函数单调性与曲线的凹凸性

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1、拐 点函 数 的 单 调 性 与 曲 线 的第 四 节 一 、 单 调 性 的 判 别 法 点二 、 曲 线 的 凹 凸 性 及 拐三 、 小 结 及 作 业 一 、 单 调 性 的 判 别 法xyo )(xfy xyo )(xfy a bA B0)( xf 0)( xf定 理 .,)( 0)(),()2(, )(0)(),(1. ),(,)( 上 单 调 减 少在那 末 函 数 ，内如 果 在上 单 调 增 加 ；在 ， 那 末 函 数内如 果 在）（导 内 可上 连 续 ， 在在设 函 数 baxfy xfbaba xfyxfba babaxfy a bBA 证 ),(, 21 baxx

2、,21 xx 且 应 用 拉 氏 定 理 ,得).(),)()()( 211212 xxxxfxfxf ,012 xx由 ,0)(),( xfba 内 ，若 在 ,0)( f则).()( 12 xfxf 从 而 .,)( 上 单 调 增 加在故 baxfy ,0)(),( xfba 内 ，若 在 ,0)( f则 ).()( 12 xfxf 从 而 .,)( 上 单 调 减 少在故 baxfy 上 的 单 调 性 。在讨 论 ,sin 20 xxy 例 1解 ),2,0(,0cos1 xxy因 为 上 单 调 增 加 。在所 以 2,0sin xxy 例 2解 .1的 单 调 性讨 论 函 数

3、xey x.1 xey ,)0,( 内在 ,0y 函 数 单 调 减 少 ；,),0( 内在 ,0y .函 数 单 调 增 加 ).,(: D定 义 域 例 3解 .)( 3 2 的 单 调 区 间确 定 函 数 xxf ).,(: D定 义 域 32( ) , ( 0)3f x xx .,0 导 数 不 存 在时当 x 时 ，当 0 x ,0)( xf 上 单 调 增 加 ；在 ),0)( xf时 ，当 x0 ,0)( xf 上 单 调 减 少 ；在 0,()( xf故 单 调 区 间 为 ，0,( ).,0 3 2xy 注 意 (1)函 数 的 单 调 性 是 一 个 区 间 上 的 性

4、质 要 用 导数 在 这 一 区 间 上 的 符 号 来 判 定 ， 而 不 能 用 一 点 处 的导 数 符 号 来 判 别 一 个 区 间 上 的 单 调 性 （ 2） 函 数 在 整 个 定 义 域 上 不 一 定 是 单 调 的 ， 但 在不 同 的 区 间 上 具 有 单 调 性 ， 且 改 变 单 调 性 的 点 只 可能 是 的 点 及 导 数 不 存 在 的 点 0)( xf 上 不 单 调在如 ,sin 20 xy 2 23 2且上 单 调但 在 , 2,23,23,2,2,0 .0)23()2( ff .0点 不 可 导 但 改 变 单 调 性在再 如 xxy （ 3） 讨

5、 论 函 数 单 调 性 的 步 骤 ：） 1 确 定 函 数 的 定 义 域 ； 2 求 函 数 导 数 为 零 的 点 及 一 阶 导 数 不 存 在 的 点 ； 3 这 些 点 将 定 义 域 分 成 若 干 个 小 区 间 ， 列 表 讨 论. （ 4） 区 间 内 个 别 点 导 数 为 零 ,不 影 响 区 间 的 单 调 性 .例 如 , ,3xy ,00 xy .),( 上 单 调 增 加但 在 x 3xy 例 4 确 定 函 数 31292)( 23 xxxxf 的 单 调 区 间 .解 12186)( 2 xxxf ),2)(1(6 xx令 ,0)( xf 得 .2,1 x

6、xx)(xf )(xf )1,( 20 01 )2,1( ),2( 2 1故 )(xf 的 单 调 增 区 间 为 ,)1,().,2( )(xf 的 单 调 减 区 间 为 ).2,1( 例 5证 .)1ln(,0 成 立试 证时当 xxx ),1ln()( xxxf 设 .1)( xxxf 则 ,0)(),0(,),0)( xfxf 可 导 ，上 连 续在因 ,),0)( 上 单 调 增 加在故 xf ,0)0( f又时 ，因 此 当 0 x ,0)1ln( xx ).1ln( xx 即 式利 用 单 调 性 可 证 明 不 等)5( ,0)0()( fxf 例 6 时 ，当 20 x .

7、21sin 2xxe x 证 明证 明 ),21(sin)( 2xxexf x 作 .20 x ,cos)(,0)0( xxexff x .0cos)(,0)0( xexff x因 此 单 调 减 少 , ,0)0()( fxf 单 调 减 少 ，)(xf,0)0()( fxf 单 调 减 少 , ,0)0()( fxf也 就 是 0)21(sin 2 xxe x .21sin 2xxe x )(xf ,1sin)(,0)0( xexff x)(xf 例 7 .0123 只 有 一 个 实 根证 明 xxx证 明 1)( 23 xxxxf令 123)( 2 xxxf ,032)31(3 2 x

8、上 严 格 单 调 增 加 ，在故 ),()( xf .根所 以 方 程 最 多 有 一 个 实,01)0( f又 051248)2( f 上 至 少 有 一 实 根 ，在从 而 0,2)( xf .即 方 程 只 有 一 个 实 根 问 题 :如 何 研 究 曲 线 的 弯 曲 方 向 ? xyo xyo 1x 2x)(xfy 图 形 上 任 意 弧 段 位于 所 张 弦 的 上 方xyo )(xfy 1x 2x图 形 上 任 意 弧 段 位于 所 张 弦 的 下 方 A B C点二 、 曲 线 的 凹 凸 性 及 拐 1. 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 的 定 义定 义 1. 设 函 数

9、 )(xf 在 区 间 上 连 续 , , 21 Ixx (1)若 恒 有 ,2 )()()2( 2121 xfxfxxf 则 称 的 图 形)(xf 是 凹 的 ;(2)若 恒 有 ,2 )()()2( 2121 xfxfxxf 则 称 的 图 形)( xf函 数 图 形 上 凹 凸 的 分 界 点 称 为拐 点 . 是 凸 的 . y o x2x1x 2 21 xx yo x1x 2 21 xx 2xI 2、 曲 线 凹 凸 的 判 定xyo )(xfy xyo )(xfya bA B递 增)(xf a bBA0y 递 减)(xf 0y定 理 1 .,)(,0)()2( ;,)(,0)()

10、1( ),(, ),(,)( 上 的 图 形 是 凸 的在则 上 的 图 形 是 凹 的在则 内若 在二 阶 导 数 内 具 有在上 连 续在如 果 baxfxf baxfxf ba babaxf 例 1 判 断 曲 线 4xy 的 凹 凸 性 .解 ,4 3xy .212xy 当 0 x 时 ,0y 0 x 时 0y故 曲 线 4xy 在 ),( 上 是 凹 的 . x 例 2 .3 的 凹 凸 性判 断 曲 线 xy 解 ,3 2xy ,6xy 时 ，当 0 x ,0y 为 凸 的 ；曲 线 在 0,(时 ，当 0 x ,0y .),0 为 凹 的在曲 线 .)0,0( 是 曲 线 的 拐

11、 点点注 意 到 , 例 3 求 曲 线 3 xy 的 拐 点 . 解 ,3231 xy .3592 xyxyy 0)0,( ),0( 不 存 在0 因 此 点 (0,0)为 曲 线 3 xy 的 拐 点 . 改 变 凹 凸 性 的 点 只 可 能 是 二 阶 导 数 为 零 及 二 阶导 数 不 存 在 的 点 .判 别 曲 线 的 凹 凸 性 及 拐 点 的 方 法 步 骤 ：（ a） 求 出 ；（ b） 求 出 使 的 点 及 不 存 在 的 点 ；（ c） 检 查 在 这 些 点 左 右 两 边 的 符 号 ,从 而 决 定 曲 线 的 凹 凸 区 间 及 拐 点 。 )(xf 0)(

12、 xf )(xf 注 意 例 4 求 曲 线 143 34 xxy 的 凹 凸 区 间 及 拐 点 .解 1) 求 y ,1212 23 xxy xxy 2436 2 ),(36 32 xx2) 求 拐 点 ,可 疑 点 坐 标令 0y 得 ,0 3221 xx 对 应3) 列 表 判 别 271121 ,1 yy)0,( ),0( 32 32 ),( y xy 0 32 0 01 2711 点 (0,1)及 ),( 271132 均 为 拐 点 . 32)1,0( ),( 271132故 该 曲 线 在 ),32(),0,( ,内 是 凹 的 )32,0( 是 凸 的 , 5例 证 明 不

13、等 式 ).0,0(2ln)(lnln yxyxyxyyxx证 明 ,)(ln)( 0 zzzzf令 ,ln)( 1 zzf ),0(01)( zzzf.)( 是 凹 函 数因 此 zf ).()(21)2( yfxfyxf 从 而 ,2ln2)lnln(21 yxyxyyxx 即 .2ln)(lnln yxyxyyxx 故 有 三 、 小 结 单 调 性 的 判 别 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 重要 应 用 . 定 理 中 的 区 间 换 成 其 它 有 限 或 无 限 区 间 ,结论 仍 然 成 立 . 应 用 ： 利 用 函 数 的 单 调 性 可 以 确 定 某 些 方程

14、实 根 的 个 数 和 证 明 不 等 式 .曲 线 的 弯 曲 方 向 凹 凸 性 ;凹 凸 性 的 判 定 .改 变 弯 曲 方 向 的 点 拐 点 ; 拐 点 的 求 法 1, 2. 15143 P习 题1,3(2,5),4(1,2,4),5,8(1,2),9(2),11. 思 考 题 设 )(xf 在 ),( ba 内 二 阶 可 导 ， 且 0)( 0 xf ， 其 中 ),(0 bax ， 则 ,( 0 x )( 0 xf 是 否 一 定 为 曲 线 )(xf 的 拐 点 ？ 举 例 说 明 . 思 考 题 解 答 因 为 0)( 0 xf 只 是 ,( 0 x )( 0 xf 为

15、 拐 点的 必 要 条 件 ， 故 ,( 0 x )( 0 xf 不 一 定 是 拐 点 .例 4)( xxf ),( x 0)0( f 但 )0,0( 并 不 是 曲 线 )(xf 的 拐 点 . 一 、 填 空 题 ： 1、 若 函 数 )(xfy 在 （ ba, ） 可 导 ， 则 曲 线 )(xf 在 ( ba, ) 内 取 凹 的 充 要 条 件 是 _. 2、 曲 线 上 _的 点 ， 称 作 曲 线 的 拐 点 . 3、 曲 线 )1ln( 2xy 的 拐 点 为 _. 4、 曲 线 )1ln( xy 拐 点 为 _. 二 、 求 曲 线 xey arctan 的 拐 点 及 凹

16、 凸 区 间 . 三 、 利 用 函 数 图 形 的 凹 凸 性 ， 证 明 不 等 式 ： 22 yxyx eee )( yx . 四 、 求 曲 线 2sin2 cot2ay ax 的 拐 点 . 练 习 题 五 、 试 证 明 曲 线 112 xxy 有 三 个 拐 点 位 于 同 一 直 线上 . 六 、 问 a 及 b 为 何 值 时 ， 点 (1,3)为 曲 线 23 bxaxy 的 拐 点 ？ 七 、 试 决 定 22 )3( xky 中 k 的 值 ,使 曲 线 的 拐 点 处的 法 线 通 过 原 点 . 一 、 1、 ),()( baxf 在 内 递 增 或 0)(),(

17、xfbax ； 2、 凹 凸 部 分 的 分 界 点 ； 3、 2,(),2),2,2( 2 e ； 4、 )2ln,1(),2ln,1( . 二 、 拐 点 ),21( 21arctane ,在 21,( 内 是 凹 的 , 在 ),21 内 是 凸 的 . 四 、 拐 点 )23,332( aa 及 )23,332( aa . 五 、 ).)32(4 31,32(),)32(4 31,32(),1,1( 练 习 题 答 案 六 、 29,23 ba . 七 、 82k . 思 考 题 若 0)0( f ， 是 否 能 断 定 )(xf 在 原 点 的充 分 小 的 邻 域 内 单 调 递

18、增 ？ 思 考 题 解 答不 能 断 定 . 例 0,0 0,1sin2)( 2 x xxxxxf )0(f )1sin21(lim0 xxx 01但 0,1cos21sin41)( xxxxxf )212( 1kx当 时 ， 0)212( 41)( kxf kx 21当 时 ， 01)( xf注 意 可 以 任 意 大 ， 故 在 点 的 任 何 邻域 内 ， 都 不 单 调 递 增 k 00 x)(xf 一 、 填 空 题 ：1、 函 数 71862 23 xxxy 单 调 区 间 为 _ _.2、 函 数 21 2 xxy 在 区 间 -1,1上 单 调 _， 在 _上 单 调 减 .3

19、、 函 数 22 ln xxy 的 单 调 区 间 为 _， 单 减 区 间 为 _.二 、 确 定 下 列 函 数 的 单 调 区 间 ： 1、 xxxy 694 10 23 ；2、 3 2)(2( xaaxy ( 0a )； 3、 xxy 2sin . 练 习 题 三 、 证 明 下 列 不 等 式 ：1、 当 0 x 时 ， 22 1)1ln(1 xxxx ； 2、 当 4x 时 ， 22 xx ；3、 若 0 x ， 则 361sin xxx . 四 、 方 程 )0(ln aaxx 有 几 个 实 根 .五 、 设 )(xf 在 ba, 上 连 续 ， 在 ( ba, )内 )(xf

20、 ,试 证 明 ： 对 于 ba, 上 任 意 两 1x ， 2x 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 提 示 ： 方 法 （ 1） 0)( xf ， )(xf 单 增 ； 方 法 （ 2） 0)( xf ， 利 用 泰 勒 公 式 一 、 1、 ),3,1,( 单 调 增 加 , 3,1 单 调 减 少 ； 2、 增 加 , ),1,1,( 3、 1,( , ),1 ； 1,0(,1,(;1,0(),0,1 . 二 、 1、 在 ),1,21,0(),0,( 内 单 调 减 少 , 在 1,21 上 单 调 增 加 ； 2、 在 ),32,( aa 内 单 调 增 加 , 在 ,32 aa 上 单 调 减 少 ； 练 习 题 答 案 3、 在 32,2 kk 上 单 调 增 加 , 在 22,32 kk 上 单 调 减 少 , ),2,1,0( k .四 、 (1) ea 1 时 没 有 实 根 ； (2) ea 10 时 有 两 个 实 根 ；(3) ea 1 时 只 有 ex 一 个 实 根 .