P问题、NP难问题详解

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1、王培磊王培磊 浅谈P问题、NP问题、NPC问题及NP难问题ContentsContentsP问题问题1NP问题问题、2NPC问题问题3NP难问题难问题4时间复杂度时间复杂度时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间，而是当问题规模扩大后，程序需要的时间长度增长得有多快。不管数据有多大，程序处理花的时间始终是那么多的，我们就说这个程序很好，具有O(1)的时间复杂度，也称常数级复杂度；数据规模变得有多大，花的时间也跟着变得有多长，这个程序的时间复杂度就是O(n)。时间复杂度时间复杂度多项式级的复杂度。如 O(1),O(log(n),O(na)等 因为它的规模n出现在底数的位置！时间复杂度时

2、间复杂度非多项式级的 如：O(an)和O(n!)等！P P问题问题如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于P问题。我们常见到的一些信息奥赛的题目都是P问题。？P问题问题 VS NP问题问题？NPNP问题问题首先：首先：NP问题不是非问题不是非P类问题类问题！NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题可以在多项式可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。的时间里猜出一个解的问题。像像Hamilton回路问题。回路问题。在这个题中，找一个解很困难，但验证一个解很容易。在这个题中，找一个解很困难，但验证一个解很容易。当然

3、有不是当然有不是NP问题的问题，即咱猜到了解但是没用，因为咱不能在多项式的问题的问题，即咱猜到了解但是没用，因为咱不能在多项式的时间里去验证它。时间里去验证它。如下面这个：如下面这个：我们已经知道我们已经知道Hamilton回路是回路是NP问题，因为验证一条路是否恰好经过问题，因为验证一条路是否恰好经过了每一个顶点非常容易。但我们把问题换成这样：试问一个图中是否不存在了每一个顶点非常容易。但我们把问题换成这样：试问一个图中是否不存在Hamilton回路。这样问题就没法在多项式的时间里进行验证了，因为除非你试回路。这样问题就没法在多项式的时间里进行验证了，因为除非你试过所有的路，否则你不敢断定它

4、过所有的路，否则你不敢断定它“没有没有Hamilton回路回路”。已经知道所有的已经知道所有的P类问题都是类问题都是NP问题。问题。那反之呢？其实就那反之呢？其实就一句话：证明或推翻一句话：证明或推翻P=NP 这就是所谓的这就是所谓的“NP问题问题”！NPCNPC问题（一）问题（一）人们普遍认为，人们普遍认为，P=NP不成立不成立多数人相信，存在至少一个不可多数人相信，存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的能有多项式级复杂度的算法的NP问题问题这就是这就是NPC问题问题。Reducibility(“约化约化”或或“归约归约”)：一个问题一个问题A可以约化为问题可以约化为问题B的含义的含义即

5、是，可以用解决问题即是，可以用解决问题B的解法来解决问题的解法来解决问题A，或者说，问题，或者说，问题A可以可以“变变成成”问题问题B。如：一元一次方程可以如：一元一次方程可以“归约归约”为一元二次方程。为一元二次方程。问题问题A可可“约化约化”为问题为问题B直观意义：直观意义：B的时间复杂度高于或者等于的时间复杂度高于或者等于A的的时间复杂度。也就是说，问题时间复杂度。也就是说，问题A不比问题不比问题B难。难。很显然，约化具有一项重要的性质：约化具有传递性。如果问题很显然，约化具有一项重要的性质：约化具有传递性。如果问题A可约可约化为问题化为问题B，问题，问题B可约化为问题可约化为问题C，则

6、问题，则问题A一定可约化为问题一定可约化为问题C。NPCNPC问题（二）问题（二）现在再来说一下约化的标准概念就不难理解了：如果能找现在再来说一下约化的标准概念就不难理解了：如果能找到这样一个变化法则，对任意一个程序到这样一个变化法则，对任意一个程序A的输入，都能按的输入，都能按这个法则变换成程序这个法则变换成程序B的输入，使两程序的输出相同，那的输入，使两程序的输出相同，那么我们说，问题么我们说，问题A可约化可约化为问题为问题B。注：我们所说的注：我们所说的“可约化可约化”是指的可是指的可“多项式地多项式地”约化约化(Polynomial-time Reducible)，即变换输入的方法是能

7、在，即变换输入的方法是能在多项式的时间里完成的。约化的过程只有用多项式的时间多项式的时间里完成的。约化的过程只有用多项式的时间完成才有意义。完成才有意义。NPCNPC问题（三）问题（三）NPC问题问题 p问题问题 P问题NP问题问题 p问题问题 约化约化 约化约化NPCNPC问题（四）问题（四）总结：总结：定义：定义：同时满足下面两个条件的问题就是同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。首先，问题。首先，它得是一个它得是一个NP问题；然后，所有的问题；然后，所有的NP问题都可以约化到问题都可以约化到它。它。证明：证明：先证明它至少是一个先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知问题，再证

8、明其中一个已知的的NPC问题能约化到它问题能约化到它 NP-HardNP-Hard问题问题NP-Hard问题：其满足问题：其满足NPC问题定义的第二条但不一定要问题定义的第二条但不一定要满足第一条（就是说，满足第一条（就是说，NP-Hard问题要比问题要比 NPC问题的范围问题的范围广，但不一定是广，但不一定是NP问题）。问题）。NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法，但它不列入我问题同样难以找到多项式的算法，但它不列入我们的研究范围，因为它不一定是们的研究范围，因为它不一定是NP问题。即使问题。即使NPC问题发问题发现了多项式级的算法，现了多项式级的算法，NP-Hard问题有可能仍然无法

9、得到问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上，由于多项式级的算法。事实上，由于NP-Hard放宽了限定条件，放宽了限定条件，它将有可能比所有的它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难问题的时间复杂度更高从而更难以解决。以解决。NPCNPC问题（补充）问题（补充）？NPC问题存在吗问题存在吗?NPCNPC问题（补充）问题（补充）逻辑电路问题逻辑电路问题:给定一个逻辑电路，问是否存在一种输入给定一个逻辑电路，问是否存在一种输入使输出为使输出为True。这是第一个这是第一个NPC问题。其它的问题。其它的NPC问题都是由这个问题约问题都是由这个问题约化而来的。因此，逻辑电路问题是化而来

10、的。因此，逻辑电路问题是NPC类问题的类问题的“鼻祖鼻祖”。我们知道，一个逻辑电路由若干个输入，一个输出，若干我们知道，一个逻辑电路由若干个输入，一个输出，若干“逻辑门逻辑门”和密密麻麻的线组成，如下图：和密密麻麻的线组成，如下图：NPCNPC问题（补充）问题（补充）有输出无论如何都不可能为有输出无论如何都不可能为True的逻辑电路吗？的逻辑电路吗？NPCNPC问题（补充）问题（补充）逻辑电路问题属于NPC问题它显然属于NP问题，并且可以证明所有的NP问题都可以约化到它。其大概意思是说任意一个其大概意思是说任意一个NP问题的问题的输入和输出都可以转换成逻辑电路输入和输出都可以转换成逻辑电路的输入和输出（想想计算机内部也的输入和输出（想想计算机内部也不过是一些不过是一些 0和和1的运算），因此对的运算），因此对于一个于一个NP问题来说，问题转化为了问题来说，问题转化为了求出满足结果为求出满足结果为True的一个的一个 输输入（即一个可行解）。入（即一个可行解）。