拉压的应力和变形

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1、41 工程实际中的轴向受拉和受压杆42轴向受拉和受压杆的内力 截面法43轴向受拉和受压杆横截面上的应力44轴向拉压杆斜截面上的应力45轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定理第4章 轴向拉压时杆件的应力和变形计算 1. 工 程 实 例41 工程实际中的轴向受拉和受压杆工 程 中 有 大 量 的 受 拉 和 受 压 的 杆件 ， 例 如（ 1） 门 柱 因 屋 顶 重 量 而 受 压（ 图 4.1-1）（ 2） 吊 杆 因 桥 身 重 量 而 受拉 伸 （ 图 4.1-2） 图 4.1-1 图 4.1-2 （ 3） 简 化 为 桁 架 的 桥 梁 构 架 ,各 杆 受 拉 或 压 （ 图 4.1-3）

2、图 4.1-3 （ 4） 起 重 机 的 吊 缆 （ 5） 内 燃 机 的 推 拉 杆 图 4.1-4 3.外 力 特 征 ： 外 力 合 力 作 用 线 与 杆 轴 重 合4.变 形 特 征 ： 杆 件 受 力 后 ，轴 线 变 长 ， 称 为 拉 伸 （ 图 4.1-4a）轴 线 变 短 ， 称 为 压 缩 （ 图 4.1-4b）发 生 拉 伸 和 压 缩 的 前 提 条 件 是 : （ 1） 杆 轴 为 直 线 （ 2） 外 力 合 力 作 用 线 与 杆 轴 重 合2. 杆 件 特 征 ： 杆 轴 为 直 线 图 4.1-5 5.计 算 模 型 图 4.1-5表 示 拉 杆 的 计 算

3、 模 型 ， 在 进 行 计 算 时 ，杆 轴 表 示 实 际 的 杆 件 思 考 题 42轴向受拉和受压杆的内力 截面法 图 4.2-12. 截 面 法 求 内 力 （ 轴 力 ) 1.内 力 ： 因 外 力 作 用 而 引 起 的 杆 内 部 质 点 间 相 互 作 用 力 的 改 变一 . 轴 力c)取 杆 的 左 边 或 右 边 为 脱 离 体体 ， 由 平 衡 方 程 得 到 相 同 的 轴力 N: S X = 0, N = Pb)代 以 约 束 内 力 （ 反 力 ） N,因 为 此力 通 过 横 截 面 形 心 （ Centroid） ，且 沿 杆 的 轴 线 方 向 ， 故 称

4、 N为 轴 力（ Axial force） （ 图 4.2-1） 。 a） 解 除 内 部 约 束 ， 即 用 假 想 横 截 面 m-m将 杆 分 为 两 部 份 图 4.2-2轴 力 N的 方 向 以 箭 头 背 离 横 截 面 者 为 正 ， 称 为 拉 力（ 图 4.2-1） ， 反 之 为 负 ， 称 为 压 力 （ 图 4.2-2） 。 3. 符 号 规 定 ： 图 4.2-3 二 . 画 轴 力 图 （ Axial force diagram）表 示 轴 力 沿 杆 轴 的 变 化 的 图 形 称 为 轴 力 图 。拉 力 表 以 正 号 ， 画 在 坐 标 轴 正 向 ；压 力

5、 表 以 负 号 。 平 行 杆 轴 的 直 线 为 坐 标 x， 代 表 横 截 面 位 置 ；垂 直 杆 的 直 线 为 坐 标 N， 表 示 轴 力 的 大 小 与 正 负 。 为 画 轴 力 图 方 便 ， 求 内 力 时 常 设 拉 力 ，如 求 出 为 正 值 ， 则 画 在 坐 标 轴 正 向 ； 如 求 出 为 负 值 ， 则 画 在 坐 标 轴 负 向 。 图 4.2-4 图 示 多 力 杆 ， 在 自 由 端 A受 载 荷 P， 而 在 截 面 B受 中 间 载 荷 2P，试 求 多 力 杆 的 轴 力 ， 并 画 轴 力 图 。例 题 1解 ： 1.分 别 使 用 截 面

6、 法 于 第 一 段 （ 图 b）和 第 二 段 （ 图 c） ， 保 留 左 边 为 自 由体 ， 并 假 定 轴 力 均 为 拉 力2.由 平 衡 条 件 S X = 0 即 ： N1-P=0 及 N2-P+2P=0，得 N 1=P 及 N2=-P。 3.画 轴 力 图 ， 拉 力 画 在 坐 标 轴 正 向 ，压 力 画 在 坐 标 轴 负 向 （ 图 4.2-4d） 图 4.2-5 图 示 杆 受 自 重 ， 已 知 单 位 杆 长 L， 自 重 为 r， 试 画 轴 力 图 。 例 题 2解 ： （ 1） 由 总 体 平 衡 方 程 ： 得 支 反 R =rL（ 2） 由 截 面 法

7、 无 论 保 留 自 由 体 或 自 由 体 平 衡 ， 均 得 相 同 的 轴 力 N： 对 自 由 体 ， 可 得 SX = 0, N = -rx 对 自 由 体 ， 可 得 SX = 0, N = (L-x)- R=-rx （ 3） 按 比 例 画 轴 力 图 。 自 由 体 的 选 取 以 方 便 为 原 则 ， 用 截 面 法 将 杆 截 开 后 ， 无 论保 留 杆 的 哪 部 份 平 衡 ， 均 可 得 到 相 同 的 结 果 。支 反 力 属 于 外 力 ， 没 有 符 号 设 定 ， 其 方 向 可 以 任 设 。 如 计算 结 果 为 正 ， 只 说 明 假 设 方 向 与

8、 实 际 相 同 ， 如 计 算 结 果 为负 ， 只 说 明 假 设 方 向 与 实 际 相 反 。要 点 ： 例 3 图 示 杆 的 A、 B、 C、 D点 分 别 作 用 着 大 小 为 5P、 8P、 4P、 P 的 力 ， 方向 如 图 ， 试 画 出 杆 的 轴 力 图 。1 2 3 4A B C DPA PB PC PDO 1 2 3 4轴 力 图 N x2P 3P 5P P+ 例 4 试 求 图 示 的 各 杆 1-1、 2-2、 3-3截 面 上 的 轴 力 ， 并 作 轴 力 图 。11 2 332kN40 kN20kN30(a) 1 32(b)1 2 3F F F F1

9、1 22 33(c)4F F 11 2 332kN40 kN20kN30kN40 kN20kN30n (a)kN50 (a 1)kN50 kN20kN10NFo x-+ 解 (a) 由 截 面 法 得 杆 1-1、 2-2、 3-3截 面 上 的 轴 力 分 别 为 作 轴 力 图如 图 (a1)所 示 。kNFN 5011 kNFN 1022 kNFN 2033 , , 1 32(b)1 2 3F F F FF P P F(b1)n NFo xF F+ (b) 由 截 面 法 得 杆 1-1、 2-2、 3-3截 面 上 的 轴 力 分 别 为作 轴 力 图 如 图 (b1)所 示 。FFN

10、 11 022 NF FFN 33, , (c) 由 截 面 法 得 杆 1-1、 2-2、 3-3截 面 上 的 轴 力 分 别 为作 轴 力 图 如 图 (c1)所 示 。011 NF FFN 422 FFN 333 , ,11 22 33(c)4F F4F F 3Fn (c1)NFo x4F 3F+ q q LxO 20 11 21d)( kxxkxxN x 2max 21)( kLxN 例 5 图 示 杆 长 为 L， 受 分 布 力 q = kx 作 用 ， 方 向 如 图 ， 试 画 出 杆 的 轴 力 图 。Lq(x) 解 ： x 坐 标 向 右 为 正 ， 坐 标 原 点 在

11、自 由 端 。取 左 侧 x 段 为 对 象 ， 内 力 N(x)为 ：Nxxq(x)N xO 22kL 43轴向受拉和受压杆横截面上的应力1.横 截 面 上 的 应 力 如 何 得 出 拉 杆 正 应 力 的 计 算 公 式 ？ 因为 应 力 组 成 内 力 ， 所 以 首 先 要 借 助 如 下 三个 静 力 学 方 程 ： 杆 的 横 截 面 上 有 无 限 多 个 微 面 dA。 每 一 微 面 dA上 的 正 应 力 均 为 未 知 量 ,因 此 有无 限 多 个 未 知 量 。 然 而 目 前 只 有 三 个 静 力 学 方 程 ， 顾 应 力 分 布 的 性 质 是 静 不 定的

12、 。 需 要 建 立 补 充 方 程 。 因 为 变 形 与 应 力 密 切 相 关 ， 于 是 可 首 先 观 察 杆 件 表 面的 变 形 规 律 ， 进 而 对 内 部 的 变 形 作 出 假 设 ， 得 出 正 应 力 均 匀 分 布 的 结 论 。图 4.3 1NydAy cA A dA NzdAz cA 4-3-14-3-24-3-3判 断 杆 在 外 力 作 用 下 是 否 会 破 坏 ， 不 但 要 知 道 内 力 大 小 ， 还 要 知 道 内 力 在横 截 面 上 的 分 布 规 律 和 分 布 内 力 的 集 度 。 内 力 集 度 （ 应 力 ） 的 最 大 值 是 判

13、断 杆 是 否 破 坏 的 重 要 因 素 。 平 面 假 设 研 究 一 根 均 匀 材 料 的 受 拉 杆 件 ,为 了 看 清其 变 形 规 律 ， 可 用 一 根 橡 皮 条 演 示 。 拉 伸前 在 橡 皮 条 上 沿 轴 向 和 横 向 划 出 网 格 线（ 图 4.3-2） ， 其 拉 伸 过 程 及 拉 伸 后 形 状见 图 动 画 。 图 4.3 2a） 实 验 观 察 ： 横 向 网 格 线 保 持 直 线 ， 只 有 相 对 移 动 。 b） 假 设 ： 根 据 表 面 变 形 情 况 ， 可 以 由 表 及 里 的 做 出 假 设 ， 即 横 截 面 间 只 有 相 对

14、 移 动 ， 相 邻 横 截 面 间 纵 线 伸 长 相 同 ， 横 截 面 保 持 平 面 ， 此 假 设 称 为 平 面 假 设 c） 推 论 ： 横 截 面 上 正 应 力 均 匀 分 布 ， 其 数 学 表 达 式 为 ： 常 数 应 力 公 式 及 其 适 用 范 围 由 于 横 截 面 上 的 正 应 力 是 均 匀 分 布 的 ,故 : A AdA dA A N 得 NA 4.3-4公 式 4.3-4即 为 拉 压 杆 横 截 面 的 正 应 力 公 式 公 式 4.3-4的 适 用 范 围 ：1） 等 直 杆2） 均 匀 材 料3） 轴 向 加 载 4） 杆 上 距 力 作 用

15、 点 较 远 处应 力 集 中 圣 维 南 原 理 2. 应 力 集 中 的 概 念在局部区域应力突然增大的现象，称为应力集中。 m max横 截 面 上 的 最 大 应 力 max与平 均 应 力 m 的 比 值 称 为 应力 集 中 系 数 ， 以 表 示 。 3. 圣 维 南 原 理 实 践 证 明 ： 杆 件 在 加 力 点 附 近 ， 应 力分 布 十 分 复 杂 ， 很 大 程 度 上 受 到 加 力方 式 的 影 响 ， 所 以 公 式 （ 4.3-4） 不 能使 用 ， 除 非 所 加 的 外 力 是 分 布 力 ， 而且 是 均 匀 分 布 的 。 如 图 压 杆 ， 其 附

16、 近的 横 截 面 1-1和 2-2， 应 力 是 非 均 匀 分 布的 ， 但 是 ， 距 离 外 力 作 用 稍 远 的 横 截面 3-3， 应 力 很 快 趋 于 均 匀 （ 图 4.3-4b） ， 公 式 （ 4.3-4） 即 可 使 用 ， 其 影响 范 围 约 等 于 截 面 高 度 h。 以 上 概 念 称之 为 圣 维 南 原 理 （ Saint_Venants Principle） 。 需 要 说 明 的 是 ， 在 材 料 力学 中 ， 一 般 假 定 外 力 均 匀 地 施 加 在 作用 处 ， 所 以 公 式 （ 4.3-4） 对 整 个 杆 件都 适 用 。 图 4.

17、3-4 圣 维 南 原 理 ？ 思 考 题（ 1） 图 示 的 曲 杆 ， 问 公 式 （ 4.3-4） 是 否 适 用 ？（ 2） 图 示 杆 由 钢 的 和 铝 牢 固 粘 接 而 成 ， 问 公 式 （ 4.3-4） 是 否 适 用 ？（ 3） 图 示 有 凹 槽 的 杆 ， 问 公 式 （ 4.3-4） 对 凹 槽 段 是 否 适 用 ？ 44轴向拉压杆斜截面上的应力前 面 分 析 了 拉 压 杆 横 截 面 上 的 正 应 力 ， 由平 面 假 设 可 知 ， 此 应 力 均 匀 分 布 。 为 了 分析 构 件 的 破 坏 规 律 以 建 立 更 为 完 善 的 强 度理 论 ，

18、需 要 研 究 更 为 一 般 的 情 况 ， 即 分 析直 杆 任 一 斜 截 面 上 的 应 力 。图 4.4-1（ a） 所 示 拉 杆 ， 仿 照 分 析 横 截面 上 应 力 均 匀 分 布 的 过 程 ， 同 样 可 以 得出 任 一 斜 截 面 上 的 应 力 也 是 均 匀 分 布 的结 论 （ 图 4.4-1b） 。 一 般 来 说 ， 可 分 解为 垂 直 于 斜 截 面 的 正 应 力 和 平 行 于 斜截 面 的 剪 应 力 （ 图 4.4-1c）图 4.4-1 图 4.4-2 1） 采 用 截 面 法由 平 衡 方 程 ： N=P则 ： ANp A： 斜 截 面 面

19、积 ； N： 斜 截 面 上 内 力 。由 几 何 关 系 ： cos cos AAAA 代 入 上 式 ， 得 ： coscos 0 APANp斜 截 面 上 全 应 力 ： cos0p式 中 0是 横 截 面 上 得 正 应 力 20coscos p 2sin2sincossin 00 p 图 4.4-3P Pm mP m m P 20coscos p 2sin2sincossin 00 p反 映 ： 通 过 构 件 上 一 点 不 同 截面 上 应 力 变 化 情 况 。当 = 90 时 ， 0)( min当 = 0,90 时 ， 0| min 当 = 0 时 ， )( 0max 当 =

20、 45 时 ， 2| 0max 图 4.4-3P Pm mP m m P 2） 剪 应 力 的 符 号 规 定 :使 脱 离 体 顺 时 针 转 向 为 正 ;使 脱 离 体 逆 时 针 转 向 为 负 ; 1.概述 4-5 轴向拉伸或压缩时的变形研 究 直 杆 的 轴 向 变 形 ， 目 的 有 ：（ 1） 分 析 杆 件 的 拉 压 刚 度 问 题 。以 限 制 其 变 形 或 位 移 不 得 超 过 规定 的 数 值 ， 即 ： 。 为变 形 或 位 移 的 允 许 值 ， 它 由 设 计要 求 而 定 。 （ 2） 为 解 决 静 不 定 问 题 准 备 必 要的 知 识 。 因 为

21、静 不 定 问 题 必 须 借助 于 结 构 的 变 形 协 调 关 系 才 能 求出 全 部 未 知 力 2.纵 向 变 形 与 横 向 变 形 图 4.5-1图 4.5-1所 示 的 拉 杆 ,变 形 前 长 为 L,直 径 为 d； 变 形 后 长 为 L ， 直 径 为 d ， 定 义如 下 符 号 ： L L L 2） 横 向 变 形 d d d 纵 向 应 变 和 横 向 应 变 都 是 正 应 变（ Normal Strain） ， 仅 度 量 方 向 不 同 ，前 者 沿 轴 力 方 向 ， 后 者 垂 直 于 轴 力 方 向 。LLe 4.5-1 dde 4.5-2纵 向 应

22、 变 （ Longitudinal Strain）横 向 应 变 （ Transverse Strain） 1） 纵 向 变 形 3.虎 克 定 律 和 泊 松 比 实 验 表 明 ： 当 应 力 小 于 比 例 极 限 时 ， 应 力 与 应 变 成 正 比 。 这 就 是 虎 克 定 律 （ Hookes Law） 。其 中 E - 弹 性 模 量 或 杨 氏 模 量 （ Youngs modulus） ， 量 纲 是 力 /长 度 2， 国 际 单 位 制 中 用 G Pa表 示 ， G Pa=103MPa=109Pa实 验 表 明 ： 当 应 力 小 于 比 例 极 限 时 ， 横 向

23、 应 变 与 纵 向 应 变 成 正 比 。 比 例 常 数 称 为 泊 松 比 。 弹 性 模 量 E与 泊 松 比 都 是 材 料 的 弹 性 常 数 ，对 于 各 向 同 性 材 料 ， E和 之 值 均 与 方 向 无 关 。E e p , em e . 4.5-34.5-4 如 用 N 代 表 杆 中 轴 力 ， A 代 表 杆 的 截 面 面 积 ， 并 将 式 （ 4.5-1） 和 式 （ 4.5-3）联 合 ， 则 有上 式 为 虎 克 定 律 的 又 一 表 达 式 。 它 表 明 杆 的 轴 向 变 形 与 轴 力 和杆 长 成 正 比 ， 而 与 乘 积 EA成 反 比

24、， EA称 为 杆 截 面 的 抗 拉 压 刚 度 。显 然 ， 在 一 定 的 轴 向 载 荷 下 ， 截 面 刚 度 愈 大 ， 轴 向 变 形 愈 小 。NLL EA 4.5-5 4.计 算 多 力 杆 变 形 的 方 法 （ 1） 变 形 累 加 法 （ method of Deformation Accumulation）根 据 各 段 的 轴 力 ， 先 分 段 计 算 变 形 ， 然 后 再 求 代 数 和 （ 设 定 伸 长 为 正 ， 缩短 为 负 ） 。 如 图 4.5-2的 杆 同 时 受 到 P1和 P2的 作 用 ， 试 求 总 变 形 。第 一 段 ： 图 4.5-

25、2 11 N L PLL EA EA 第 二 段 ： 22 2N L PLL EA EA 伸 长伸 长总 变 形 ： 1 2 2 3PL PL PLL L L EA EA EA 伸 长 （ 2） 叠 加 法 （ Superposition method）如 图 4.5-2所 示 的 杆 件 ， 现 分 别 计 算 P1和 P2单 个 作 用 时 杆 的 轴 向 变 形 ， 然 后叠 加 （ 图 4.5-3a,b） 。 在 2P的 作 用 下 ：图 4.5-3 2 2 2 4N L P L PLL EA EA EA 在 P的 作 用 下 ： 缩 短总 变 形 ： 4 3PL PL PLL L L

26、 EA EA EA 伸 长伸 长 N L PLL EA EA 若 干 载 荷 同 时 作 用 时 产 生 的 变 形 ， 等 于 单 个 载 荷 分 别 作 用 时 产 生 的 变 形 之 和 ，这 就 是 叠 加 原 理 。 只 有 当 因 变 量 与 自 变 量 成 线 性 关 系 时 ， 叠 加 原 理 才 成 立 。由 于 本 课 程 主 要 研 究 的 问 题 是 属 于 线 弹 性 问 题 ， 即 杆 的 内 力 、 应 力 及 变 形 均与 外 载 荷 成 线 性 关 系 ， 通 常 均 可 使 用 叠 加 原 理 进 行 分 析 计 算 ， 此 方 法 称 为 叠加 法 。 例

27、 题 1 图示空心圆管，在轴力P作用下，测得纵向应变为 ,已知材料的弹性模量和泊松比，试求圆管截面面积以及壁厚t和外径D的改变量。e解 ： （ 1） 用 应 力 公 式 和 虎 克 定 律 ：P EA e则 PA Ee(2)壁 厚 方 向 的 改 变 （ 即 横 向 应 变 ） 为图 4.5-4 t t tte me m e ， 得 ：（ 3） 外 径 改 变 量 可 由 周 向 应 变 （ 即 横 向 应 变 ） ， 求 得 ： 1D D DD D e me ， 得 ：D Dme 1 （ D为 变 形 后 的 外 径 ） 图示杆受均布载荷p，试求杆的变形。例 题 2 解 ： 由 于 每 一

28、截 面 的 轴 力 均 不 相 同 ， 故 将 杆 件 分为 无 限 多 个 无 限 短 的 杆 元 ， 计 算 每 一 杆 元 变 形 ，然 后 利 用 定 积 分 法 确 定 杆 件 的 总 伸 长 。轴 力 N x px杆 元 的 伸 长 图 4.5-5 N xdx dxEA 总 伸 长 20 01 2L LN x p LL dx N x dxEA EA EA 切线代圆弧方法-切线法 附 : 桁 架 的 节 点 位 移 桁 架 变 形 通 常 用 节 点 的 位 移 表 示 ， 我 们 以图 4.5-6a所 示 的 桁 架 为 例 ， 介 绍 用 切 线 代圆 弧 的 方 法 求 节 点

29、 位 移 。解 ： （ 1） 绘 制 受 力 图 （ 图 4.5-6b） ， 求出 各 杆 轴 力（ 2） 计 算 各 杆 变 形（ 3） 绘 制 变 形 图 （ 想 一 想 变 形 后 的 节 点A应 在 何 处 ？ ） 图 4.5-6 A就 是 变 形 后 节 点 A的 新 位 置 。 事实 上 ， 由 于 A位 置 的 确 定 是 一 个复 杂 的 非 线 性 问 题 ， 加 之 杆 件 变 形很 小 ， 只 是 原 长 的 千 分 之 几 ， 所 以工 程 上 往 往 不 需 要 计 算 上 述 精 确 位置 ， 而 是 采 用 切 线 替 代 圆 弧 的 方法 ， 以 寻 求 近 似

30、 位 置 ， 称 为 切 线 法 。从 A1和 A2分 别 作 圆 弧 的 切 线 （ 或 原杆 的 垂 线 ） 交 于 A 点 ， 此 点 被 认为 是 变 形 后 节 点 A的 位 置（ 4） 确 定 节 点 的 位 移为 计 算 节 点 位 移 ， 在 变 形 图 上 作 辅 助 线 ，由 几 何 关 系 得 节 点 A的 位 移 分 量 ： 图 4.5-6 水 平 位 移 2Au AA 2l3Av AA垂 直 位 移 tansin 21 cll 小 变 形 是 一 个 重 要 概 念 ， 在 小 变 形 条 件 下 ， 通 常 可 按 结 构 原几 何 尺 寸 计 算 支 反 力 和

31、内 力 ， 并 可 采 用 上 述 切 线 代 圆 弧 的 方法 确 定 简 单 桁 架 节 点 位 移 和 杆 的 转 角 ， 使 得 问 题 的 分 析 大 为简 化 。（ 5） 确 定 杆 BA和 杆 CA的 转 角 杆 BA的 转 角 ； 杆 CA的 转 角 1 1tg 2 2tg 0sin60 0.8 1.2 1.6 sin60A o oT P Tm kN55.113/ PT例 题 1 设 横 梁 ABCD为 刚 梁 ， 横 截 面 面 积 为 76.36mm 的 钢 索 绕 过 无 摩 擦的 定 滑 轮 。 设 P=20kN， 试 求 刚 索 的 应 力 和 C点 的 垂 直 位

32、移 。 设 刚 索 的 E =177G Pa。 2) 钢 索 的 应 力 和 伸 长 分 别 为 ：800 400 400 DC PA B 60 60PA B C DT TYAXA 解 ： 1） 求 钢 索 内 力 ： 以 ABCD为 对 象MpaAT 1511036.7655.11 9 11.55 1.6 m 1.36mm76.36 177TLL EA 11.55 1.6 m 1.36mm76.36 177TLL EA C PA B 60 60800 400 400 D 3） 变 形 图 如 左 图 , C点 的 垂 直 位 移 为 ： 1 22sin60 sin60 2C o oBB DDL mm79.0 60sin2 36.160sin2 oLA B 60 60 DB D1 2CC 作 业 ：轴 力 图 : 4-1、 4-2正 应 力 ： 4-3、 4-4剪 应 力 ： 4-5变 形 ： 4-64-11