求导法则复合函数求导

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1、求 导 法 则 目 的 与 要 求v掌 握 导 数 运 算 法 则 和 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式 , 能 熟 练 的 求 初 等 函 数 的 一 阶 ,二 阶 导 数v掌 握 复 合 函 数 的 求 导v掌 握 隐 函 数 所 确 定 的 函 数 的 一 、 二 阶 导 数v理 解 二 阶 导 数 的 物 理 意 义 1 2 22 2 2 2 1. 0 2.( ) 3. ln1 14. (log ) . (ln )ln5. sin cos 6. cos sin1 17. tan 8. cotcos sin1 19. arcsin 10. s 1 11 111. arctan

2、12. cot1 1 n n x xaC x nx a a ax esp xx a xx x x xx xx x x arcco xx xx arc xx x 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 一 、 和 、 差 、 积 、 商 的 求 导 法 则定 理 并 且可 导 处 也在 点分 母 不 为 零们 的 和 、 差 、 积 、 商 则 它处 可 导在 点如 果 函 数, )( ,)(),( xxxvxu ).0)()( )()()()()( )()3( );()()()()()()2( );()()()()1( 2 xvxv xvxuxvxuxv xu xvxuxvxuxvxu x

3、vxuxvxu 推 论 ;)()()1( 11 ni ini i xfxf );()()2( xfCxCf ;)()( )()()( )()()()()3( 1 1 21 211 ni nikk ki n nni i xfxf xfxfxf xfxfxfxf 二 、 例 题 分 析例 1 .sin2 23 的 导 数求 xxxy 解 23xy x4例 2 .ln2sin 的 导 数求 xxy 解 xxxy lncossin2 xxxy lncoscos2 xxx ln)sin(sin2 xxx 1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2 xxxx 例 3 .tan 的 导 数求

4、 xy 解 )cossin()(tan xxxy x xxxx 2cos )(cossincos)(sin x xx 2 22cos sincos xx 22 seccos1 .sec)(tan 2 xx 即 .csc)(cot 2 xx 同 理 可 得 例 4 .sec 的 导 数求 xy解 )cos1()(sec xxy xx2cos )(cos .tansec xxxx2cossin .cotcsc)(csc xxx 同 理 可 得 例 5 ).(,0),1ln( 0,)( xfxx xxxf 求设解 ,1)( xf,0时当 x ,0时当 x h xhxxf h )1ln()1ln(li

5、m)( 0 )11ln(1lim0 xhhh ,1 1 x ,0时当 x hhf h )01ln()0(lim)0( 0 ,1hhf h )01ln()0(1lnlim)0( 0 ,1.1)0( f .0,1 1 0,1)( xx xxf 二 、 复 合 函 数 的 求 导 法 则定 理 ).()(, )(,)( )(,)( 000 00 00 xufdxdyx xfyxu ufyxxuxx 且 其 导 数 为可 导 在 点则 复 合 函 数可 导在 点 而可 导在 点如 果 函 数即 因 变 量 对 自 变 量 求 导 ,等 于 因 变 量 对 中 间 变量 求 导 ,乘 以 中 间 变 量

6、 对 自 变 量 求 导 .(链 式 法 则 ) 推 广 ),(),(),( xvvuufy 设 . )(dxdvdvdududydxdy xfy 的 导 数 为则 复 合 函 数 例 6 .sinln 的 导 数求 函 数 xy 解 .sin,ln xuuy dxdududydxdy xu cos1 xxsincos xcot 例 7 .)1( 102 的 导 数求 函 数 xy解 )1()1(10 292 xxdxdy xx 2)1(10 92 .)1(20 92 xx例 8 .arcsin22 222 的 导 数求 函 数 axaxaxy 解 )arcsin2()2( 222 axaxa

7、xy 22 222 222 22121 xaaxa xxa .22 xa )0( a 例 9 .)2(21ln 3 2 的 导 数求 函 数 xxxy解 ),2ln(31)1ln(21 2 xxy )2(3 121121 2 xxxy )2(3 112 xx x例 10 .1sin 的 导 数求 函 数 xey 解 )1(sin1sin xey x )1(1cos1sin xxe x.1cos1 1sin2 xex x 三 、 隐 函 数 的 导 数定 义 : .)( 称 为 隐 函 数由 方 程 所 确 定 的 函 数 xyy .)( 形 式 称 为 显 函 数xfy 0),( yxF )(

8、xfy 隐 函 数 的 显 化问 题 :隐 函 数 不 易 显 化 或 不 能 显 化 如 何 求 导 ?隐 函 数 求 导 法 则 :用 复 合 函 数 求 导 法 则 直 接 对 方 程 两 边 求 导 . 例 11 ., 00 x yxdxdydxdyy eexy的 导 数 所 确 定 的 隐 函 数求 由 方 程解 ,求 导方 程 两 边 对 x 0 dxdyeedxdyxy yx解 得 ,yx ex yedxdy ,0,0 yx由 原 方 程 知000 yxyxx ex yedxdy .1 例 12 . ,)23,23( ,333线 通 过 原 点 在 该 点 的 法并 证 明 曲

9、线的 切 线 方 程点 上求 过的 方 程 为设 曲 线 C CxyyxC 解 ,求 导方 程 两 边 对 x yxyyyx 3333 22)23,23(2 2)23,23( xy xyy .1所 求 切 线 方 程 为 )23(23 xy .03 yx即2323 xy法 线 方 程 为 ,xy 即 显 然 通 过 原 点 . 例 13 .)1,0(,144 处 的 值在 点求设 yyxyx 解 求 导 得方 程 两 边 对 x )1(044 33 yyyxyx 得代 入 1,0 yx ;4110 yxy求 导 得两 边 再 对将 方 程 x)1( 04)(12212 3222 yyyyyxy

10、x 得4110 yxy,1,0 yx代 入 .16110 yxy 四 、 反 函 数 的 导 数定 理 .)(1)(, )(,0)( )( xxfI xfyy Iyxx y 且 有内 也 可 导 在 对 应 区 间那 末 它 的 反 函 数且 内 单 调 、 可 导在 某 区 间如 果 函 数即 反 函 数 的 导 数 等 于 直 接 函 数 导 数 的 倒 数 . 例 14 .arcsin 的 导 数求 函 数 xy 解 ,)2,2(sin 内 单 调 、 可 导在 yIyx ,0cos)(sin yy且 内 有在 )1,1( xI)(sin1)(arcsin yx ycos1 y2sin1

11、 1 .1 1 2x.1 1)(arccos 2xx 同 理 可 得 ;1 1)(arctan 2xx .1 1)cot( 2xx arc 五 、 对 数 求 导 法观 察 函 数 .,)4( 1)1( sin23 xx xyex xxy 方 法 :先 在 方 程 两 边 取 对 数 , 然 后 利 用 隐 函 数 的 求 导方 法 求 出 导 数 . -对 数 求 导 法适 用 范 围 : .)( )( 的 情 形数多 个 函 数 相 乘 和 幂 指 函 xvxu 例 15解 142)1(3 111)4( 1)1( 23 xxxex xxy x等 式 两 边 取 对 数 得 xxxxy )4

12、ln(2)1ln(31)1ln(ln 求 导 得上 式 两 边 对 x 142)1(3 111 xxxyy .,)4( 1)1( 23 yex xxy x 求设 例 16解 .),0(sin yxxy x 求设等 式 两 边 取 对 数 得 xxy lnsinln 求 导 得上 式 两 边 对 x xxxxyy 1sinlncos1 )1sinln(cos xxxxyy )sinln(cossin xxxxx x 一 般 地 )0)()()( )( xuxuxf xv )()(1)(ln xfdxdxfxfdxd 又 )(ln)()( xfdxdxfxf )( )()()(ln)()()( )

13、( xu xuxvxuxvxuxf xv )(ln)()(ln xuxvxf 六 、 高 阶 导 数 的 定 义问 题 :变 速 直 线 运 动 的 加 速 度 .),(tfs 设 )()( tftv 则 瞬 时 速 度 为 的 变 化 率对 时 间是 速 度加 速 度 tva .)()()( tftvta定 义 .)()(, )()(lim)( ,)()( 0 处 的 二 阶 导 数在 点为 函 数则 称存 在 即处 可 导在 点的 导 数如 果 函 数 xxfxf x xfxxfxf xxfxf x 记 作 .)(,),( 2222 dx xfddxydyxf 或 记 作阶 导 数的函 数

14、 阶 导 数 的 导 数 称 为的函 数一 般 地 ,)( 1)(, nxf nxf .)(,),( )()( nnnnnn dx xfddxydyxf 或三 阶 导 数 的 导 数 称 为 四 阶 导 数 , 二 阶 和 二 阶 以 上 的 导 数 统 称 为 高 阶 导 数 . .)(;)(, 称 为 一 阶 导 数称 为 零 阶 导 数相 应 地 xfxf .,),( 33dxydyxf 二 阶 导 数 的 导 数 称 为 三 阶 导 数 , .,),( 44)4()4( dxydyxf 七 、 高 阶 导 数 求 法 举 例例 1 ).0(),0(,arctan ffxy 求设解 21

15、 1xy )1 1( 2 xy 22 )1( 2xx)1( 2( 22 xxy 322 )1( )13(2 xx 022 )1( 2)0( xxxf 0322 )1( )13(2)0( xxxf;0 .2直 接 法 : 由 高 阶 导 数 的 定 义 逐 步 求 高 阶 导 数 . 例 2 .),( )(nyRxy 求设 解 1 xy )( 1 xy 2)1( x 3)2)(1( x)1( 2 xy )1()1()1()( nxny nn 则为 自 然 数若 ,n )()( )( nnn xy ,!n )!()1( ny n .0 例 3 .),1ln( )(nyxy 求设 解注 意 : xy

16、 1 1 2)1( 1xy 3)1( !2xy 4)4( )1( !3xy )1!0,1()1( )!1()1( 1)( nxny nnn 求 n阶 导 数 时 ,求 出 1-3或 4阶 后 ,不 要 急 于 合 并 ,分 析 结 果 的 规 律 性 ,写 出 n阶 导 数 .(数 学 归 纳 法 证 明 ) 例 4 .,sin )(nyxy 求设 解 xy cos )2sin( x)2cos( xy )22sin( x )22sin( x)22cos( xy )23sin( x )2sin()( nxy n )2cos()(cos )( nxx n同 理 可 得 作 业 (习 题 二 )12； 14; 15; 19; 20. 隐 函 数 求 导 法 则 : 直 接 对 方 程 两 边 求 导 ;对 数 求 导 法 : 对 方 程 两 边 取 对 数 ,按 隐 函 数 的 求导 法 则 求 导 ;反 函 数 的 求 导 法 则 （ 注 意 成 立 条 件 ） ;