直线、圆的位置关系

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1、1 .能 根 据 给 定 直 线 、 圆 的 方 程 判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ； 能 根 据 给 定 两 个 圆 的 方 程 判 断 两 圆 的 位 置 关 系 .2 .能 用 直 线 和 圆 的 方 程 解 决 一 些 简 单 的 问 题 .3 .初 步 了 解 用 代 数 方 法 处 理 几 何 问 题 的 思 想 . 1 .直 线 与 圆 的 位 置 关 系 思 考 探 究 在 求 过 一 定 点 的 圆 的 切 线 方 程 时 ， 应 注 意 什 么 ？提 示 ： 应 首 先 判 断 这 点 与 圆 的 位 置 关 系 ， 若 点 在 圆 上 ，则 该 点 为 切

2、点 ， 切 线 只 有 一 条 ； 若 点 在 圆 外 ， 切 线 应 有两 条 ， 谨 防 漏 解 注 意 切 线 斜 率 不 存 在 的 情 况 2 圆 与 圆 的 位 置 关 系 两 圆 ： (x a1 )2 (y b1 )2 (r1 0 ) 与 (x a2 )2 (y b2 )2 (r2 0 ) 1 直 线 4 x 3 y 4 0 和 圆 x2 y2 1 0 0 的 位 置 关 系 是 .相 交2 圆 x2 y2 2 x 0 与 x2 y2 4 y 0 的 位 置 关 系 是 .相 交 3 设 直 线 过 点 (0 ， a)， 其 斜 率 为 1 ， 且 与 圆 x2 y2 2 相 切

3、 ， 则 a的 值 为 . 25 过 点 ( 4 ， 8 )作 圆 (x 7 ) 2 (y 8 )2 9 的 切 线 ， 则 切 线 的 方 程 为 x=-44 设 圆 x2 y2 4 x 5 0 的 弦 AB的 中 点 P(3 ,1 )， 则 直 线 AB的 方 程 是 .x y 4 0 直 线 和 圆 的 位 置 关 系 的 判 定 有 两 种 方 法1 第 一 种 方 法 是 方 程 的 观 点 ， 即 把 圆 的 方 程 和 直 线 的 方 程 联 立 组 成 方 程 组 ， 转 化 为 一 元 二 次 方 程 ， 再 利 用 判 别 式 来 讨 论 位 置 关 系 ， 即 0 直 线

4、 与 圆 相 交 ； 0 直 线 与 圆 相 切 ； 0 直 线 与 圆 相 离 2 第 二 种 方 法 是 几 何 的 观 点 ， 即 将 圆 心 到 直 线 的 距 离 d与 半 径 r比 较 来 判 断 ， 即 dr 直 线 与 圆 相 离 若 过 点 A(4 ,0 )的 直 线 l与 曲 线 (x 2 )2 y2 1 有 公 共点 ， 则 直 线 l的 斜 率 的 取 值 范 围 为 . 思 路 点 拨 3 33 3， 1 .判 断 两 圆 的 位 置 关 系 常 用 几 何 法 ， 即 用 两 圆 圆 心 距 与 两 圆 半 径 和 与 差 之 间 的 关 系 ， 一 般 不 采 用

5、 代 数 法 2 若 两 圆 相 交 ， 则 两 圆 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 可 由 两 圆 的 方 程 作 差 消 去 x2 ， y2 项 即 可 得 到 3 两 圆 公 切 线 的 条 数 (1 )两 圆 内 含 时 ， 公 切 线 条 数 为 0 ； (2 )两 圆 内 切 时 ， 公 切 线 条 数 为 1 ； (3 )两 圆 相 交 时 ， 公 切 线 条 数 为 2 ； (4 )两 圆 外 切 时 ， 公 切 线 条 数 为 3 ； (5 )两 圆 相 离 时 ， 公 切 线 条 数 为 4 . 因 此 求 两 圆 的 公 切 线 条 数 主 要 是 判 断 两 圆

6、 的 位 置 关 系 ， 反 过 来 知 道 两 圆 公 切 线 的 条 数 ， 也 可 以 判 断 出 两 圆 的 位 置 关系 若 O： x2 y2 5 与 O1 ： (x m)2 y2 2 0 (m R)相 交 于 A、 B两 点 ， 且 两 圆 在点 A处 的 切 线 互 相 垂 直 ， 则 线 段 AB的 长 度 是 .思 路 点 拨 4若 圆 x 2 y2 4 与 圆 x2 y2 2 ay 6 0 (a0 )的 公 共 弦长 为 ， 则 a _.2 3 1巩 固 练 习 ： 1 .求 过 圆 上 的 一 点 (x0 ， y0 )的 切 线 方 程 先 求 切 点 与 圆 心 连 线

7、 的 斜 率 k， 由 垂 直 关 系 知 切 线 斜 率 为 ， 由 点 斜 式 方 程 可 求 切 线 方 程 若 切 线 斜 率 不 存在 ， 则 由 图 形 写 出 切 线 方 程 x x0 .2 求 过 圆 外 一 点 (x0 ， y0 )的 圆 的 切 线 方 程 (1 )几 何 方 法 当 斜 率 存 在 时 ， 设 为 k， 切 线 方 程 为 y y0 k(x x0 )， 即 kx y y 0 kx0 0 .由 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 ， 即 可得 出 切 线 方 程 (2 )代 数 方 法 当 斜 率 存 在 时 ， 设 切 线 方 程 为 y y0

8、 k(x x0 )， 即 y kx kx0 y0 ， 代 入 圆 方 程 ， 得 一 个 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 ， 由 0 ， 求 得 k， 切 线 方 程 即 可 求 出 特 别 警 示 过 圆 外 一 点 作 圆 的 切 线 有 两 条 ， 若 在 解 题 过程 中 只 解 出 一 个 答 案 ， 说 明 另 一 条 直 线 的 斜 率 不 存 在 ， 千万 不 要 发 生 遗 漏 已 知 圆 C： x2 y2 2 x 4 y 3 0 .(1 )若 不 过 原 点 的 直 线 l与 圆 C相 切 ， 且 在 x轴 ， y轴 上 的截 距 相 等 ， 求 直 线 l的 方 程

9、 ；(2 )从 圆 C外 一 点 P(x， y)向 圆 引 一 条 切 线 ， 切 点 为 M， O为 坐 标 原 点 ， 且 有 |PM| |PO|， 求 点 P的 轨 迹 方 程 思 路 点 拨 （ 1 ） x y 1 0 ， 或 x y 3 0 .（ 2 ） 2 x 4 y 3 0 . 1 .直 线 被 圆 截 得 弦 长 的 求 法(1 )几 何 方 法 运 用 弦 心 距 d、 半 径 r及 弦 的 一 半 构 成 直 角 三 角 形 ， 计 算 弦 长 |AB| 2 .(2 )代 数 方 法 设 直 线 y kx m与 圆 (x a)2 (y b)2 r2 相 交 于 A， B两

10、点 ， 将 直 线 方 程 与 圆 的 方 程 联 立 后 ， 整 理 出 关 于 x的 方 程 ， 求 出 x A xB， xAxB， 则 |AB| 2 在 研 究 弦 长 及 弦 中 点 问 题 时 ， 可 设 弦 AB两 端 点 的 坐 标 分 别 为 A(x1 ， y1 )、 B(x2 ， y2 )(1 )若 OA OB(O为 原 点 )， 则 可 转 化 为 x1 x2 y1 y2 0 ， 再 结 合 根 与 系 数 的 关 系 等 代 数 方 法 简 化 运 算 过 程 ， 这 在 解 决 垂 直 关 系 问 题 中 是 常 用 的 ；(2 )若 弦 AB的 中 点 为 (x0 ，

11、 y0 )， 圆 的 方 程 为 x2 y2 r2 ， 则 ， 该 法 叫 点 差 法 ， 常 用 来 解 决 与 弦 的 中 点 、 直 线 的 斜 率 有 关 的问 题 已 知 点 P(0 ,5 )及 圆 C： x2 y2 4 x 1 2 y 2 4 0 .(1 )若 直 线 l过 P且 被 圆 C截 得 的 线 段 长 为 4 ， 求 l的 方 程 ；(2 )求 过 P点 的 圆 C的 弦 的 中 点 的 轨 迹 方 程 思 路 点 拨 （ 1 ） l : 3 x 4 y 2 0 0 或 x 0 .（ 2 ） 所 求 轨 迹 方 程 为 x 2 y2 2 x 1 1 y 3 0 0 .

12、高 考 中 主 要 考 查 方 程 中 有 参 数 的 直 线 与 圆 的 位置 关 系 的 判 断 ， 利 用 相 切 、 相 交 的 条 件 求 参 数 的 范围 ， 利 用 相 切 、 相 交 求 切 线 长 或 弦 长 .难 度 不 是 太 大 ，多 以 选 择 、 填 空 题 为 主 . 1 .过 原 点 且 倾 斜 角 为 6 0 的 直 线 被 圆 x2 y2 4 y 0 所 截 得的 弦 长 为 .2 32 .已 知 集 合 A (x， y)|y x0 ，集 合 B (x， y)|x2 (y a)2 1 ， 若 AB B， 则 a的 取 值 范围 是 .a 2 3 两 圆 x2

13、 y2 6 x 1 6 y 4 8 0 与 x2 y2 4 x 8 y 4 4 0 的 公 切 线 条 数 为 . 24 若 直 线 l： ax by 1 与 圆 C： x2 y2 1 有 两 个 不 同 交 点 ， 则 点 P(a， b)与 圆 C的 位 置 关 系 是 .点 P在 圆 C外 5 设 直 线 2 x 3 y 1 0 和 圆 x2 y2 2 x 3 0 相 交 于 A，B两 点 ， 则 弦 AB的 垂 直 平 分 线 方 程 是 .3x-2y-3=06 以 点 (2 ， 1 )为 圆 心 ， 与 直 线 3 x 4 y 5 0 相 切 的 圆 的 方 程 为 .(x 2)2 (y 1)2 9 7 已 知 ， 圆 C： x2 y2 8 y 1 2 0 ， 直 线 l： ax y 2 a 0 . (1 )当 a为 何 值 时 ， 直 线 l与 圆 C相 切 ； (2 )当 直 线 l与 圆 C相 交 于 A、 B两 点 ， 且 AB 2 时 ， 求 直 线 l的 方 程 3a=-47x y 14 0或 x y 2 0.