多元微分学几何应用

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1、多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 复 习 : 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线已 知 平 面 光 滑 曲 线 )(xfy ),( 00 yx切 线 方 程 0yy法 线 方 程 0yy若 平 面 光 滑 曲 线 方 程 为 ,0),( yxF ),( ),(dd yxF yxFxy yx故 在 点 ),( 00 yx切 线 方 程法 线 方 程 )( 0yy),( 00 yxFy)(),( 000 xxyxFx 0)( 00 xxxf )()(1 00 xxxf 在 点 有有 因 0)(),( 000 yyyxFx),( 00 yxFy )( 0 xx 一 、 空 间 曲

2、线 的 切 线 与 法 平 面过 点 M 与 切 线 垂 直 的 平 面 称 为 曲 线 在 该 点 的 法位 置 . TM空 间 光 滑 曲 线 在 点 M 处 的 切 线 为 此 点 处 割 线 的 极 限平 面 . 1. 曲 线 方 程 为 参 数 方 程 的 情 况 )(,)(,)(: tzztyytxx zzzyyyxxx 000 ,t上 述 方 程 之 分 母 同 除 以 得令 ,0t切 线 方 程 000 zzyyxx ),( 0000 zyxMtt 对 应设 ),( 0000 zzyyxxMttt 对 应 )( 0tx )( 0ty )( 0tz TM M:的 方 程割 线 M

3、M )( 00 xxtx 此 处 要 求 )(,)(,)( 000 tztytx 也 是 法 平 面 的 法 向 量 ,切 线 的 方 向 向 量 :称 为 曲 线 的 切 向 量 . )()( 00 yyty 0)( 00 zztz M不 全 为 0, T 因 此 得 法 平 面 方 程 说 明 : 若 引 进 向 量 (矢 径 ） 函 数 ， )(,)(,)()( tztytxtr 则 为 r (t) 的 矢 端 曲 线 , 0t而 在 处 的 导 向 量 )(,)(,)()( 0000 tztytxtr 就 是 该 点 的 切 向 量 . o )(tr T(切 矢 指 向 t增 大 方

4、向 ) 000 , tztytxT 空 间 曲 线 方 程 为 ,)( )( xz xy ,),( 000 处在 zyxM ,)()(1 00000 xzzxyyxx .0)()()( 00000 zzxyyxxx 法 平 面 方 程 为切 线 方 程 为特 殊 地 ： 例 1 求 曲 线 : t u uduex 0 cos ， ty sin2tcos , tez 31 在 0t 处 的 切 线 和 法 平 面 方 程 .解 当 0t 时 ， ,2,1,0 zyx,costex t ,sincos2 tty ,3 3tez ,1)0( x ,2)0( y ,3)0( z切 线 方 程 ,3 2

5、2 11 0 zyx法 平 面 方 程 ,0)2(3)1(2 zyx .0832 zyx即 z yx o例 2. 求 圆 柱 螺 旋 线 kzRyRx ,sin,cos2 对 应 点 处 的 切 线 方 程 和 法 平 面 方 程 . ,2 时当 切 线 方 程 Rx法 平 面 方 程 xR 022 kzkxR 即 0 02Ry kRzRxk 即解 : 由 于 ,sinRx 0 Ry k kz 2 ,cosRy ,kz ),0( 20 kRM 对 应 的 切 向 量 为 0)( 2 kzk 在,0, kRT , 故 2. 曲 线 为 一 般 式 的 情 况光 滑 曲 线 0),( 0),(:

6、zyxG zyxF当 0),( ),( zy GFJ )( )(xzz xyyxydd ),( 000 zyxM , 且 有xzdd,),( ),(1 xz GFJ ,),( ),(1 yx GFJ 时 , 可 表 示 为处 的 切 向 量 为 MM yx GFJxz GFJ ),( ),(1,),( ),(1,1 )(,)(,1 00 xzxyT 000 zzyyxx Mzy GF ),( ),(则 在 点 ),( 000 zyxM切 线 方 程法 平 面 方 程 有Mzy GF ),( ),( Mxz GF ),( ),( Myx GF ),( ),()( 0 xx Myx GF ),(

7、),( Mxz GF ),( ),( )( 0yy 0)( 0 zz或 MMM yx GFxz GFzy GFT ),( ),(,),( ),(,),( ),( 例 3. 求 曲 线 0,6222 zyxzyx 在 点M ( 1,2, 1) 处 的 切 线 方 程 与 法 平 面 方 程 . Mzy GF ),( ),(切 线 方 程 121 zyx解 法 1 令 ,222 zyxGzyxF 则即 02 02y zx切 向 量 ;0),( ),( Mxz GF Mzy 11 22 Mzy )(2 ;60 66 6),( ),( Myx GF6,0,6T 法 平 面 方 程 0)1(6)2(0)

8、1(6 zyx即 0 zx xxzzxyy dddd解 法 2. 方 程 组 两 边 对 x 求 导 , 得 1dddd xzxy11 11dd zy xyxz 11dd zyxy 曲 线 在 点 M(1,2, 1) 处 有 :切 向 量解 得 11 zx ,zy xz zy yx .1,0,1 dd,dd,1 MM xzxyT 切 线 方 程 121 zyx即 02 02y zx法 平 面 方 程 0)1()1()2(0)1(1 zyx即 0 zx点 M (1,2, 1) 处 的 切 向 量0 11 1,0,1 T 另 法 : 求 曲 线 04532 03222 zyx xzyx 在 点 (

9、1,1,1) 的 切 线解 : 点 (1,1,1) 处 两 曲 面 的 法 向 量 为 2,2,1因 此 切 线 的 方 向 向 量 为 1,9,16 由 此 得 切 线 : 111 zyx16 9 1法 平 面 : 0)1()1(9)1(16 zyx 024916 zyx即与 法 平 面 . )1,1,1(1 2,2,32 zyxn 5,3,2 2 n 21 nnl 0),(: zyxF二 、 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 设 有 光 滑 曲 面通 过 其 上 定 点 ),( 000 zyxM 0tt 设 对 应 点 M,)(,)(,)( 000 tztytx 切 线 方 程 为 )(

10、)()( 000 00 0 tz zzty yytx xx 不 全 为 0 . 则 在 ,)(,)(,)(: tzztyytxx 且点 M 的 切 向 量 为 任 意 引 一 条 光 滑 曲 线M T下 面 证 明 : 此 平 面 称 为 在 该 点 的 切 平 面 . 上 过 点 M 的 任 何 曲 线 在 该 点 的 切 线 都在 同 一 平 面 上 . )(,)(,)( 000 tztytxT 证 : 在 上 ,)(,)(,)(: tzztyytxx 0)(,)(,)( tztytxF ,0 处 求 导两 边 在 tt ,0 Mtt 对 应 点注 意 )( 0tz 0),( 000 zy

11、xFx ),( 000 zyxFy),( 000 zyxFz )( 0tx )( 0ty 得)(,)(,)( 000 tztytxT ),(,),(,),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx令 nT 切 向 量由 于 曲 线 的 任 意 性 , 表 明 这 些 切 线 都 在 以为 法 向 量 n的 平 面 上 , 从 而 切 平 面 存 在 . M Tn )(),( 0000 xxzyxFx 曲 面 在 点 M 的 法 向 量法 线 方 程 000 zzyyxx )(),( 0000 yyzyxFy 0)(,( 0000 zzzyxFz切 平 面 方 程 ),( 000

12、 zyxFx ),( 000 zyxFy ),( 000 zyxFz ),(,),(,),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx M Tn )(),( 000 xxyxfx 曲 面时 , ),( yxfz zyxfzyxF ),(),(则 在 点 ),( zyx故 当 函 数 ),( yxf ),( 00 yx 1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx法 线 方 程 ,yy fF 1zF 令有在 点 ),( 000 zyx特 别 , 当 光 滑 曲 面 的 方 程 为 显 式 在 点 有 连 续 偏 导 数 时 , )(),( 000 yyyx

13、fy 0zz ,xx fF 切 平 面 方 程 （ 由 此 可 知 全 微 分 的 几 何 意 义 ） 例 4. 求 球 面 3632 222 zyx 在 点 (1 , 2 , 3) 处 的 切平 面 及 法 线 方 程 . 解 : 3632),( 222 zyxzyxF所 以 球 面 在 点 (1 , 2 , 3) 处 有 :切 平 面 方 程 )1(2 x 03694 zyx即法 线 方 程 321 zyx )2(8 y 0)3(18 z1 4 9法 向 量令 6,4,2 zyxn 18,8,2)3,2,1( n 解 ,1),( 22 yxyxf )4,1,2()4,1,2( 1,2,2

14、yxn ,1,2,4 切 平 面 方 程 为 ,0)4()1(2)2(4 zyx ,0624 zyx法 线 方 程 为 .142 14 2 zyx 解 ,32),( xyezzyxF z,42 )0,2,1()0,2,1( yFx ,22 )0,2,1()0,2,1( xFy,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF令切 平 面 方 程法 线 方 程 ,0)0(0)2(2)1(4 zyx ,042 yx .0 01 22 1 zyx 解 设 为 曲 面 上 的 切 点 ,),( 000 zyx切 平 面 方 程 为 0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx依 题 意 ， 切

15、 平 面 方 程 平 行 于 已 知 平 面 ， 得,664412 000 zyx .2 000 zyx 因 为 是 曲 面 上 的 切 点 ，),( 000 zyx ,10 x所 求 切 点 为满 足 方 程 ),2,2,1( ),2,2,1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx切 平 面 方 程 (1)切 平 面 方 程 (2) 1. 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 切 线 方 程 000 zzyyxx 法 平 面 方 程 )( 00 xxt 1) 参 数 式 情 况 . )( )( )(: tz ty

16、 tx 空 间 光 滑 曲 线切 向 量内 容 小 结 )( 0t )( 0t )( 0t)()( 00 yyt 0)( 00 zzt )(,)(,)( 000 tttT 切 线 方 程法 平 面 方 程 MMM yx GF zzxz GF yyzy GF xx ),( ),(),( ),(),( ),( 000 空 间 光 滑 曲 线 0),( 0),(: zyxG zyxFMzy GF ),( ),(切 向 量2) 一 般 式 情 况 . ,),( ),( Mzy GF ,),( ),( Mxz GF Myx GF ),( ),( )( 0 xx Mxz GF ),( ),( )( 0yy

17、Myx GF ),( ),( 0)( 0 zzT 空 间 光 滑 曲 面 0),(: zyxF曲 面 在 点法 线 方 程 ),( 000 0 zyxF xxx ),( 000 0 zyxF yyy ),( 000 0 zyxF zzz )(),()(),( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx 1) 隐 式 情 况 . 的 法 向 量),( 000 zyxM 0)(,( 0000 zzzyxFz切 平 面 方 程2. 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 ),(,),(,),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx 空 间 光 滑 曲 面 ),(: yxfz )(

18、),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切 平 面 方 程法 线 方 程 1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx ,1cos,1cos 2222 yx yyx x ff fff f 2) 显 式 情 况 .法 线 的 方 向 余 弦 221 1cos yx ff 法 向 量 )1,( yx ffn 思 考 题 如 果 平 面 01633 zyx 与 椭 球 面163 222 zyx 相 切 ， 求 . 思 考 题 解 答 ,2,2,6 000 zyxn设 切 点 ),( 000 zyx依 题 意 知 切 向 量 为 3,3 32236

19、000 zyx ,00 xy ,3 00 xz 切 点 满 足 曲 面 和 平 面 方 程 ,01693 01693 2020220 0020 xxx xxx .2 一 、 填 空 题 : 1、 曲 线 2,1,1 tzt tyttx 再 对 应 于 1t 的 点 处 切 线 方 程 为 _； 法 平 面 方 程 为 _. 2、 曲 面 3 xyze z 在 点 )0,1,2( 处 的 切 平 面 方 程 为 _； 法 线 方 程 为 _. 二 、 求 出 曲 线 32 , tztytx 上 的 点 ,使 在 该 点 的 切 线 平 行 于 平 面 42 zyx . 三 、 求 球 面 622

20、2 zyx 与 抛 物 面 22 yxz 的 交 线 在 )2,1,1( 处 的 切 线 方 程 . 练 习 题 四 、 求 椭 球 面 12 222 zyx 上 平 行 于 平 面 02 zyx 的 切 平 面 方 程 . 五 、 试 证 曲 面 )0( aazyx 上 任 何 点 处 的 切 平 面 在 各 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 等 于 a . 一 、 1、 011682,8 1421 21 zyxzyx ； 2、 0 2 11 2,042 z yxyx . 二 、 )271,91,31()1,1,1( 21 PP 及 . 三 、 02 020 2111 1 z yxzyx 或 . 四 、 2112 zyx . 练 习 题 答 案 ,法 向 量用 221 1cos yx ff 将 ),(,),( 0000 yxfyxf yx , yx ff法 向 量 的 方 向 余 弦 ：表 示 法 向 量 的 方 向 角 , 并 假 定 法 向 量 方 向.为 锐 角则 分 别 记 为 则 ,1cos,1cos 2222 yx yyx x ff fff f 向 上 , 1,),(,),( 0000 yxfyxfn yx