测量误差与实验数据处理

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1、2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系大学物理实验测量误差与实验数据处理 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 测 量 与 误 差就 是 借 助 一 定 的 仪 器 或 量 具 ， 通 过 一 定 的 实 验 方 法 将 待测 量 与 一 个 选 作 单 位 的 同 类 量 进 行 比 ， 其 倍 数 即 为 该 待测 量 的 测 量 值 。测 量 值 =读 数 值 (有 效 数 字 )+单 位测 量 值单 位单 位 ： 采 用 国 际 单 位 制 （ SI制 -1971）长 度 （ 米 /m） 、 质 量 （ 千 克 /kg） 、 时 间

2、 （ 秒 /s）电 流 强 度 （ 安 培 /A） 、 温 度 （ 开 尔 文 /K） 、 物 质 的 量 （ 摩 尔 /mol） 、 发 光 强 度 （ 坎 德 拉 /cd） 平 面 角 （ 弧 度 /rad） 、 立 体 角 （ 球 面 度 /sr） 直 接 测 量 ： 直 接 将 待 测 物 理 量 与 选 定 的 同 类 物 理 量 的 标 准 单 位 相 比 较 得 到测 量 值 。 比 如 用 游 标 卡 尺 测 量 某 一 圆 柱 体 的 外 径 ； 用 秒 表 测 量 时间 等 。间 接 测 量 ： 利 用 直 接 测 量 的 量 与 被 测 量 之 间 的 已 知 函 数 关

3、 系 ， 求 得 该 被 测物 理 量 。 例 如 ， 通 过 测 量 流 过 某 一 电 阻 的 电 流 和 其 两 端 的 电 压 而 求得 的 电 阻 值 即 为 间 接 测 量 量 ， 而 电 流 和 电 压 为 直 接 测 量 量 。直 接 测 量 和 间 接 测 量 的 关 系 对 某 一 物 理 量 进 行 测 量 时 ， 采 用 一 种 方 法 时 ， 可 能 为 直 接 测 量量 ， 而 采 用 另 一 种 方 法 是 由 可 谓 间 接 测 量 量 。 当 时 用 万 用 表 测 量 电阻 时 得 到 的 测 量 值 就 为 直 接 测 量 值 ， 而 非 间 接 测 量

4、值 了 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 在 相 同 的 条 件 下 ， 对 某 一 物 理 量 进 行 多 次 测 量 得 到 的 一 组测 量 值 称 作 等 精 度 测 量 。XnXXXX 、 321 指 同 一 时 间 地 点 、 同 一 人 、 相 同 的 测 量 仪 器 和 测 量 环 境 等 条 件 。在 不 同 测 量 的 条 件 下 ， 对 某 一 物 理 量 进 行 多 次 测 量 ， 所 得 的测 量 值 的 精 确 程 度 不 能 认 为 是 相 同 的 ， 称 作 非 等 精 度 测 量 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专

5、 科 学 校 物 理 系 三 、 误 差 及 其 分 类误 差 定 义 ： 测 量 值 与 真 实 值 之 差 称 为 误 差 ， 即 误 差 测 量 值 真 值 0NNN测 量 误 差 又 称 绝 对 误 差 。 真 实 值 无法 知 晓 ？1.根 据 误 差 的 表 示 方 式 ， 误 差 分 为 ：（ 1） 绝 对 误 差 ：（ 2） 相 对 误 差 ： 把 绝 对 误 差 与 真 实 值 之 比 叫 相 对 误 差 ， 即 %1000 NNEr 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系根 据 误 差 产 生 的 原 因 及 误 差 的 性 质 分 为 ：1.系

6、统 误 差 ：2.随 机 误 差 （ 偶 然 误 差 ）3.过 失 误 差 （ 粗 差 ） 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 (4)系 统 误 差 服 从 的 规 律 不 变 的 系 统 误 差 :误 差 的 符 号 和 大 小 都 固 定 不 变 线 性 变 化 的 系 统 误 差 :误 差 值 随 某 些 因 素 作 线 性 变 化 的系 统 误 差 周 期 性 变 化 的 系 统 误 差 :测 量 值 随 某 些 因 素 按 周 期 性 变化 的 误 差 ， 称 为 周 期 性 变 化 复

7、杂 规 律 变 化 的 系 统 误 差 :误 差 是 按 确 定 的 且 复 杂 规 律变 化 如 电 阻 与 温 度 的 关 系 可 用 下 式 表 述 式 中 ， 为 温 度 为 时 的 电 阻 ； 为 温 度 为 时 的 电 阻 ； 和 分别 为 电 阻 的 一 次 和 二 次 温 度 系 数 。 220 )20()20( ttRR R t 20R 020 C 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 (5)系 统 误 差 的 发 现在 测 量 过 程 中 形 成 系 统 误 差 的 因 素 是 复 杂 的 ， 目 前 还 没 有 能 够 适 用 于发 现 各 种

8、 系 统 误 差 的 普 遍 方 法 ， 只 有 根 据 具 体 测 量 过 程 和 测 量 仪 器 进行 全 面 的 仔 细 分 析 ， 针 对 不 同 情 况 合 理 选 择 一 种 或 几 种 方 法 加 以 校 验 ，才 能 最 终 确 定 有 无 系 统 误 差 。 常 用 方 法 有 ： 实 验 对 比 法 ： 主 要 适 用 于 发 现 固 定 系 统 误 差 ， 其 基 本 思 想 是 改 变 产 生 系 统 误 差 的 条 件 ，进 行 不 同 条 件 的 测 量 。 理 论 分 析 法 ： 主 要 进 行 定 性 分 析 来 判 断 是 否 有 系 统 误 差 。 如 分

9、析 仪 器 所 要 求 的 工 作 条 件是 否 满 足 ， 实 验 依 据 的 理 论 公 式 所 要 求 的 条 件 在 测 量 过 程 中 是 否 满 足 ， 如 果这 些 要 求 没 有 满 足 ， 则 实 验 必 有 系 统 误 差 。 数 据 分 析 法 ： 主 要 进 行 定 量 分 析 来 判 断 是 否 有 系 统 误 差 。 一 般 可 采 用 残 余 误 差 观 察 法 、 残 余 误 差 校 验 法 、 不 同 公 式 计 算 标 准 差 比 较 法 、 计 算 数 据 比 较 法 、 检 验 法 、秩 和 检 验 法 等 方 法 。 2008.1 锦 州 师 范 高

10、等 专 科 学 校 物 理 系 由 于 测 量 方 法 、 测 量 对 象 、 测 量 环 境 及 测 量 人 员 不 尽 相 同 ， 因 而 没 有 一个 普 遍 适 用 的 方 法 来 减 小 或 消 除 系 统 误 差 。 下 面 介 绍 几 种 减 小 和 消 除 系 统误 差 的 方 法 和 途 径 。 这 是 消 除 系 统 误 差 最 根 本 的 方 法 ， 通 过 对 实 验 过 程 中 的 各 个 环 节 进 行认 真 仔 细 分 析 ， 发 现 产 生 系 统 误 差 的 各 种 因 素 。 从 产 生 系 统 误 差 的 根 源 上 消 除 措 施 ： 采 用 近 似 性

11、 较 好 又 比 较 切 合 实 际 的 理 论 公 式 ， 尽 可 能 满 足 理 论 公 式所 要 求 的 实 验 条 件 ； 选 用 能 满 足 测 量 误 差 所 要 求 的 实 验 仪 器 装 置 ， 严 格保 证 仪 器 设 备 所 要 求 的 测 量 条 件 ； 采 用 多 人 合 作 ， 重 复 实 验 的 方 法 。 引 入 修 正 项 消 除 系 统 误 差 采 用 能 消 除 系 统 误 差 的 方 法 进 行 测 量 对 于 某 种 固 定 的 或 有 规 律 变 化 的 系 统 误 差 ， 可 以 采 用 交 换 法 、 抵 消 法 、补 偿 法 、 对 称 测 量

12、法 、 半 周 期 偶 数 次 测 量 法 等 特 殊 方 法 进 行 清 除 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 对 称 性 。 测 量 值 与 真 值 相 比 ， 大 于 或 小 于 某 量 的 可 能 性 是 相 等 的 。 有 界 性 。 在 一 定 的 测 量 条 件 下 ， 误 差 的 绝 对 值 不 会 超 过 一 定 的 限 度 。 抵 偿 性 。 随 机 误 差 的 算 术 平 均 值 随 测 量 次 数 的 增 加 越 来 越 小 。 单 峰 性 。 测 量 值 与 真 值

13、相 差 越 小 ， 在 测 量 中 出 现 的 可 能 性 越 大 ；测 量 值 与 真 值 相 差 越 大 ， 则 出 现 的 可 能 性 越 小 。 如 图 1所 示 ， 当 误 差呈 现 正 态 分 布 、 矩 形 分 布 和 三 角 分 布 时 ， 随 机 误 差 具 有 单 峰 性 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 上 面 分 别 单 独 讨 论 了 系 统 误 差 和 随 机 误 差 ， 即 在 不 考 虑 随 机 误 差 的 情 况 下研 究 系 统 误 差 ， 和 在 不 考 虑 系 统 误 差 的 情 况 下 研 究 随 机 误 差 。 然

14、 而 在 实 际 情 况下 ， 对 于 任 何 一 次 实 验 ， 既 存 在 着 系 统 误 差 又 存 在 着 随 机 误 差 ， 只 存 在 一 种 误差 的 实 验 是 不 存 在 的 。 当 然 在 有 些 实 验 中 ， 以 系 统 误 差 为 主 ， 有 些 实 验 中 以 随机 误 差 为 主 。 系 统 误 差 的 特 点 是 具 有 恒 定 性 或 规 律 性 ， 随 机 误 差 的 特 点 是 随 机 性 ，就 其 特 点 而 言 ， 似 乎 这 两 类 误 差 是 可 绝 然 分 开 的 ， 实 际 上 并 非 完 全 如 此 。 比 如分 析 用 刻 度 不 均 匀

15、的 米 尺 测 量 长 度 时 带 来 的 误 差 。 对 于 米 尺 上 某 一 确 定 位 置 的刻 度 值 与 真 值 间 的 误 差 ， 不 论 测 量 多 少 次 都 不 会 改 变 ， 显 然 这 个 误 差 是 系 统 误差 ； 但 对 于 米 尺 各 处 来 讲 ， 每 个 确 定 位 置 的 刻 度 值 与 真 值 之 间 的 误 差 的 大 小 和方 向 都 是 不 确 定 的 ， 具 有 随 机 性 ， 显 然 是 随 机 误 差 。 再 比 如 某 实 验 人 员 在 读 数时 总 是 习 惯 偏 向 一 方 ， 产 生 的 误 差 是 系 统 误 差 ； 而 另 一

16、实 验 人 员 在 读 数 时 没 有偏 向 一 边 的 习 惯 ， 而 是 有 时 偏 左 ， 有 时 偏 右 ， 产 生 的 误 差 无 疑 是 随 机 误 差 。 系统 误 差 和 随 机 误 差 的 这 种 关 系 反 映 出 这 种 分 类 方 式 的 缺 陷 ， 实 验 不 确 定 度 （ 见第 四 节 ） 就 可 以 克 服 这 种 缺 陷 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 在 测 量 中 还 可 能 出 现 错 误 ， 如 读 数 错 误 、 记 录 错误 、 操 作 错 误 、 计 算 错 误 等 ， 由 此 产 生 的 误 差 称 作。

17、这 种 错 误 已 不 属 于 正 常 的 测 量 工 作 范 畴 ， 实验 中 应 当 尽 量 避 免 。 克 服 错 误 的 方 法 ， 除 端 正 工 作 态度 、 保 证 操 作 方 法 无 误 外 ， 可 用 与 另 一 次 测 量 结 果 相比 较 的 办 法 发 现 并 纠 正 。 含 有 过 失 误 差 的 测 量 值 往 往较 大 地 偏 离 正 常 测 量 值 ， 称 作 坏 值 ， 应 当 在 数 据 分 析处 理 过 程 中 给 予 剔 除 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 精 密 度 是 指 重 复 测 量 所 得 的 结 果 相

18、互 接 近 （ 或 离 散 ） 的 程 度 ， 精 密度 的 高 低 反 映 随 机 误 差 的 大 小 。 即 精 密 度 越 高 ， 数 据 越 接 近 ， 随 机 误 差越 小 ； 反 之 随 机 误 差 就 越 大 。 正 确 度 是 指 测 量 值 或 实 验 结 果 与 真 值 的 符 合 程 度 ， 它 的 高 低 反 映 系统 误 差 的 大 小 。 即 正 确 度 越 高 ， 测 量 值 越 接 近 真 值 ， 系 统 误 差 就 越 小 ；反 之 ， 系 统 误 差 就 越 大 。 准 确 度 （ 又 称 精 确 度 ） 是 精 密 度和 正 确 度 的 综 合 反 映 。

19、 当 随 机 误 差 小到 可 以 忽 略 不 计 时 ， 准 确 度 等 于 正 确度 ； 当 系 统 误 差 小 到 可 以 忽 略 或 得 到修 正 消 除 时 ， 准 确 度 等 于 精 密 度 。 两者 都 高 ， 准 确 度 就 高 ； 两 者 之 一 低 或都 低 ， 则 准 确 度 低 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系： 绝 对 误 差 和 相 对 误 差 。 表 示 测 量 结 果 与 真 值 间 的 相 差 范 围 ， 正 负 号“ ”表 示 测 量 结 果 可 能 比 大 或 者 比 小 。 由 测 量 结 果 及 其 绝 对 误差 可

20、 以 看 出 ， 真 值 所 在 的 可 能 范 围 为 ， 或 简 写 为 。：表 示 绝 对 误 差 在 所 测 物 理 量 中 所 占 的 比 重 ， 一 般 用 百 分 比 表 示 。 (单 位 ) XX X XX X X 100%r X XE X X XX XXXXX ( )X X X 100%r XE X 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系一 、 单 次 直 接 测 量 的 误 差 估 计 在 一 般 情 况 下 ， 可 用 仪 器误 差 仪 (仪 器 出 厂 时 的 检 定 )作 为 绝 对 误 差 。1.对 于 连 续 读 数 仪 表 ， 误 差

21、取 最 小 分 度 值 的 一 半 ；2.对 于 有 游 标 的 量 具 和 非 连 续 读 数 的 仪 表 ， 误 差 仪 取 最 小 分 度 值 ；3.对 于 某 些 仪 器 ， 其 不 确 定 度 限 值 仪 需 要 计 算 ：（ a） 指 针 式 电 表 的 等 于 量 程 与 等 级 的 乘 积（ b） 电 阻 箱 的 等 于 示 值 乘 以 等 级 再 加 上 零 值 电 阻（ c） 用 天 平 测 量 物 体 质 量 的 等 于 各 砝 码 不 确 定 度 之 和 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 等 精 度 测 量 ： 是 指 测 量 条 件 完

22、 全 相 同 的 多 次 测 量 。 相 同 的 条 件 是指 相 同 的 观 测 者 、 相 同 的 仪 器 、 相 同 的 测 量 环 境 等 等 。 1 2 11 1( ) nn iiX X X X Xn n ni XXXX ， 21 n X假 设 对 某 一 物 理 量 进 行 了 次 等 精 度 测 量 ， 其 测 量 值 分 别 为 ， 则 的 算 术 平 均 值 因 真 值 不 可 知 ， 故 将 测 量 值 的 算 术 平 均 值 作 为 测 得 值的 最 佳 估 计 值 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系设 每 一 次 测 量 值 与 算 术

23、 平 均 值 的 差 值 为1 1 2 2 n nX X = X X = X X = ， ， ， ，在 普 通 物 理 实 验 中 ， 通 常 采 用 算 术 平 均 误 差 作 为 绝 对 误 差 范 围1 21 ( )nX n X XX它 表 示 对 物 理 量 做 任 意 一 次 测 量 ， 测 量 误 差 出 现 在 到之 间 的 概 率 为 58 相 对 误 差 100%r XE X 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 当 测 量 次 数 无 限 多 时 ， 各 测 量 值 的 误 差 平 方 平 均 值 的 平 方 根 ， 称 作 ，用 表 示 ， 即

24、 i iX X iXn 2 22 2 21 2 1 1 ( ). n ni in i i X Xn n n X 22 2 2 21 2 1 11 ( )1 1 1n i nn iX iidd d d X Xn n n XXd ii 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 标 准 偏 差 的 物 理 意 义 多 次 测 量 的 随 机 误 差 遵 从 正 态 分 布 ， 那 么 任 意 一 次 测 量 ， 测 量值 误 差 落 在 到 之 间 的 可 能 性 为 68.3 ， 或 者 说 ， 对 某一 次 测 量 结 果 ， 真 值 在 区 间 内 到 的 概 率 为

25、68.3 。X X XX XX O x68.3%)(Xf XXX XX XX 2 95.4% XX 2 XX 3XX 3 99.7% 399.7% 极 限误 差 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系经 理 论 推 导 测 量 值 算 术 平 均 值 的 标 准 误 差 为 ： X21 ( )( 1)n ii XX X Xn n n n 1 nXX 平 均 值 的 标 准 误 差 是 次 测 量 中 任 一 次 测 量 值 标 准 误 差 的 倍 。其 物 理 意 义 是 ， 在 多 次 测 量 的 随 机 误 差 遵 从 正 态 分 布 的 条 件 下 ， 对 多次

26、 测 量 结 果 ， 真 值 在 区 间 内 的 概 率 为 68.3 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 例 1用 型 电 位 差 计 测 量 某 一 电 阻 的 端 电 压 6次 ， 测 量数 据 列 入 下 表 ， 试 表 达 测 量 结 果 。 31UJ次 数 1 2 3 4 5 6(电 压 ) 15.526 15.529 15.530 15.528 15.527 15.528611 1 (15.526 15.529 15.530 15.528 15.527 15.528) 15.5286 6iiV V 解 ： 其 算 术 平 均 值 为1 23 45

27、 615.526 15.528 0.002 15.529 15.528 0.00115.530 15.528 0.002 15.528 15.528 0.00015.527 15.528 0.001 15.528 15.528 0.000d dd dd d ；平 均 值 的 标 准 误 差 为 ： 2 2 2 2 2 2 2 6 41 ( ) (2 1 2 0 1 0 ) 10 5.16 10( 1) 6(6 1)n iiV V Vn n 15.528 0.001VV V 0.001100% 100% 0.006%15.528VrE V 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物

28、 理 系直 接 测 量 所 得 的 结 果 都 是 有 误 差 的 ， 显 然 由 直 接 测 量 值经 过 运 算 而 得 到 的 间 接 测 量 值 也 有 误 差 。 由 直 接 测 量 值 的 误 差 估 算间 接 测 量 误 差 的 方 法 叫 做 误 差 传 递 。 设 ： ),( 21 nXXXfN nXXX , 21N N 若 各 直 接 测 量 值 的 绝 对 误 差 分 别 为 ， 则 间 接 测 量值 的 绝 对 误 差 为 ， 其 计 算 方 法 如 下 ：将 上 式 求 全 微 分 ， 得 nn dXXfdXXfdXXfdXXfdN 332211 nn XXfXXfX

29、XfXXfN 332211 ),( 321 nXXXXf NNNE 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系21 XXN 22 21 XXN 21 XXN 22 21 XXN 21 XXN 2221 )()( 21 XXN XXN 21XXN 2221 )()( 21 XXN XXN nXN XnN XN n XN XnN XN 1 XN X cos XN X sinXlnN XXN sinXN XcosN 运 算 关 系 标 准 误 差 传 递 公 式 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系1 2 32 2 2 21 2 3( ) ( ) (

30、 ) ( )nN X X X Xnf f f fX X X X 若 各 直 接 测 量 值 的 绝 对 误 差 分 别 为 标 准 误 差 则 间 接 测 量 值 的 误 差 估 算 需 要 用 误 差 的 方 根 合 成 ， 即),( 321 nNNr XXXXfNE 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 例 2 某 一 长 度 ， ， 其 中 ， ； ； 试 计 算 其 结 果 及 误 差 。 4321 XXXXL mm.X 05000501 mm.X 0500542 mm.X 05063123 mm.X 005001314 解 ： mm.L 3234)0031

31、63120540050( mmmmL 09.0005.005.005.005.0 2222 mmLLL )09.032.34( %3.0%10032.3409.0 LE Lr 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 例 3：用 螺 旋 测 微 器 分 别 测 量 某 圆 柱 体 不 同 部 位 的 直 径 和 不 同 部 位 的 高 各8次 ， 得 到 下 列 数 据 ， 表 示 出 结 果 。 d h/nd/cmcmh/ (次 数 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 平 均值(直 径 ) 1.6499 1.6591 1.6476 1.6586 1.6479 1.64

32、82 1.6492 1.6489 1.6487(高 ) 2.0004 1.9993 2.0000 2.0010 2.0010 2.0015 1.9995 1.9990 2.0002 cmcmdcmcmd cmcmdcmcmd cmcmdcmcmd cmcmdcmcmd 0002.06487.16489.10005.06487.16492.1 0005.06487.16482.10008.06487.16479.1 0001.06487.16486.10011.06487.16476.1 0004.06487.16491.10012.06487.16499.1 87 65 43 21 ，解 ：

33、各 测 量 值 偏 差 的 绝 对 值 分 别 为 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系18 0002.00005.00005.00008.00001.00011.00004.00012.0 22222222 1 )(1 2 n ddni id同 理 可 以 求 出 cmh 0009.0圆 柱 体 的 体 积 hdV 241 cmcm 0002.2)6487.1(14159.341 2 327024 cm.VE Vr %1.00002.2 0009.06487.1 0008.022 2222 hd hd 33 004.0%1.02702.4 cmcmVErV 3)0

34、04.0270.4( cmVV V 测 量 结 果 为 ： 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，测量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。实际上，这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方法来表征，这就是“不确定度”的评定，在测量方法正确的情况下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。 不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要求而需再投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害

35、。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 不 确 定 度 是 表 征 测 量 结 果 具 有 分 散 性 的 一 个 参 数 ，它 是 被 测 量 的 真 值 在 某 一 量 值 范 围 内 的 一 个 评 定 。 不 确 定 度 根 据 其 性 质 和 估 算 方 法 不 同 ， 可 分 为 A类 不 确定 度 和 B类 不 确 定 度 。 A类 不 确 定 度 是 被 测 量 列 能 用 统 计方 法 估 算 出 来 的 不 确 定 度 分 量 ， 用 实 验 标 准 差 表 征 ， 即为 ； B类 不 确 定 度 则 是 不 能 用 统 计 方 法 估 算 的

36、 所 有 不确 定 度 分 量 ， 用 表 示 。A BuA类 不 确 定 度 分 量 的 估 算 ， 直 接 由 测 量 列 平 均 值 的 标准 误 差 公 式 来 计 算 。 即 211 ( )( 1) nA iX i X Xnn n 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 B类 不 确 定 度 分 量 的 估 算 ， 最 常 用 的 方 法 是采 用 近 似 标 准 差 估 算 非 统 计 不 确 定 度 。 当 非 统 计 不 确 定 度 相 应 的 估 计 误 差 为 高 斯分 布 时 有 ： 当 非 统 计 不 确 定 度 相 应 的 估 计 误 差 为

37、 均 匀 分 布 (方 法 、 环 境 、 数 字 仪 表 等 误 差 分 布 )时 有 ：3Bu 3Bu 仪 器为 非 统 计 不 确 定 度 相 应 的 估 计 误 差 限 ， 通 常 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系合 成 不 确 定 度 ， 即 A类 和 B类 不 确 定 度 的 总 和 ， 其 合成 公 式 为 ： kj jkj j u1 21 2式 中 ， 为 合 成 不 确 定 度 ； 为 任 一 A类 不 确 定 度 分 量 ， 为 任一 B类 不 确 定 度 分 量 。 j ju 上式为合成不确定度的计算公式，它是由多个彼此间相互独立的统计和非

38、统计不确定度的方根和。合成不确定度表明在测量过程中所有不确定度因素对测量结果的合成影响。 是 以 确 定 的 置 信 概 率 所 给 出 的 与 合 成 不 确 定 度 成正 比 的 置 信 区 间 。 即 CU 式 中 ， 为 总 不 确 定 度 ； 为 置 信 因 子 ； 为 合 成 不 确 定 度 。 U C 总 不 确 定 度 即 在 一 定 置 信 概 率 下 所 对 应 的 置 信 区 间 的 范 围 。当 置 信 概 率 为 68.3 时 ， 置 信 因 子 为 1； 当 置 信 概 率 为 95.4 时 ，置 信 因 子 为 2； 当 置 信 概 率 为 99.7 时 ， 置

39、信 因 子 为 3。 一 般 物理 实 验 中 取 与 标 准 差 相 对 应 的 置 信 概 率 68.3 ， 故 总 不 确 定 度 就等于 合 成 不 确 定 度 。C C C 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 由 直 接 测 量 量 的 不 确 定 度 引 起 的 间 接 测 量 量 的 不确 定 度 传 递 公 式 ， 如 同 标 准 差 传 递 公 式 一 样 。 设 间 接测 量 量 N的 函 数 为 ， 则 , CBAf 232221 )()()( 321 XXXN XfXfXf 2 32221 )()()(1 321 XXXN XfXfXfNN

40、 用 总 不 确 定 度 表 示 测 量 结 果 的 形 式 为N N U P=( )(单 位 ) (写 出 置 信 度 值 ) 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 当 置 信 度 时 ， ， 则 (单 位 ) ( ， 可 不 写 ) 当 置 信 度 时 ， ， 则 (单 位 ) ( ) 当 置 信 度 时 ， ， 则 (单 位 ) ( )683.0P U NN 683.0P 2U954.0P 9970.P 954.0P2NN 3U3NN 997.0P 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 一 、 有 效 数 字 的 概 念 在 测 量

41、 数 据 的 各 数 字 中 ， 既 有 没 有 误 差 的 可 靠 数字 ， 又 有 含 有 误 差 的 可 疑 数 字 。 我 们 把 可 靠 数 字 和 数 据 最 末 的 一 位 可 疑 数 字 统 称 为有 效 数 字 。 一 般 规 定 ， 数 值 中 的 可 靠 数 字 与 所 保 留 的 1位 (或 2位 )可 疑 数 字 ， 统 称 为 有 效 数 字 。 测 量 结 果 用 有 效 数 字表 示 ， 可 以 反 映 测 量 的 准 确 度 。 (1)一 个 物 理 量 的 测 量 值 和 数 字 的 一 个 数 有 着 不 同 的 意 义 ； (2)对 于 十 进 制 单

42、位 变 换 ， 只 涉 及 小 数 点 位 置 改 变 ， 而 不 允 许改 变 有 效 位 数 ； (3)实 验 结 果 的 最 后 1位 数 字 应 与 绝 对 误 差 对 齐 ， 绝 对 误 差 最 多写 2位 ， 相 对 误 差 也 是 如 此 。 （ 1） 非 测 量 值 （ 如 公 式 中 的 常 数 ， 实 验 次 数 等 ） 不 是 有 效 数 字 ，如 ， e等 不 是 有 效 数 字 。 （ 2） 在 测 量 数 据 中 ， 左 边 第 一 位 非 零 数 字 之 前 的 零 不 是 有 效 数字 ， 但 数 据 中 间 和 末 尾 的 零 应 算 为 有 效 数 字 。

43、（ 3） 记 录 数 据 时 ， 不 可 随 便 增 （ 减 ） 零 。 对 测 量 数 据 而 言 ， 尽管 它 们 在 数 字 上 相 等 ， 8.605cm 8.6050cm。 要 特 别 强 调 的 是 ：记 录 原 始 测 量 数 据 时 ， 一 定 要 反 映 出 测 量 器 具 的 测 量 精 度 。 （ 4） 在 换 算 单 位 时 应 保 持 有 效 数 字 位 数 不 变 。 （ 5） 注 意 科 学 计 数 法 的 正 确 形 式 。 即 把 数 据 写 成 小 数 点 前 只 保留 一 位 整 数 ， 后 面 再 乘 以 10的 方 幂 的 形 式 2008.1 锦 州

44、 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 （ 6） 表 示 测 量 值 最 后 结 果 的 有 效 数 字 尾 数 与 不 确 定 度 的 尾 数一 定 要 取 齐 。 同 时 ， 我 们 规 定 ： 普 通 物 理 实 验 中 的 最 终 测 量 量（ 待 测 量 ） 的 不 确 定 度 取 一 位 ； 相 对 误 差 取 两 位 。xxx %?xE保 留 1位尾 数 对 齐 保 留 2位 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系CBAY cm.A )503302( cm.B )012064223( cm.C )00505641( 例 1已 知 ， ，试 问 计

45、算 结 果 应 保 留 几 位 数 字 ?=302.3+23.6-1.4=324.5Y (cm)Y cm=(324.5 0.5) =0.15YY 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系？ 5208345 .看 一 下 具 体 的 运 算 过 程 便 一 目 了 然 。 见运 算 式 ， 因 为 一 个 数 字 与 一 个 可 疑 数 字相 乘 ， 其 结 果 必 然 是 可 疑 数 字 ， 所 以 ，由 上 面 的 运 算 过 程 可 见 ， 小 数 点 前 面 第 1位 的 “ 9”及 其 以 后 的 数 字 都 是 可 疑 数 字 。按 照 保 留 1位 可 疑

46、数 字 的 原 则 ， 计 算 结 果应 写 成 110， 为 3位 有 效 数 字 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系， 如 31723331772133761 .BBAANN 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 例 题 3. 用 千 分 尺 、 游 标 卡 尺 、 物 理 天 平 作 为 测 量 器 件 测 量 一 小 圆柱 体 的 物 质 密 度 。 D 游 标 卡尺 Vm Hrm2 HDm24物 理 天 平 H 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系次 数 n 1 2 3 4 5D(mm)H(mm

47、) mm004.0千 mm02.0游g05.0 天m(g) .5 iDD .15 2 DDS iD .22 千 DD S .15 2 HHS iH .22 游 HH Smm gm 05.0天.4 2 HDm %?)()()2( 222 mHDE mHD 保 留 2位. E 尾 数 对 齐5 iHH 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 3.乘 方 运 算乘 方 运 算 的 有 效 数 字 位 数 与 其 底 数 的 有 效 数 字 位 数 相 同 。4.对 数 、 三 角 函 数 和 次 方 运 算它 们 的 计 算 结 果 必 须 按 照 误 差 传 递 公 式

48、来 决 定 有 效 数 字位 数 ， 而 不 可 以 用 前 面 所 述 的 简 算 方 法 。y lnA3000 8 0063676y lnA=ln . 1 2 0 00073000y A .A 0007.00064.8ln Ay 0 009y . %y 例 4 已 知 A 3000 2， 计 算解 ： 由 计 算 器 算 ：按 照 误 差 传 递 公 式 可 得结 果 为 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 310 4100 000345 139. 4 2 63.45 10 1.39 10 (3

49、.45 1.39) 10 0.00173 0.000013 4 853 103417311034110731 .0.000846 41046.8 21046.8 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 32128.6 52.36 76.2 76.2 1.7 100.128 0.0826 0.044 4.4 10 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 从 获 得 原 始 数 据 到 得 出 结 论 为 止 的 数 据 加 工 过 程 若 对 某 一 物 理 量 进 行 了 多 次 测 量 ， 或 要 测 量 几 个 量 之 间 的 函 数 关

50、 系时 ， 一 般 要 用 列 表 法 处 理 数 据 。优 点 ：使 大 批 数 据 条 理 化 ， 清 晰 醒 目 ， 易 于 检 查 数 据 ， 发 现 问 题 ， 有 利于 反 映 物 理 量 之 间 的 对 应 关 系 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系作 图 规 则 ：（ 1） 选 择 合 适 的 坐 标 分 度 值 。 要 反 映 出 测 量 值 的 有 效 数 字（ 2） 标 明 坐 标 轴 。 坐 标 轴 为 物 理 参 量（ 3） 标 实 验 点 。 用 “ ” 或 “ ”（

51、 4） 连 点 成 线 。 用 光 滑 的 曲 线（ 5） 写 明 图 线 特 征 。 从 图 线 上 得 出 的 某 些 参 数（ 6） 写 图 名 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 三 、 图 解 法图 解 法 是 根 据 已 经 做 好 的 数 据 图 线 ， 应 用 解 析 的 方 法 ， 求 出 物 理 量所 对 应 的 函 数 关 系 和 有 关 参 量 。步 骤 如 下 ：1.选 点 。 在 直 线 上 取 相 距 较 远 的 两 点 ， 用 与 实 验 数据 点 不 同 的 记 号 表 示 ， 在 记 号 旁 注 明 其 坐 标 值 。 所

52、选 两 点 相 距 不 能过 近 。 不 能 在 实 验 数 据 范 围 以 外 选 点 ， 因 为 它 已 无 实 验 依 据 。 )()( 2211 y,xBy,xA 、2.求 斜 率 。 直 线 方 程 为 bkxy A B， 将 和 两 点 坐 标 值 代 入 2 1 2 1y yk x x 3.求 截 距 。 若 坐 标 起 点 为 零 ， 则 可 将 直 线 用 虚 线 延 长 得 到 与 纵 坐 标 轴 的 交 点 ， 便 可 求 出 截 距 。 若 起 点 不 为 零 ， 则 可 用 下 式 计 算 截 距 。2 1 1 22 1x y x yb x x 2008.1 锦 州

53、师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 四 、 逐 差 法 是 实 验 数 据 处 理 常 用 的 方 法 之 一 。 由 误 差 理 论 知 道 ， 算 术 平 均值 最 接 近 于 真 值 ， 因 此 在 实 验 中 应 尽 可 能 实 现 多 次 测 量 。 但 在 一 些 实验 中 ， 如 简 单 地 取 各 次 测 量 的 平 均 值 ， 并 不 能 达 到 好 的 效 果 。 例 如 为 了 测 量 弹 簧 的 劲 度 系 数 K， 将 弹 簧 挂 在 装 有 竖 直 标 尺 的 支 架 上 。先 记 下 弹 簧 端 点 在 标 尺 上 的 读 数 ， 然 后 依 次 加 上

54、10N， 20N， 70N的 力 ， 则 可 读 得 七 个 标 尺 读 数 ， 它 们 分 别 为 ， 其 相 应 的弹 簧 长 度 变 化 量 为 ： ， 721 , xxx 0 x 011 xxx 677122 , xxxxxx 1 0 2 1 7 6 7 0( ) ( ) ( )7 7x x x x x x x xx 中 间 数 值 全 部 抵 消 ， 未 能 起 到 平 均 的 作 用 ， 只 使 用 了 始 末 两 次 的 测 量值 ， 与 力 一 次 增 加 70N,的 单 次 测 量 等 价 。 由 此 可 见 ， 不 能 用 这 样 的 平均 方 法 进 行 平 均 值 的

55、处 理 。N 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系为 了 保 持 多 次 测 量 减 少 随 机 误 差 的 优 越 性 ， 通 常 把 数 据 分 成 两 组 ；3210 , xxxx 7654 , xxxx1 4 0 2 5 1 3 6 2 4 7 3, , ,x x x x x x x x x x x x 则 平 均 值 为1 2 3 44x x x xx 4 0 5 1 6 2 7 3( ) ( ) ( ) ( )4x x x x x x x x 可 见 ， 在 逐 差 法 中 每 个 数 据 在 平 均 值 内 部 都 起 了 作 用 ， 保 持 多 次 测 量 的优 越 性 。 2008.1 锦 州 师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系