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1、第二节 可分离变量的微分方程形如xdxfydyg )()( 的一阶微分方程叫做已分离变量方程 .设 是方程的解 , )(xy xdxfxdxxg )()()( 两边积分, 则有ydyg )( ,)( xdxf即CxFyG )()(称为隐式通解)形如)()( 21 yfxfxdyd 的方程都叫做可分离变量方程 . 则有恒等式 0 )( )( 11 xNxdxM ydyNyM )( )( 22或 5422 yxdxdy 例 如 ,2 254 dxxdyy 例1. 求微分方程yxxdyd 23的通解.解: 分离变量得xdxyyd 23两边积分xdxyyd 23 得13ln Cxy Cxy lnln
2、3即13 Cxey 31 xC ee3xeC令 1CeC ( C 为任意常数 )或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.如此例, y = 0 也是原方程的解 , 但在变量分离时丢失了此解. 例2. 解下述初值问题0)1( 2 ydxxdyx解: 分离变量得xdxxyyd 21两边积分得Cxy ln11lnln 2 即Cxy 1 2由初始条件得 C = 1 112 xy ( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0( y 求方程 的通解 . yxey 解法 1：xdeyde xy Cee xy 或01)( yx eCe ( C 0 )解法 2: 令 ,yxu 则yu 1故
3、有ueu 1积分Cxeud u 1 Cxeu u )1(ln ( C 为任意常数 )即Cye yx )1(ln ude ee u uu 1 )1( 3例 yx eedxdy 014 22222 dyyxxyydxx求例 .解 原式化为xdxxdyyy 222 11 两边积分得Cxxyy arctanln 221满足初始条件11xy的特解。由初始条件11xy 234 C得所求特解为423arctan21ln 2 xxyy 例5. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量 M 成正比 , ,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意 , 有 )0( Mtd
4、Md 00 MM t (初始条件)对方程分离变量, MMd得,lnln CtM 即teCM 利用初始条件, 得 0MC 故所求铀的变化规律为.0 teMM M0M to然后积分: td)( 已知 t = 0 时铀的含量为 例6. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比 ,求降落伞下落速度与时间的函数关系. 解: 根据牛顿第二定律列方程vkmgtdvdm 00 tv初始条件为:对方程分离变量, mtdvkmg vd 然后积分, 得Cmtvkgmk )(ln1 )0( vkgm利用初始条件,得,)(ln1 gm kC 代入上式后化简, 得特解)1( tmkekgmv 说明: ,lim kgmvt 跳伞最后阶段接近于等速运动.并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0 , 习题7-2 P 304 1 (1) , (5) , (7) 2 (3), (4) ; 6
可分离变量的微分方程
