方差比例问题

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1、总 体 方 差 及 比 例 的 推 断 统 计 有 关 样 本 方 差 的 抽 样 分 布 2分 布 用 于 单 样 本 方 差 的 抽 样 分 布 F 分 布 用 于 两 个 样 本 方 差 的 抽 样 分 布 2分 布 的 定 义 设 随 机 变 量 X1， X2， ， Xn相 互 独 立 ， 且都 服 从 标 准 正 态 分 布 ， 则 称 随 机 变 量 服 从 自 由 度 df为 n的 2分 布 ， 记 作 ni in XXXX 1 2222212 . 22 n 2分 布 图 2分 布 2分 布 的 概 率 密 度 函 数 为 （ n为 自 由 度 ） 2有 以 下 特 点 ： 2分

2、 布 呈 正 偏 态 ， 右 侧 无 限 延 伸 ， 但 永 不 与 基 线 相 交 ； 2分 布 随 自 由 度 的 变 化 而 形 成 一 簇 分 布 形 态 ； 2分 布 具 有 可 加 性 。 自 由 度 越 大 ， 2分 布 形 态 趋 于 正 态 分 布 ， 即 2 N(n, 2n) )0(0 )0(2 1)( 12222 xxxexf nxnn 单 样 本 方 差 的 抽 样 分 布 设 （ X1， X2， ， Xn） 是 抽 自 正 态 分 布总 体 XN(,2)的 一 个 容 量 为 n的 简 单 随机 样 本 ， 则 2 12 221 2 )1()( nni i SnXX

3、例 题 某 灯 具 厂 的 灯 泡 的 使 用 寿 命 服 从 正 态 分布 ， 总 体 方 差 为 5626， 问 随 机 抽 取 的 40只 灯 泡 的 S值 介 于 70和 80小 时 之 间 的 概 率是 多 少 ？ 。 Chi-square: (44.365, 33.967) P: (.25578, .69845) F 分 布 的 定 义 若 且 X1与 X2相 互 独 立 ， 则 称 随 机 变 量所 服 从 的 分 布 为 F分 布 ， （ n1， n2） 为 F分布 的 自 由 度 ， 记 为21 1 nX 22 2 nX 22 11 / nX nXF ),(22 11 21/

4、 nnFnX nXF F分 布 若 从 方 差 相 同 的 两 个 正 态 总 体 中 ， 随 机抽 取 两 个 独 立 样 本 ， 以 此 为 基 础 ， 分 别求 出 两 个 相 应 总 体 方 差 的 估 计 值 ， 这 两个 总 体 方 差 估 计 值 的 比 值 称 为 F比 值 ， F比 值 的 抽 样 分 布 称 为 F分 布 。 F分 布 的 形态 随 F比 值 分 子 和 分 母 中 自 由 度 的 变 化 而形 成 一 簇 正 偏 态 分 布 。 F分 布 F 分 布 的 密 度 函 数 )0(0 )0()1()()2()2( 2/)()( 22112212121 21 2

5、11x xxnnxnnnnnn nnxf nnn F 分 布 图 F分 布 的 数 学 期 望 与 方 差2)( 2 2 nnXE )4()2( )2(2)( 2221 2122 nnn nnnXD 双 样 本 方 差 的 抽 样 分 布 若 （ X1， X2， ， Xn1） 是 独 立 地 抽 自 总体 X1N(1， 12)的 一 个 容 量 为 n1的 样 本 ，（ Y1， Y2， ， Yn2） 是 独 立 地 抽 自 总 体X2N(2， 22)的 一 个 容 量 为 n2的 样 本 ， 当 1 2 时 ， 统 计 量 )1,1(2221222 222 121 211 21)1/()1(

6、)1/()1( nnFSSnSn nSnF 样 本 比 例 的 抽 样 分 布 设 总 体 中 具 有 某 种 特 征 的 单 位 占 全 部 单 位 的比 例 称 为 总 体 比 例 ， 记 作 p； 样 本 中 具 有 该 种 特 征 的 单 位 占 全 部 单 位 的 比例 称 为 样 本 比 例 ， 记 作 p。 当 样 本 容 量 为 n时 ， 样 本 中 具 有 该 种 特 征 的单 位 数 X服 从 二 项 分 布 ， 样 本 比 例 p也 服 从二 项 分 布 。 而 且 对 于 p， 有 E(p)=E(X/n)=E(X)/n=p D(p)=D(X/n)=D(X)/n2= p(

7、1- p)/n 在 大 样 本 情 况 下 ， 若 np5、 n(1-p)5， 则 pN(p, p(1- p)/n) 样 本 比 例 之 差 的 抽 样 分 布 设 有 两 个 独 立 的 样 本 ， 第 一 个 样 本 比 例p1来 自 正 态 总 体 N(p1, p1q1/n1)， 第 二 个 样本 比 例 p2来 自 正 态 总 体 N(p2, p2q2/n2)， 则 p1 - p2 N (p1-p2, (p1q1/n)+(p2q2/n2) 2 221 11 2121 )1()1( )()( n ppn pp ppppZ 正 态 总 体 方 差 的 区 间 估 计待 估参 数 已 知 条

8、 件 置 信 区 间 备 注 XN(,2) 自 由 度df=n-1 2 1,21 22 1,2 2 )1(,)1( nn SnSn 例 题 某 厂 抽 取 40只 某 型 灯 泡 ， 测 得 其 平 均 使用 寿 命 为 4800小 时 ， S=300小 时 。 试 以95%的 置 信 水 平 估 计 该 型 灯 泡 的 方 差 及标 准 差 。 (60392.29,148389.28) (245.75, 385.21) 总 体 比 率 的 区 间 估 计 在 大 样 本 情 况 下 ， 总 体 比 率 的 置 信 区 间 为 )1,0()1( 2Nn pp ppZ 1)1()1( 22 n

9、ppZppn ppZpP 总 体 比 率 之 差 的 区 间 估 计 在 大 样 本 的 情 况 下 总 体 比 率 的 置 信 区 间 1)1()1()( )1()1()( 2 221 11221 212 221 11221 n ppn ppZpp ppn ppn ppZppP 2 221 11 2121 )1()1( )()( n ppn pp ppppZ 例 题 某 校 在 2500名 学 生 中 随 机 调 查 了 200名 学生 ， 发 现 他 们 平 均 每 天 体 锻 不 少 于 1小 时的 学 生 有 72人 。 试 以 95%的 置 信 水 平 估计 全 校 学 生 每 天

10、体 锻 不 少 于 1小 时 的 比 例 。 (0.296, 0.424) 例 题 两 个 牙 膏 厂 生 产 两 种 不 同 的 药 物 牙 膏 。对 使 用 A厂 牙 膏 的 350人 及 使 用 B厂 牙 膏的 325人 分 别 进 行 调 查 。 发 现 在 使 用 A厂牙 膏 的 350人 中 105人 效 果 明 显 ， 在 使 用 B厂 牙 膏 的 325人 中 130人 效 果 明 显 。 试 估计 两 个 厂 牙 膏 效 果 明 显 者 所 占 比 例 之 差 。置 信 水 平 为 0.95。 (-0.172, -0.028) 总 体 方 差 的 假 设 检 验已 知 条 件

11、 假 设 检 验 统 计 量 H 0的 拒 绝 域XN(,2) H 0:2 02H 1:202 df=n-1 22/2,n-1221-/2,n-1H 0: 202H 1: 2 02 221-,n-1H 0: 20H 1: 2 02 22,n-12 22 )1( Sn 例 题 靠 山 乡 水 稻 亩 产 服 从 方 差 为 5625的 正 态分 布 。 今 年 在 实 割 前 进 行 的 估 产 中 ， 随机 抽 取 了 10亩 地 ， 亩 产 分 别 为 ： 540，632， 674， 680， 694， 695， 708， 736，780， 845。 问 ： 根 据 以 上 资 料 ， 能

12、否 认为 靠 山 乡 水 稻 亩 产 的 方 差 没 有 变 化 ？ 0.19688.10)1(7.2 2 22 Sn 总 体 方 差 之 比 的 假 设 检 验已 知 条 件 假 设 检 验 统 计 量 H 0的 拒 绝 域两 总 体 均 服从 正 态 分 布 H 0:12 22H 1:1222 分 子 自 由 度 为 第一 自 由 度 ， 分 母自 由 度 为 第 二 自由 度 FF/2H 0:1222H 1:12 22 FFH 0:1222H 1:12 22 ),min( ),max( 2221 2221 SS SSF 例 题 对 25名 男 生 和 16名 女 生 的 智 力 测 验

13、结 果表 明 ， 男 生 的 总 体 方 差 的 估 计 值 为 64，女 生 为 49。 问 ： 测 验 结 果 是 否 说 明 性 别不 影 响 该 测 验 成 绩 的 分 散 程 度 ？ F = 1.306 2.29 总 体 比 例 的 假 设 检 验 总 体 比 例 两 个 总 体 比 例 之 差 n pp ppZ )1( 2 221 11 21 )1()1( )( n ppn pp ppZ 例 题 某 校 进 行 一 次 调 查 问 卷 ， 询 问 师 生 员 工对 学 分 制 改 革 的 态 度 。 结 果 ， 被 抽 取 的80个 人 中 ， 有 64个 表 示 赞 成 。 问 这 个 比例 是 否 显 著 高 于 75%？ 例 题 从 甲 乙 两 个 学 校 中 抽 取 本 科 生 进 行 普 通话 测 试 。 甲 校 300人 中 有 90人 成 绩 优 良 ，乙 校 350人 中 有 140人 成 绩 优 良 ， 试 判 断两 个 学 校 本 科 生 普 通 话 优 良 率 有 无 显 著差 异 （ 令 = 0.05） 。