建筑力学第四章第五节压杆的稳定计算

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1、 主 要 研 究 压 杆 稳 定 的 概 念 、 临 界 力 和 临界 应 力 计 算 、 压 杆 的 稳 定 计 算 、 提 高 压 杆 稳定 性 的 措 施 。 第 五 节 压 杆 的 稳 定 计 算 稳定平衡随遇平衡不稳定平衡不 稳 定 平 衡 微 小 扰 动 就 使 小 球 远离 原 来 的 平 衡 位 置 稳 定 平 衡 微 小 扰 动 使 小 球 离 开 原来 的 平 衡 位 置 ， 但 扰 动 撤 销后 小 球 回 复 到 平 衡 位 置 物体的三种平衡状态 如 图 所 示 的 两 根 矩 形 截 面 的 松 木 直杆 ， 它 们 的 面 积 均 为 A=50mm 7mm，长 度

2、 分 别 为 30mm与 1000mm， 强 度 极 限b=40MPa。 按 强 度 考 虑 ， 两 杆 的 极 限 承载 能 力 均 应 为 P=b A=40 50 7N=14000 1、 压 杆 失 稳 的 概 念 但 是 ， 当 给 两 杆 缓 缓 施 加 压 力 时 ， 实 验 结 果 表 明 ， 长度 为 30mm的 杆 可 承 受 接 近 14000N的 压 力 ， 且 在 破 坏 前一 直 保 持 着 直 线 形 状 。 但 是 长 度 为 1000mm的 杆 ， 压 力 只 加 到 约 800N时 ， 就 开 始 变 弯 ， 如 继 续 增 大 压 力 ， 则 杆 的 弯 曲

3、变形 急 剧 加 大 而 折 断 。 由 此 可 见 ， 细 长 压 杆 丧 失 工 作 能 力 不 是 强 度 不够 ， 而 是 由 于 其 轴 线 不 能 维 持 原 有 直 线 形 状 的 平 衡状 态 所 致 ， 这 种 现 象 称 为 压 杆 丧 失 稳 定 ， 简 称 压 杆失 稳 。 为 了 研 究 细 长 压 杆 的 失 稳 过 程 ，取 一 细 长 直 杆 ， 在 杆 端 施 加 一 个 逐渐 增 大 的 轴 向 压 力 P(图 a)。 当 力 P不 大 时 ， 压 杆 保 持 直 线 平衡 状 态 。 这 时 ， 如 果 给 杆 加 一 横 向 干 扰力 Q， 杆 便 发

4、生 微 小 的 弯 曲 变 形 ，当 去 掉 干 扰 力 后 ， 杆 经 过 若 干 次 摆动 ， 仍 恢 复 为 原 来 的 直 线 形 状 (图 b)，杆 件 原 来 的 直 线 形 状 的 平 衡 状 态 称为 稳 定 平 衡 。压杆稳定的概念 当 压 力 P超 过 某 一 值 时 ， 杆 在 横向 力 干 扰 下 发 生 弯 曲 ， 当 除 去 干 扰力 后 ， 杆 就 不 能 恢 复 到 原 来 的 直 线形 状 ， 而 在 弯 曲 状 态 下 保 持 新 的 平衡 (图 c)， 此 时 杆 件 原 来 的 直 线 形 状的 平 衡 状 态 称 为 不 稳 定 平 衡 。 随 着 压

5、 力 P的 逐 渐 增 大 ， 压 杆 就会 从 稳 定 平 衡 状 态 过 渡 到 不 稳 定 平衡 状 态 。 当 压 杆 处 于 由 稳 定 平 衡 过渡 到 不 稳 定 平 衡 的 临 界 状 态 时 ， 作用 于 压 杆 上 的 压 力 称 为 临 界 力 ， 以P cr表 示 。 对 于 压 杆 ， PPcr时 处 于 稳 定 平衡 ， PPcr时 处 于 不 稳 定 平 衡 。 压 力 Fcr称 为 压 杆 的 临 界 力 或 称 为 临 界 荷 载 。压 杆 的 失 稳 现 象 是 在 纵 向 力 的 作 用 下 ， 使 杆 发 生 突 然弯 曲 ， 所 以 称 为 纵 弯 曲

6、 。 这 种 丧 失 稳 定 的 现 象 也 称 为屈 曲 。压杆稳定的概念稳 定 的 平 衡 ：能 保 持 原 有 的直 线 平 衡 状 态 的 平 衡 ； 不 稳 定 的 平 衡 ：不 能 保 持 原 有 的 直线 平 衡 状 态 的 平 衡 。 压 杆 由 直 线 形 状 的 稳 定 的 平 衡 过 渡 到 不 稳 定 的平 衡 时 所 对 应 的 轴 向 压 力 ，称 为 压 杆 的 临 界 压 力 或 临 界 力 ， 用 Fcr表 示 当 压 杆 所 受 的 轴 向 压 力 F小 于 临 界 力 Fcr时 ，杆 件 就 能 够 保 持 稳 定 的 平 衡 ，这 种 性 能 称 为 压

7、 杆 具 有 稳 定 性 ；而 当 压 杆 所 受 的 轴 向 压 力 F等 于 或 者 大 于 F cr时 ，杆 件 就 不 能 保 持 稳 定 的 平 衡 而 失 稳 。 压杆的稳定性试验 脚 手 架 失 稳 2、 压 杆 的 临 界 力 当 作 用 在 压 杆 上 的 压 力 F=Fpcr时 ， 杆 在 干 扰 力 的 影响 下 将 变 弯 。 在 杆 的 变 形 不 大 、 杆 内 应 力 不 超 过 比 例 极限 的 情 况 下 ， 根 据 弯 曲 变 形 的 理 论 可 以 求 出 临 界 力 的 大小 为 其 中 ， 是 与 支 承 情 况 有 关 的 长 度 系 数 ， 其 值

8、 见 表 ；上 式 称 为 欧 拉 公 式 。式 中 l 称 为 相 当 长 度 或 计 算 长 度 ， 表 示 将 杆 端 约 束 条 件 不 同 的 压 杆 计 算 长 度 折 算 成 两 端 铰 支 压 杆 的 长 度 两端铰支的细长压杆临界力 22lEIFpcr EI 压 杆 的 抗 弯 刚 度I 截 面 对 形 心 轴 的 最 小 惯 性 矩L 杆 件 的 长 度 22lEIFpcr L1 L2 F L7.0 F L5.0F FF注 意 ： 上 述 临 界 载 荷 公 式 ， 只 有 在 压 杆 的 微 弯 曲 状 态 下 仍然 处 于 弹 性 状 态 时 才 是 成 立 的 。二、

9、其它约束情况压杆的临界力欧 拉 公 式 的 统 一 形 式 为 压 杆 的 长 度 系 数 ; l 为 相 当 长 度 。 各 种 支 承 条 件 下 细 长 压 杆 的 临 界 力 Fcrl支 承 情 况 两 端 铰 支 一 端 固 定一 端 铰 支 两 端 固 定 ，但 可 沿 纵 向相 对 移 动 一 端 固 定一 端 自 由 两 端 固 定 ，但 可 沿 横 向相 对 移 动失稳时挠曲线形状 临 界 力长 度 系 数 l Fcr l 0.5lFcr= 1 = 0.7 = 0.5 = 2 = 12ll FcrFcr0.7ll22l EIFcr 22rc )7.0( lEIF 22 )5.

10、0( lEIF rc 2 2(2 )cr EIF l 22l EIFcr 压 杆 在 临 界 力 作 用 下 ， 横 截 面 上 的 平 均 正 应 力 称 为 压杆 的 临 界 应 力 ， 以 表 示 。 若 以 A表 示 压 杆 的 横 截 面 面 积 ，则 由 欧 拉 公 式 得 到 的 临 界 应 力 为 若 以 I/A =i2代 入 上 式 ， 则 则 压 杆 临 界 应 力 的 欧 拉 公 式 为 i 称 为 截 面 的 惯 性 半 径 ， 而 称 为 压 杆 的 柔 度 或 长 细 比 ，它 综 合 反 映 了 杆 端 约 束 情 况 以 及 杆 的 长 度 和 横 截 面 几

11、何 性质 对 临 界 应 力 的 影 响 。 3、 压 杆 的 临 界 应 力Al EIAPcrcr 2)( 2 22 )( ilEcr 22 Ecr AIlil 令 欧 拉 公 式 是 在 材 料 服 从 胡 克 定 律 的 条 件 下 导 出 的 ，所 以 只 有 在 临 界 应 力 小 于 比 例 极 限 的 条 件 下 才 能 应 用 ，即 或 改 写 为 以 柔 度 表 达 的 形 式 式 中 p是 与 材 料 比 例 极 限 相 对 应 的 柔 度 ， 工 程 中 把 p的 压 杆 称 为 细 长 杆 或 大 柔 度 杆 ， 只 有细 长 杆 才 能 应 用 欧 拉 公 式 计 算

12、 临 界 力 或 临 界 应 力 。 4、 欧 拉 公 式 的 适 用 范 围 PPE 2 Pcr E 22 s (小 柔 度 杆 )sP (中 柔 度 杆 ) il 压 杆 柔 度 AIi 的 四 种 取 值 情 况临 界 柔 度 PP E 2 P 比 例 极 限ba ss s 屈 服 极 限临 界 应 力 P (大 柔 度 杆 ) 欧 拉 公 式22 Ecr 20cr k 直 线 公 式强 度 问 题scr 在 工 程 实 际 中 ， 为 了 简 化 压 杆 的 稳 定 计 算 ， 常 将变 化 的 稳 定 容 许 应 力 cr 与 强 度 容 许 应 力 联系 起 来 ， 表 达 为 称

13、 为 折 减 系 数 ， 它 是 稳 定 容 许 应 力 与 强 度 容 许 应 力之 间 的 比 值 。 也 是 一 个 随 柔 度 而 变 化 的 量 。 上 式 可 写 为 上 式 称 为 压 杆 折 减 系 数 法 的 稳 定 条 件 。 1. 折减系数法压 杆 的 稳 定 计 算 应 用 稳 定 条 件 式 ， 能 求 解 压 杆 稳 定 方 面 的 三 种 计 算 ：稳 定 性 校 核 。设 计 截 面 。确 定 容 许 荷 载 。 对 于 压 杆 的 截 面 设 计 ， 工 程 中 采 用 试 算 法 进 行 计算 。 将 稳 定 条 件 改 写 为 ： A P/ 2、 压杆稳定

14、计算 试 算 法 的 步 骤 如 下 ： (1) 先 假 设 一 个 适 中 的 1值 (一 般 先 取 中 间 1=0.5)，由 稳 定 条 件 计 算 出 截 面 面 积 A1。 (2) 由 A1计 算 I1、 i1及 1， 再 由 表 查 出 与 1相 当 的 1。比 较 查 得 的 1与 假 设 的 1， 如 果 两 者 比 较 接 近 ， 对 所 选的 截 面 进 行 稳 定 校 核 。 (3) 若 1与 1相 差 较 大 ， 就 设 2=(1+1)/2， 进 行 第二 轮 计 算 。 直 至 查 得 的 n与 假 设 的 n接 近 为 止 ， 再 对 所选 的 截 面 进 行 稳

15、定 校 核 。 欧 拉 公 式22 )( lEIFcr 越 大 越 稳 定crF减 小 压 杆 长 度 l减 小 长 度 系 数 （ 增 强 约 束 ）增 大 截 面 惯 性 矩 I（ 合 理 选 择 截 面 形 状 ）增 大 弹 性 模 量 E（ 合 理 选 择 材 料 ）3、 提 高 压 杆 稳 定 性 的 措 施 减 小 压 杆 长 度 l 减 小 长 度 系 数 （ 增 强 约 束 ） 增 大 截 面 惯 性 矩 I（ 合 理 选 择 截 面 形 状 ） 增 大 弹 性 模 量 E（ 合 理 选 择 材 料 ）大 柔 度 杆 22 )( lEIFcr 中 柔 度 杆 bacr 小 柔 度 杆