多元函数微分学习题课

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1、第 六 章 多 元 函 数 微 分 学 习 题 课 平 面 点 集和 区 域 多 元 函 数的 极 限多 元 函 数连 续 的 概 念极 限 运 算多 元 连 续 函 数的 性 质 多 元 函 数 概 念一 、 主 要 内 容 全 微 分的 应 用高 阶 偏 导 数隐 函 数求 导 法 则复 合 函 数求 导 法 则全 微 分 形 式的 不 变 性 微 分 法 在几 何 上 的 应 用方 向 导 数多 元 函 数 的 极 值全 微 分概 念偏 导 数概 念 定 义 设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 的 某 一 邻域 内 有 定 义 ， 当 y固 定 在 0y 而 x 在

2、 0 x 处 有 增 量x 时 ， 相 应 地 函 数 有 增 量 ),(),( 0000 yxfyxxf ， 如 果 x yxfyxxfx ),(),(lim 00000 存 在 ， 则 称此 极 限 为 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 处 对 x的 偏 导 数 ， 记 为 7、 偏 导 数 概 念 同 理 可 定 义 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 处 对 y的 偏 导 数 ， 为 y yxfyyxfy ),(),(lim 00000 记 为 00yy xxyz ， 00yy xxyf ， 00yy xxyz 或 ),( 00 yxfy . 00

3、yy xxxz ， 00yy xxxf ， 00yy xxxz 或 ),( 00 yxfx . 、 高 阶 偏 导 数 ),(22 yxfxzxzx xx ),(22 yxfyzyzy yy),(2 yxfyx zxzy xy ).,(2 yxfxy zyzx yx 函 数 ),( yxfz 的 二 阶 偏 导 数 为 纯 偏 导混 合 偏 导定 义 二 阶 及 二 阶 以 上 的 偏 导 数 统 称 为 高 阶 偏导 数 . 如 果 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的 全 增 量),(),( yxfyyxxfz 可 以 表 示 为)(oyBxAz ， 其 中 A,B不 依 赖

4、 于yx , 而 仅 与 yx, 有 关 ， 22 )()( yx ， 则 称 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 可 微 分 ，yBxA 称 为 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的 全 微 分 ， 记 为 dz， 即 dz= yBxA . 、 全 微 分 概 念 多 元 函 数 连 续 、 可 导 、 可 微 的 关 系函 数 可 微函 数 连 续 偏 导 数 连 续 函 数 可 导 10、 全 微 分 的 应 用 ,),(),( yyxfxyxfdzZ yx .),(),(),( ),( yyxfxyxfyxf yyxxf yx 有很 小 时当 , yx 主 要

5、 方 面 :近 似 计 算 与 误 差 估 计 . 11、 复 合 函 数 求 导 法 则 定 理 如 果 函 数 )(tu 及 )(tv 都 在 点 t 可导 ， 函 数 ),( vufz 在 对 应 点 ),( vu 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 )(),( ttfz 在 对 应 点 t 可导 ， 且 其 导 数 可 用 下 列 公 式 计 算 ： dtdvvzdtduuzdtdz 以 上 公 式 中 的 导 数 称 为dtdz 如 果 ),( yxu 及 ),( yxv 都 在 点 ),( yx具 有 对 x和 y的 偏 导 数 ， 且 函 数 ),( vufz 在

6、 对 应 点 ),( vu 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数),(),( yxyxfz 在 对 应 点 ),( yx 的 两 个 偏 导 数 存 在 ， 且 可 用 下 列 公 式 计 算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . 小 结 一 :二 重 极 限 的 计 算 方 法 :1 夹 逼 准 则 .2 利 用 有 界 与 无 穷 小 的 乘 积 仍 是 无 穷 小 .3 作 变 量 代 换 化 为 一 元 函 数 的 极 限 形 式 .证 明 二 重 极 限 不 存 在 的 方 法 :1 取 某 一 路 径 ,极 限 不 存 在 .2 取 两 条 不 同 路

7、径 ,极 限 存 在 但 不 相 等 . 小 结 二 : 小 结 三 : , ., .3 ( , , ) , . yxz z x y z FFz zx F y Fz zx y dF x y z F dx F dy F dz oz zx y 由 一 个 方 程 确 定 的 隐 函 数 的 求 导 法 :1 公 式 法 :F(x,y,z)确 定 了 z=z(x,y),则2 解 方 程 法 :方 程 两 边 同 时 对 x或 者 y求 导 ,由 复 合 函 数 求 导 法 则解 出 微 分 法 : 得 到 14、 微 分 法 在 几 何 上 的 应 用切 线 方 程 为 .)()()( 00000

8、0 tzztyytxx 法 平 面 方 程 为 .0)()()( 000000 zztyytxxt (1) 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 ).(),(),(: tztytx ( ) 曲 面 的 切 平 面 与 法 线.0),(: zyxF切 平 面 方 程 为 0)(,( )(,()(,( 0000 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx法 线 方 程 为 .),(),(),( 000 0000 0000 0 zyxF zzzyxF yyzyxF xx zyx 15、 方 向 导 数 .),(),(lim0 yxfyyxxflf 的 方 向 导 数 沿

9、 方 向则 称 这 极 限 为 函 数 在 点 在 ，时 ， 如 果 此 比 的 极 限 存趋 于沿 着当 之 比 值 ，两 点 间 的 距 离 与函 数 的 增 量定 义 lPPlP yxPP yxfyyxxf 22 )()( ),(),(记 为 定 理 如 果 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yxP 是 可 微 分的 ， 那 末 函 数 在 该 点 沿 任 意 方 向 L 的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 有 sincos yfxflf ， 其 中 为 x轴 到 方 向 L 的 转 角 .),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三 元 函 数 方 向 导 数 的

10、定 义 （ 其 中 222 )()()( zyx ） 定 义 设 函 数 ),( yxfz 在 平 面 区 域 D 内 具 有一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 对 于 每 一 点 DyxP ),( ， 都 可 定 出 一 个 向 量 jyfixf ， 这 向 量 称 为 函 数),( yxfz 在 点 ),( yxP 的 梯 度 ， 记 为 ),( yxgradf jyfixf . 梯 度 的 概 念 函 数 在 某 点 的 梯 度 是 这 样 一 个 向 量 ， 它 的 方向 与 取 得 最 大 方 向 导 数 的 方 向 一 致 ,而 它 的 模 为 方 向 导 数 的 最 大 值 梯

11、度 的 模 为 22|),(| yfxfyxgradf . 梯 度 与 方 向 导 数 的 关 系 16、 多 元 函 数 的 极 值 设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 的 某 邻 域 内有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ),( 00 yx 的 点 ),( yx ： 若 满 足 不 等 式 ),(),( 00 yxfyxf ， 则 称 函 数在 ),( 00 yx 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),( 00 yxfyxf ， 则 称 函 数 在 ),( 00 yx 有 极小 值 ； 定 义 极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值

12、.使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 . 定 理 1（ 必 要 条 件 ）设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 具 有 偏 导 数 ， 且 在 点 ),( 00 yx 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必然 为 零 ： 0),( 00 yxfx ， 0),( 00 yxfy . 多 元 函 数 取 得 极 值 的 条 件 定 义 一 阶 偏 导 数 同 时 为 零 的 点 ， 均 称 为 多 元函 数 的 驻 点 . 极 值 点注 意 驻 点 定 理 2（ 充 分 条 件 ）设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx

13、的 某 邻 域 内 连 续 ， 有 一 阶 及 二 阶 连 续 偏 导 数 ，又 0),( 00 yxfx , 0),( 00 yxfy ， 令Ayxfxx ),( 00 ， Byxfxy ),( 00 ， Cyxfyy ),( 00 ，则 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 处 是 否 取 得 极 值 的 条 件 如 下 ： （ 1） 02 BAC 时 有 极 值 ， 当 0A 时 有 极 大 值 ， 当 0A 时 有 极 小 值 ； （ 2） 02 BAC 时 没 有 极 值 ； （ 3） 02 BAC 时 可 能 有 极 值 . 求 函 数 ),( yxfz 极 值 的 一 般

14、步 骤 ： 第 一 步 解 方 程 组 ,0),( yxfx 0),( yxfy求 出 实 数 解 ， 得 驻 点 . 第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ),( 00 yx ，求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 CBA 、 . 第 三 步 定 出 2BAC 的 符 号 ， 再 判 定 是 否 是 极 值 . 拉 格 朗 日 乘 数 法 要 找 函 数 ),( yxfz 在 条 件 0),( yx 下 的 可 能 极 值 点 ，先 构 造 函 数 ),(),(),( yxyxfyxF ， 其 中 为 某 一 常 数 ， 可 由 .0),( ,0),(),( ,0),(),( yx yxyx

15、f yxyxf yy xx 解 出 ,yx ， 其 中 yx, 就 是 可 能 的 极 值 点 的 坐 标 . 条 件 极 值 ： 对 自 变 量 有 附 加 条 件 的 极 值 二 、 典 型 例 题例 1解 .)(lim 2200 yx xxyyx 求 极 限 )0(,sin,cos yx令 .0)0,0(),( 等 价 于则 yx cos)cos(sin)(0 222 yx xxy cos)cos(sin ,2.0)(lim 22 00 yx xxyyx故 ( , , ), ( , ), ( , ),( ), .u f x y z z g x y y h x tdut x dx 例 3

16、设 求 2 2 2 22 2 2 2sin( ), 0( , ) 0, 0( , ) (0,0) xy x y x yf x y x y x yf x y 例 2 设 函 数 讨 论 在 的 可 微 性 . 2 , .yz txz u uu e dt x y 例 4 已 知 求 和 35 , 1,1 , 1,1 1(1,1) 2, (1,1) 3, ( , ( , ).( ) 1.z f x y ff f x f x f x xx yd x xdx 例 设 函 数 在 点 处 可 微 且 求 3 2 2 26 ( - cos ) (1 sin 3 ),axy y x dx by x x y d

17、ya b 例 已 知为 某 二 元 函 数 的 全 微 分 则 和 的 值 分 别 为 多 少 ? 2 2 2 22 22 2 1 2, , , .x y u vx y u vu u v vx x x x 例 7 从 方 程 组 中 求 例 8解 ., )(),( 2223 yx zyzyz fxyxyfxz 求 ，具 有 二 阶 连 续 偏 导 数设 )1( 213 xfxfxyz ,2214 fxfx )1()1( 222121211422 xfxfxxfxfxyz ,2 22123115 fxfxfx xy zyx z 22 )( 2)(4 222212 221211413 xyfyfx

18、 xfxyfyfxfx )( 2214 fxfxx .24 22114213 fyfyxfxfx 例 3解 .,0),( ,sin,0),(),( 2 dxduzf xyzexzyxfu y 求且，具 有 一 阶 连 续 偏 导 数设 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显 然,dxdz求 得的 导 数两 边 求对 ,0),( 2 xzex y ,02 321 dxdzdxdyex y 于 是 可 得 , ),cos2(1 2sin13 xexdxdz x .)cos2(1cos 2sin13 zfxexyfxxfdxdu x 故例 4解 .,0,0, .0),( ,0

19、),( ),()( dxduzhyg zxh zyxg yxfuxu 试 求且所 确 定 由 方 程 组设 函 数 的 函 数 都 看 成 是以 及将 方 程 组 的 变 元 xzyu , 得求 导方 程 组 各 方 程 两 边 对 ,x )3(.0 )2(,0 )1(,dxdzhh dxdzgdxdygg dxdyffdxdu zx zyx yx ,)3( zxhhdxdz 得由 ,)2( yxzy xz gghg hgdxdy 得代 入 .)1( zy xzyy xyx hg hgfg gffdxdu 得代 入 解 ? , ),(0 000222222 模此 方 向 导 数 等 于 梯 度

20、 的 具 有 什 么 关 系 时的 方 向 导 数 ， 问的 向 径 处 沿 点在 点求 cbar zyxMczbyaxu 例 5 , 2020200000 0 zyxrzyxr .cos,cos,cos 000000 rzryrx 处 的 方 向 导 数 为在 点 M coscoscos0 MMMM zuyuxuru 002000200020 222 rzczrybyrxax )(2 2222220 000 czbyaxr .),(2 20202 0000 zyx zyxu 处 的 梯 度 为在 点 M kzujyuixugradu MMMM ,222 202020 kczjbyiax ,2

21、 424242 000 czbyaxgradu M ,时当 cba ,2 2222 000 zyxagradu M ,2)(2 20202220202 22220 00 000 zyxazyx zyxaru M ,0 MM graduru ., 模此 方 向 导 数 等 于 梯 度 的相 等 时故 当 cba 之 间 的 最 短 距 离 与 平 面求 旋 转 抛 物 面 2222 zyxyxz例 6解 .2261 ,022 ,),( 22 zyxd dzyxP yxzzyxP 的 距 离 为到 平 面 则上 任 一 点为 抛 物 面设分 析 : 最 小 即 且 使满 足 ， 使 得本 题 变

22、为 求 一 点 )22(61( 22610 ,),(22 22 zyxd zyxdzyx zyxzyxP ),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF 令 )4(, )3(,0)2)(22(31 )2(,02)22(31 )1(,02)22(31 22 yxz zzyxF yzyxF xzyxFzyx .81,41,41 zyx解 此 方 程 组 得 得 .647241414161min d ),81,41,41(即 得 唯 一 驻 点 处 取 得 最 小 值 驻 点 ， 故 必 在 一 定 存 在 ， 且 有 唯 一根 据 题 意 距 离 的 最 小 值)81,41,41( 2 2

23、50- 2 4(1) (1, 2) , ?(2) ?(3) ?(4) ? V x y 例 1 设 某 金 属 板 上 的 电 压 分 布 为在 点 处 沿 哪 个 方 向 电 压 升 高 得 最 快沿 哪 个 方 向 电 压 下 降 得 最 快上 升 或 下 降 的 速 率 各 为 多 少沿 哪 个 方 向 电 压 变 化 得 最 慢 2 2 22 2 2x y za b c 例 2 试 求 正 数 的 值 ,使 得 曲 面 xyz= 与 曲 面 + + =1在 某 一 点 相 切 . ,1 2 1 21 1 2 21 2例 3 某 厂 家 生 产 一 种 产 品 同 时 在 两 个 市 场

24、销 售 ,售 价 分 别 为 p 和 p ,销 售 量 分 别 为 q 和 q 需 求 函 数分 别 为 q =24-0.2p ,q =10-0.5p ,总 成 本c=35+40(q +q ),试 问 厂 家 如 何 确 定 两 个市 场 的 售 价 ,能 使 其 获 得 总 利 润 最 大 ?最 大 利 润 为 多 少 ? 2 2 2 22 2, , 1 2 ,. x ya b x y ya b 例 4 试 求 的 值 使 得 椭 圆 包 含 圆并 且 面 积 为 最 小 一 、 选 择 题 :1、 二 元 函 数 2222 1arcsin4ln yxyxz 的 定 义 域 是 ( ). （

25、 A） 41 22 yx ； （ B） 41 22 yx ； （ C） 41 22 yx ； （ D） 41 22 yx . 2、 设 2)(),( yxyxxyf ,则 ),( yxf ( ). （ A） 22 )1( yyx ； （ B） 2)1( yyx ； （ C） 22 )1( xxy ； （ D） 2)1( yxy . 测 验 题 3、 22)(lim 2200 yxyx yx ( ). (A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e . 4、 函 数 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 处 连 续 ,且 两 个 偏 导 数 ),(),( 0000 yxfyxf

26、 yx 存 在 是 ),( yxf 在 该 点 可 微 的 ( ). （ A） 充 分 条 件 ,但 不 是 必 要 条 件 ； （ B） 必 要 条 件 ,但 不 是 充 分 条 件 ； （ C） 充 分 必 要 条 件 ； （ D） 既 不 是 充 分 条 件 ,也 不 是 必 要 条 件 . 5、 设 ),( yxf 0,0 0,1sin)( 22 222222 yx yxyxyx 则 在 原 点 )0,0( 处 ),( yxf ( ). (A)偏 导 数 不 存 在 ； (B)不 可 微 ； (C)偏 导 数 存 在 且 连 续 ； (D)可 微 . 6、 设 ),(),( yxvvv

27、xfz 其 中 vf, 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 .则 22yz ( ). (A) 222 yvvfyvyv f ； (B) 22yvvf ； (C) 22222 )( yvvfyvvf ； (D) 2222 yvvfyvvf . 7、 曲 面 )0(3 aaxyz 的 切 平 面 与 三 个 坐 标 面 所 围 成 的 四 面 体 的 体 积 V=( ). (A) 323a ； (B) 33a ； (C) 329a ； (D) 36a . 8、 二 元 函 数 33)(3 yxyxz 的 极 值 点 是 ( ). (A) (1,2)； (B) (1.-2 )； (C) (-1,2)

28、； (D) (-1,-1). 9、 函 数 zyxu sinsinsin 满 足 )0,0,0(2 zyxzyx 的 条 件 极 值 是 ( ). (A) 1 ； (B) 0 ； (C) 61 ； (D) 81 . 10、 设 函 数 ),(),( yxvvyxuu 在 点 ),( yx 的 某 邻 域 内 可 微 分 ,则 在 点 ),( yx 处 有 )(uvgrad ( ). .)( ;)( ;)( ;)( graduvD gradvuC graduvgradvuB gradvgraduA 二 、 讨 论 函 数 33 yx yxz 的 连 续 性 ， 并 指 出 间 断 点 类 型 .

29、 三 、 求 下 列 函 数 的 一 阶 偏 导 数 : 1、 yxz ln ； 2、 ),(),( yxzxyzxyxfu ； 3、 00 0),( 22 2222 2 yx yxyx yxyxf . 四 、 设 ),( zxfu ,而 ),( yxz 是 由 方 程 )(zyxz 所 确 的 函 数 ,求 du . 五 、 设 yxeuyxuz ),( ,其 中 f 具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 ,求 yx z2 . 六 、 设 uvzveyvex uu ,sin,cos ,试 求 xz 和 yz .七 、 设 x 轴 正 向 到 方 向 l 的 转 角 为 , 求 函 数22)

30、,( yxyxyxf 在 点 (1,1)沿 方 向 l 的 方 向 导数 ,并 分 别 确 定 转 角 , 使 这 导 数 有 (1)最 大 值 ； (2) 最 小 值 ； (3)等 于 零 .八 、 求 平 面 1543 zyx 和 柱 面 122 yx 的 交 线 上 与xoy 平 面 距 离 最 短 的 点 .九 、 在 第 一 卦 限 内 作 椭 球 面 1222222 czbyax 的 切 平 面 , 使 该 切 平 面 与 三 坐 标 面 所 围 成 的 四 面 体 的 体 积 最 小 ,求 这 切 平 面 的 切 点 ,并 求 此 最 小 体 积 . 一 、 1、 A； 2、 B

31、； 3、 B； 4、 B； 5、 D； 6、 C； 7、 A； 8、 A； 9、 D； 10、 B. 二 、 (1)当 0 yx 时 ,在 点 ),( yx 函 数 连 续 ；(2)当 0 yx 时 ,而 ),( yx 不 是 原 点 时 , 则 ),( yx 为 可 去 间 断 点 , )0,0( 为 无 穷 间 断 点 .三 、 1、 1ln)(ln yx xyz , yy xyxz lnln ； 2、 ,)( 321 fxyzyzyffu xx 32 )( fxyzxzxfu yy . 3、 ,0,0 0,)( 2),( 22 22222 3 yx yxyx xyyxfx 测 验 题 答 案 0, 0,)( )(),( 22 22222 222 yxo yxyx yxxyxf y . 四 、 dyzy zfdxzy ff 1)( )()1)( 221 . 五 、 uyxyxuyuyyuuy feffxefefxe 2 . 六 、 .)sincos(,)sincos( uu evvvuyzevuvvxz 七 、 ,sincos lf ,4 ,45 43 .47及 )3()2()1( 八 、 ).1235,53,54( 九 、 切 点 abcVcba 23),3,3,3( min .