多元复合函数的

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1、第 四 节 多 元 复 合 函 数 的求 导 法 则 证 ),()( tttu 则 );()( tttv 一 、 链 式 法 则 ，获 得 增 量设 tt dtdvvzdtduuzdtdz 定 理 可 导 ，都 在 点及如 果 函 数 ttvtu )( )( 具 有 连 续 偏 导 数 ，在 对 应 点函 数 ),(),( vuvufz ,)( ),( 可 导在 对 应 点则 复 合 函 数 tttfz 计 算 ：且 其 导 数 可 用 下 列 公 式 由 于 函 数 ),( vufz 在 点 ),( vu 有 连 续 偏 导 数,21 vuvvzuuzz 当 0u ， 0v 时 ， 01 ，

2、 02 tvtutvvztuuztz 21 当 0t 时 ， 0u ， 0v,dtdutu ,dtdvtv .lim0 dtdvvzdtduuztzdtdz t 上 定 理 的 结 论 可 推 广 到 中 间 变 量 多 于 两 个 的 情 况 .如 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvw tz以 上 公 式 中 的 导 数 称 为dtdz 上 定 理 还 可 推 广 到 中 间 变 量 不 是 一 元 函 数).,(),( yxyxfz 而 是 多 元 函 数 的 情 况 ：xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ),(),( ),( yxyxvyxu 都 在 点及如 果

3、在 对 应偏 导 数 ， 且 函 数和具 有 对 ),( vufzyx 合 函 数具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复点 ),( vu 的 两 个在 对 应 点 ),(),( ),( yxyxyxfz 列 公 式 计 算偏 导 数 存 在 ， 且 可 用 下 uv xz y链 式 法 则 如 图 示xz uz xu vz ,xvyz uz yu vz .yv z wvu yx xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz 类 似 的 再 推 广 ， ),( ),( yxvyxu 设 的 偏 导 数 ，和具 有 对都 在 点 yxyxx,y) ),( x,y)yxyxfz ( )

4、,( ),( 复 合 函 数 两 个 偏 导 数 都 存 在 ，在 对 应 点 ),( yx且 可 用 下 列 公 式 计 算 特 殊 地 ),( yxufz ),( yxu 即 ,),( yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令 ,xv ,yw 其 中,1xv ,0 xw ,0yv .1yw 把 复 合 函 数 ,),( yxyxfz 中 的 y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 把 ),( yxufz 中 的 u及 y看 作 不变 而 对 x的 偏 导 数两 者 的 区 别 区别类似 例 1 设 vez u sin ， 而 xyu ， yxv ， 求 xz 和 yz

5、.解 xz uz xu vz xv1cossin veyve uu ),cossin( vvyeu yz uz yu vz yv1cossin vexve uu ).cossin( vvxeu 例 2 设 tuvz sin ， 而 teu ， tv cos ， 求 全 导 数 dtdz .解 tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvet cossin ttete tt cossincos .cos)sin(cos tttet 例 3 设 ),( xyzzyxfw ， f 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 xw 和 zxw2 .解 令 ,zyxu ;xyzv 记 ,),(1 u

6、vuff ,),(212 vu vuff 同 理 有 ,2f ,11f .22f xw xvvfxuuf ;21 fyzf zxw2 )( 21 fyzfz ;221 zfyzfyzf zf1 zvvfzuuf 11 ;1211 fxyf zf2 zvvfzuuf 22 ;2221 fxyf 于 是 zxw2 1211 fxyf 2fy )( 2221 fxyfyz .)( 22221211 fyfzxyfzxyf 二 、 全 微 分 形 式 不 变 性dvvzduuzdz dyyzdxxzdz 具 有 连 续 偏 导 数 ，设 函 数 ),( vufz 则 有 全 微 分 时 ，当 ),(

7、),( yxvyxu 有 质 ：全 微 分 形 式 不 变 性 的 实 的 函 数 ，的 函 数 或 者 中 间 变 量是 自 变 量无 论 vuvuz , 的 。它 的 全 微 分 形 式 是 一 样 dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 例 4 已 知 02 zxy eze ， 求 xz 和 yz .解 ,0)2( zxy ezed ,02)( dzedzxyde zxy )()2( ydxxdyedze xyz dyexedxeyedz z xyz xy )2()2( xz ,2 z xyeye

8、yz .2 z xyexe 1、 链 式 法 则 （ 分 三 种 情 况 ）2、 全 微 分 形 式 不 变 性（ 特 别 要 注 意 课 中 所 讲 的 特 殊 情 况 ）（ 理 解 其 实 质 ）三 、 小 结 设 ),( xvufz ， 而 )(xu ， )(xv ， 则 xfdxdvvfdxduufdxdz ， 试 问 dxdz与 xf 是 否 相 同 ？ 为 什 么 ？ 思 考 题 思 考 题 解 答 不 相 同 .等 式 左 端 的 z是 作 为 一 个 自 变 量 x的 函 数 ， 而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 xvu , 的 三 元 函 数 ， 写 出 来

9、 为 xxvux dxduufdxdz ),( .),(),( xvuxxvu xfdxdvvf 一 、 填 空 题 : 1、 设 xy yxz coscos ,则 xz _； yz _. 2、 设 22 )23ln( y yxxz ,则 xz _； yz _. 3、 设 32sin ttez ,则 dtdz _. 二 、 设 uvuez ,而 xyvyxu ,22 ， 求 yzxz , . 练 习 题 三 、 设 )arctan(xyz ,而 xey ,求 dxdz . 四 、 设 ),( 22 xyeyxfz (其 具中 f 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ),求 yzxz , .五 、

10、设 )( xyzxyxfu ,(其 具中 f 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ),求 ., zuyuxu 六 、 设 ),( yxxfz ,(其 具中 f 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ),求 22222 , yzyx zxz . 七 、 设 ,)( 22 yxf yz 其 中 为 可 导 函 数 , 验 证 : 211 yzyzyxzx .八 、 设 ,),( 其 中yyxxz 具 有 二 阶 导 数 ,求 ., 2222 yzxz 一 、 1、 xy yyyxxxy xxxy 222 cos )cossin(cos,cos )sin(coscos ； 2、 ,)23( 3)23ln(2

11、222 yyx xyxyx 2232 )23( 2)23ln(2 yyx xyxyx ； 3、 .)43(1 )41(3 232tt t 二 、 ,)( 22 22222 2 yx xyeyyx yxyxxz )(22 2 22)( 22 yx xyeyx xyxyyz . 练 习 题 答 案 三 、 xx ex xedxdz 221 )1( . 四 、 .2,2 2121 fxefyyzfyefxxz xyxy 五 、 .),(),1( fxyzuxzxfyuyzyfxu 六 、 ,12 222121122 fyfyfxz ,1)1( 22221222 fyfyfyxyx z .2 22422322 fyxfyxyz 八 、 ,)1( 121122 xz 222111221122 )( yz .