： 1.求 的 逆 矩 阵 。 121 011 322A答 案 ： 1. 461 351 3411A （ 其 中 |A|= 1）2.设 A、 B都 是 n阶 方 阵 ， B可 逆 ， 且 A2+AB+B2=O，证 明 ： A和 A+B均 可 逆 。2.提 示 ： 只 需 证 明 0,0 BAA把 A2+AB+B2=O改 写 为 A(A+B)= B2 1)(A思 考 ： AA|1 四 、 逆 阵 的 性 质1.若 A可 逆 ，

9、 则 A 1也 可 逆 ， 且 (A 1) 1=A.2.若 A可 逆 ， 数 ， 则 kA也 可 逆 ， 且 ：0k 11 1)( AkkA3.若 A可 逆 ， 则 AT也 可 逆 ， 且 (AT)-1= (A -1)T.4.若 A、 B为 同 阶 可 逆 方 阵 ， 则 其 积 AB也 可 逆 ， 且 : (AB)-1= B-1A-1推 广 ： 11121121 )( AAAAAA kk 5.若 A可 逆 ， |A 1|=|A| 1 ， (AB)-1 A-1B-1注 ： 一 般 的 ， (kA)-1 kA-1 例 ： 设 求 矩 阵 X，使 AX=B. ,121 011 322 A ,23

10、12 21 B0A分 析 ： 法 一 ： 待 定 系 数 法若法 二 ： ， 则 A可 逆 ， 由 AX=B可 得 ：X=A 1B 461 351 341 23 12 21 1623 1318 1216注 ： 若 YA=B， 则 Y=BA 1. 例 ： 矩 阵 A、 B满 足 AB=2A+B， 求 A， 其 中 ： 321 011 324B分 析 ： AB=2A+B AB 2A=B A(B 2E)=B若 |B 2E|0 ， 则 A=B (B 2E) 1容 易 错 为 A(B 2)=BA=B (B 2E) 1 321 011 324 1121 011 322 321 011 324 461 351 341 9122 692 683练 习 ： 用 逆 矩 阵 解 线 性 方 程 组 3 22 1 2 2 32 321 21 321 xxx xx xxx 223 321xxxX答 案 ： 思 考 ： 若 A、 B均 可 逆 ， 那 么 A+B可 逆 吗 ？ 不 一 定 。如 A=E， B= E， A+B=O不 可 逆 。注 ： 就 算 A+B可 逆 ， (A+B) 1 A 1+B 1.