高数的经济应用

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1、第 四 节定 积 分 在 经 济 学 上 的 应 用 第 六 章 一 、 已 知 边 际 函 数 求 总 函 数二 、 资 金 流 的 现 值 和 未 来 值 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 1.成 本 函 数总 成 本 = 固 定 成 本 + 可 变 成 本)(qC 0C )(1 qC平 均 成 本 (单 位 成 本 )= q qCC )(10 2.收 益 函 数3.利 润 函 数 利 润 =总 收 益 -总 成 本 ， 即 L(Q) = R(Q)-C(Q) . 复 习 收 益 =价 格 销 量 ， 即 R(Q) = PQ . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束

2、0 xx 边 际 的 经 济 意 义 :当 时 , x 改 变 一 个 单 位 , y 改 变4.边 际 )( 0 xf 个 单 位 .5.常 用 的 边 际 函 数 边 际 成 本 ； 边 际 收 益 ； 边 际 利 润 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 在 处 的 边 际 值 为 .)(xf )( 0 xf0 xx 一 、 已 知 边 际 函 数 求 总 函 数 问 题 ： 已 知 某 边 际 经 济 函 数 ， 求 该 总 经 济 量 . 设 某 个 经 济 函 数 u(x)的 边 际 函 数 为 , 则 有)(xu)0()()(0 uxudxxux 于 是 .)()0()

3、( 0 x dxxuuxu 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 已 知 销 售 某 产 品 的 边 际 收 益 为 ， x为 销 售 量 ，R(0)=0, 则 总 收 益 函 数 为 )(xR x0 dx)x(R)x(R1. 已 知 生 产 某 产 品 的 边 际 成 本 为 ， x为 产 量 ，固 定 成 本 为 C(0), 则 总 成 本 函 数 为 ( )C x0 0( ) ( ) ( )xC x C x dx C 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3. 设 利 润 函 数 L(x)=R(x)-C(x),其 中 x为 产 量 ， R(x)是 收 益 函 数

4、 ,C(x)是 成 本 函 数 ， 若 L(x),R(x),C(x)均 可 导 ， 则 边 际 利 润 为 ： L (x)=R(x)-C(x).因 此 总 利 润 为 ： 0 d 0( ) ( ) ( )xL x L x x L 0 d 0 ( ) ( ) ( )x R x C x x C 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1 生 产 某 产 品 的 边 际 成 本 函 数 为 100143)( 2 xxxC固 定 成 本 C(0) = 1000, 求 生 产 x 个 产 品 的 总 成 本 函 数 . 解 dxxCCxC x 0 )()0()( dxxxx 0 2 )100

5、143(1000 .10071000 23 xxx 例 2 已 知 边 际 收 益 为 , 设 R(0) = 0, 求收 益 函 数 R(x) . xxR 278)( 解 x dxxRxR 0 )278()0()( .78 2xx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3： 设 某 商 品 的 边 际 收 益 为 ( ) 200 100QR Q 199.75(50)(50) 50RR 0 0( ) 200 100Q Q QR Q dQ dQ ( )R Q (50) 9987.5R 21200 200Q Q (1) 求 销 售 50个 商 品 时 的 总 收 益 和 平 均 收 益

6、 ； (2) 如 果 已 经 销 售 了 100个 商 品 ， 求 再 销 售100个 商 品 的 总 收 益 和 平 均 收 益 ；解 : (1) 总 收 益 函 数 :平 均 收 益 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 198.5(200) (100)200 100R RR 200100 200 100Q dQ(200) (100)R R 19850解 : (2) 总 收 益 为 :平 均 收 益 : 例 3： 设 某 商 品 的 边 际 收 益 为 ( ) 200 100 QR Q (1) 求 销 售 50个 商 品 时 的 总 收 益 和 平 均 收 益 ； (2) 如

7、 果 已 经 销 售 了 100个 商 品 ， 求 再 销 售100个 商 品 的 总 收 益 和 平 均 收 益 ； 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4： 已 知 生 产 某 产 品 x台 的 边 际 成 本 为 2150( ) 11C x x 210 150ln( 1 )x x x 2( ) 30 5R x x ( )C x 20 15010 11x dxx 0(0) ( )xC C x dx (万 元 /台 )， 边 际 收 入 为 (万 元 /台 ).(1) 若 不 变 成 本 为 C(0)=10 (万 元 /台 ),求 总 成 本 函 数 ，总 收 入 函 数 和

8、 总 利 润 函 数 ；(2)当 产 量 从 40台 增 加 到 80台 时 ,总 成 本 与 总 收 入 的 增 量 ;解 : (1)总 成 本 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 由 于 当 产 量 为 零 时 总 收 入 为 零 ,即 R(0)=0,于 是 2 2129 150ln( 1 ) 105x x x x 0( ) (0) ( )xR x R R x dx 0 20 (30 )5x x dx ( ) ( ) ( )L x R x C x 2130 5x x 总 收 入 为总 利 润 函 数 为 机 动 目 录 上 页

9、 下 页 返 回 结 束 8040(80) (40) ( )C C C x dx 143.96 240 80 40(80) (40) ( )R R R x dx （ 万 元 ） (2)当 产 量 从 40台 增 加 到 80台 时 ,总 成 本 的 增 量 为 ;当 产 量 从 40台 增 加 到 80台 时 ,总 收 入 的 增 量 为 ;（ 万 元 ） 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 由 变 化 率 求 总 量 例 5 某 工 厂 生 产 某 商 品 , 在 时 刻 t 的 总 产 量 变 化 率 为 (单 位 /小 时 ). 求 由 t = 2 到 t = 4 这 两 小

10、时 的 总 产 量 . ttx 12100)( 解 总 产 量 4242 )12100()( dttdttxQ .2726100 422 tt例 6 生 产 某 产 品 的 边 际 成 本 为 , 当 产 量 由 200增 加 到 300时 , 需 追 加 成 本 为 多 少 ? xxC 2.0150)( 解 追 加 成 本 dxxC 300200 )2.0150( 30020021.0150 xx .10000 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 7 在 某 地 区 当 消 费 者 个 人 收 入 为 x 时 , 消 费支 出 W( x ) 的 变 化 率 , 当 个 人 收

11、 入 由 900 增 加到 1600 时 , 消 费 支 出 增 加 多 少 ? xxW 15)( 解 dxxW 1600900 15160090030 x .300 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 有 本 金 A0,年 利 率 为 r,则 一 年 后 得 利 息 A0r,本 利 和 为1. 单 利假 设 在 期 初 投 资 一 个 单 位 的 本 金 ， 在 每 一 时 期 内都 得 到 完 全 相 同 的 利 息 金 额 ， 这 种 计 息 方 式 为 单 利 .二 、 收 益 流 的 现 值 与 未 来 值 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 A0 A0r

12、 A0(1 r),n年 后 所 得 利 息 nA0r,本 利 和 为An=A0+nA0r=A0(1+nr)这 就 是 单 利 的 本 利 和 计 算 公 式 第 二 年 以 第 一 年 后 的 本 利 和 A1为 本 金 ,则 两 年 后 的2. 复 利这 种 计 息 方 式 的 基 本 思 想 是 ： 利 息 收 入 自 动 被计 入 下 一 期 的 本 金 . 就 像 常 说 的 “ 利 滚 利 ” . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 这 就 是 一 般 复 利 的 本 利 和 计 算 公 式 . 本 利 和 为 A2 A0(1 r) A0( r)r A0( r)2， 照此

13、 计 算 ,n年 后 应 得 本 利 和 为An A0(1 r)n 资 金 周 转 过 程 是 不 断 持 续 进 行 的 , 若 一 年 中 分 n期 计 算 ,年 利 率 仍 为 r,于 是 每 期 利 率 为 r/n ,则 一 年 后 的 本 利 和 为t年 后 本 利 和 为 At A (1 r/n )nt ，若 采 取 瞬 时 结 算 法 ,即 随 时 生 息 ,随 时 计 算 ,也 就 是 n 时 ,得 t年 后 本 利 和 为 这 就 是 连 续 复 利 公 式 0lim (1 )ntt n rA A n 0 0lim (1 ) .n rt rtrn rA Aen A1 A (1

14、 r/n )n， 因 此 ， 在 年 利 率 为 r的 情 形 下 ,若 采 用 连 续 复 利 ， 有 ： （ 1） 已 知 现 值 为 A0, 则 t年 后 的 未 来 值 为 （ 2） 已 知 未 来 值 为 At , 则 贴 现 值 为期 数 趋 于 无 穷 大 的 极 限 情 况 下 的 计 息 方 式 ， 即 每 时3. 连 续 复 利每 刻 计 算 复 利 的 方 式 称 为 连 续 复 利 .贴 现 值 ： 时 刻 t的 一 个 货 币 单 位 在 时 刻 0时 的 价 值 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 At A ert，A At e-rt 我 们 知 道

15、 , 若 以 连 续 复 利 率 r 计 息 , 一 笔 P 元 人 民 币 从 现 在 起 存 入 银 行 , t 年 后 的 价 值 (将 来 值 ) ,trPeB 若 t 年 后 得 到 B 元 人 民 币 , 则 现 在 需 要 存 入 银 行 的 金 额 (现 值 ) .trBeP 下 面 先 介 绍 收 益 流 和 收 益 流 量 的 概 念 . 若 某 公 司 的 收 益 是 连 续 地 获 得 的 , 则 其 收 益 可 被 看作 是 一 种 随 时 间 连 续 变 化 的 收 益 流 . 而 收 益 流 对 时 间 的变 化 率 称 为 收 益 流 量 . 4、 收 益 流

16、的 现 值 和 将 来 值 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 收 益 流 量 实 际 上 是 一 种 速 率 , 一 般 用 R (t) 表 示 ; 若 时间 t 以 年 为 单 位 , 收 益 以 元 为 单 位 , 则 收 益 流 量 的 单 位为 : 元 /年 . (时 间 t 一 般 从 现 在 开 始 计 算 ) . 若 R(t) = b 为常 数 , 则 称 该 收 益 流 具 有 均 匀 收 益 流 量 . 将 来 值 ： 现 在 一 定 量 的 资 金 在 未 来 某 一 时 点 上 的 价 值 现 值 ： 将 来 某 一 时 点 的 一 定 资 金 折 合 成

17、现 在 的 价 值 ，俗 称 “ 本 金 ” 例 如 ： 假 设 银 行 利 率 为 5%,你 现 在 存 入 银 行 10000块 ,一 年 以 后 可 得 本 息 10500元 . 10500为 10000的 将 来 值 ,而10000为 10500的 现 值 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 和 单 笔 款 项 一 样 , 收 益 流 的 将 来 值 定 义 为 将 其 存 入银 行 并 加 上 利 息 之 后 的 本 利 和 ; 而 收 益 流 的 现 值 是 这样 一 笔 款 项 , 若 把 它 存 入 可 获 息 的 银 行 , 将 来 从 收 益 流中 获 得

18、的 总 收 益 , 与 包 括 利 息 在 内 的 本 利 和 , 有 相 同 价值 . 在 讨 论 连 续 收 益 流 时 , 为 简 单 起 见 , 假 设 以 连 续 复 利率 r 计 息 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 若 有 一 笔 收 益 流 的 收 益 流 量 为 R(t) (元 /年 ) , 下 面 计 算其 现 值 及 将 来 值 . 考 虑 从 现 在 开 始 (t = 0)到 T 年 后 这 一 时 间 段 . 利 用 元素 法 , 在 区 间 0 , T 内 , 任 取 一 小 区 间 t , t + dt , 在 该 小区 间 内 将 R (t)

19、近 似 看 作 常 数 , 则 应 获 得 的 金 额 近 似 等于 R (t) dt (元 ) . 从 现 在 ( t = 0 )算 起 , R (t) dt 这 一 金 额 是 在 t 年 后 的 将来 而 获 得 , 因 此 在 t , t + dt 内 , 从 而 ， 总 现 值 为 0 0 ( )T rtR R t e dt收 益 的 现 值 ( ) rtR t e dt 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 在 计 算 将 来 值 时 , 收 入 R(t) dt 在 以 后 的 ( T t )年 内 获息 , 故 在 t , t + dt 内 例 8 假 设 以 年 连

20、续 复 利 率 r = 0.1 计 息 (1) 求 收 益 流 量 为 100元 /年 的 收 益 流 在 20年 期 间 的 现值 和 将 来 值 ; (2) 将 来 值 和 现 值 的 关 系 如 何 ? 解 释 这 一 关 系 . 从 而 ， 将 来 值 为 ( )0 ( )T r T tTR R t e dt收 益 流 的 将 来 值 ( )( ) r T tR t e dt 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 dte t1.0200 100 现 值 ;)(66.864)1(1000 2 元 edte t)20(1.0200 100 将 来 值 dtee t1.02200

21、100 .)(06.6389)1(1000 22 元 ee (2) 显 然 ,2e现 值将 来 值若 在 t = 0 时 刻 以 现 值 作 为 一 笔 款 项 存 入 银行 , 以 年 连 续 复 利 率 r = 0.1计 息 , 则 20年 中 这 笔 单 独 款 项的 将 来 值 为 )1(1000 2e .)1(1000)1(1000 22(20)0.12 eeee 而 这 正 好 是 上 述 收 益 流 在 20年 期 间 的 将 来 值 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 解 (1) 例 9 某 公 司 投 资 100万 元 (总 投 资 的 现 值 已 知 ） 建

22、 成 1条 生 产 线 ， 并 于 1年 后 取 得 经 济 效 益 ， 年 收 入 为 ， 设 银行 年 利 率 为 10%， 问 公 司 多 少 年 后 收 回 投 资 30万 元 （收 益 流 量 ） T t t0 1.0 100de30解 设 T年 后 可 收 回 投 资 ， 投 资 回 收 期 应 是 总 收 入 的现 值 等 于 总 投 资 的 现 值 的 时 间 长 度 ， 因 此 有 100)e1(30 1.0 T即解 得 T=4.055， 即 在 投 资 后 的 4.055年 内 可 收 回 投 资 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 一 般 来 说 , 以 年

23、连 续 复 利 率 r 计 息 , 则 在 从 现 在 起 到 T 年 后 （ 该 收 益 流 的 将 来 值 等 于 将 该 收 益 流 的 现 值 ） 作为 单 笔 款 项 存 入 银 行 T 年 后 的 将 来 值 . 例 10 设 有 一 项 计 划 现 在 ( t = 0 )需 要 投 入 1000 万 元 （投 入 资 金 的 现 值 ） , 在 10 年 中 每 年 收 益 为 200 万 元 （收 益 流 量 ） . 若 连 续 利 率 为 5%, 求 收 益 资 本 价 值 W. (设购 置 的 设 备 10年 后 完 全 失 去 价 值 ) 解 资 本 价 值 = 收 益

24、流 的 现 值 投 入 资 金 的 现 值 1000200100 05.0 dteW t 100005.0200 10005.0 te1000)1(4000 5.0 e .)(88.573 万 元 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 11 某 企 业 一 项 为 期 10年 的 投 资 需 购 置 成 本 80万 元 ,每 年 的 收 益 流 量 为 10万 元 , 求 内 部 利 率 (注 : 内 部 利 率是 使 收 益 价 值 等 于 成 本 的 利 率 ) . 解 由 收 益 流 的 现 值 等 于 成 本 , 得 100 1080 dte t 10010 te ,)1

25、(10 10 e 可 用 近 似 计 算 得 .04.0 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 某 耐 用 品 售 价 100000元 ， 首 付 50%， 余 下 部 分 （ 50000） 分 期 付 款 ， 10年 付 清 。 每 年 付 款 数 相 同 。 若 年 贴 现 率为 4%， 按 连 续 复 利 计 算 ， 每 年 应 付 款 多 少 ？某 一 机 器 使 用 寿 命 为 10年 。 如 购 进 此 机 器 需 要 55000元 。 如 租 用 此 机 器 每 月 租 金 为 600元 。 设 资 金 的 年 利率 为 5%， 按 连 续 复 利 计 算 ， 问 购 进 机 器 与 租 用 机 器哪 一 种 方 式 合 算 ？ 作 业