《排列组合》PPT课件

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1、湖 南 科 技 大 学 吕 渊 1.排 列 的 概 念 ：理 解 ：(1).n个 元 素 是 不 同 的 ， 取 出 的 m个 元 素 也 是 不 同 的. m,n是 正 整 数 ， 且 mn.(2).排 列 的 定 义 中 包 含 两 个 基 本 内 容 ： 一 是 “ 取出 元 素 ” ； 二 是 “ 按 照 一 定 顺 序 排 列 ” (3).两 个 排 列 相 同 ， 当 且 仅 当 这 两 个 排 列 的 元 素完 全 相 同 ， 而 且 元 素 的 排 列 顺 序 也 完 全 相 同 复 习 引 入 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m (m n) 个 元 素

2、， 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 列 ， 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个 元 素 的 一 个 排 列 . 2.排 列 数 及 其 公 式 ： * * !( -1)( -2) ( - 1) ( )!( , , )mn nA nn n n m n mn N m N m n 1 2可 看 作 是 “ 取 出 m个 元 素 ” 的 方 法 数 m， 与 按 照 一定 顺 序 将 m个 不 同 元 素 排 成 一 列 的 方 法 数 m的 乘 积 .mnA 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m (m n)个 元 素 的 所 有 不 同 排 列 的 个 数

3、 叫 做 从 n个 不同 元 素 中 取 出 m个 元 素 的 排 列 数 . 复 习 引 入 问 题 一 ： 我 校 要 派 出 一 代 表 队 去 青 海 玉 树 抗震 救 灾 ， 欲 从 代 表 队 中 的 甲 、 乙 、 丙 3名 候 选人 中 选 出 正 、 副 队 长 各 一 名 ， 有 多 少 种 不 同的 选 法 ？问 题 二 ： 我 校 要 派 出 一 代 表 队 去 青 海 玉 树 抗震 救 灾 ， 欲 从 甲 、 乙 、 丙 3名 候 选 人 中 选 出 2名 ， 有 多 少 种 不 同 的 选 法 ？23 6A 甲 、 乙 ； 甲 、 丙 ； 乙 、 丙 3有 顺 序

4、无 顺 序选 出 来 ， 但 没 有 排 序 ！ 得 到 的 是 “ 组 ” 组 合 ， 元 素 无 序 .情 境 创 设选 出 来 ， 并 排 序 ！ 得 到 的 是 “ 有 序 列 ” 排 列 ， 元 素 有 序 . 思 考 一 ： 排 列与 组 合 的 概 念 有什 么 共 同 点 与 不同 点 ？ 组 合 定 义 : 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m（ m n）个 元 素 并 成 一 组 ， 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取出 m个 元 素 的 一 个 组 合 概 念 讲 解 共 同 点 : 都 要 “ 从 n个 不 同 元 素 中 任 取 m个 元 素

5、 ” 不 同 点 : 排 列 与 元 素 的 顺 序 有 关 ， 而 组 合 则 与 元 素 的 顺 序 无 关 .排 列 定 义 : 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m (m n)个 元 素 ， 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 列 ， 叫 做从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个 元 素 的 一 个 排 列 .组 合 定 义 : 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m（ m n） 个 元 素 并 成 一 组 ， 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中取 出 m个 元 素 的 一 个 组 合 概 念 讲 解 思 考 二 :ab与 ba是 相 同

6、 的 排 列 还 是 相 同 的 组 合 ?为 什 么 ?思 考 三 :两 个 相 同 的 排 列 有 什 么 特 点 ?两 个 相同 的 组 合 呢 ? ） 元 素 相 同 ； ） 元 素 排 列 顺 序 相 同 . 元 素 相 同 构 造 排 列 分 成 两 步 完 成 ， 先 取 后 排 ； 而 构造 组 合 就 是 其 中 的 第 一 步 .思 考 四 :组 合 与 排 列 有 联 系 吗 ?概 念 讲 解 判 断 下 列 问 题 是 组 合 问 题 还 是 排 列 问 题 ? (1)设 集 合 A=a,b,c,d,e， 则 集 合 A的 含 有 3个 元素 的 子 集 有 多 少 个

7、 ?(2)某 铁 路 线 上 有 5个 车 站 ， 则 这 条 铁 路 线 上 共 需准 备 多 少 种 车 票 ? 有 多 少 种 不 同 的 火 车 票 价 ？ 组 合 问 题排 列 问 题(3)10名 同 学 分 成 人 数 相 同 的 数 学 和 英 语 两 个 学 习小 组 ,共 有 多 少 种 分 法 ? 组 合 问 题(4)10人 聚 会 ， 见 面 后 每 两 人 之 间 要 握 手 相 互 问 候 ,共 需 握 手 多 少 次 ? 组 合 问 题(5)从 4个 风 景 点 中 选 出 2个 游 览 ,有 多 少 种 不 同 的方 法 ? 组 合 问 题(6)从 4个 风 景

8、点 中 选 出 2个 ,并 确 定 这 2个 风 景 点 的游 览 顺 序 ,有 多 少 种 不 同 的 方 法 ? 排 列 问 题组 合 问 题组 合 是 选 择 的 结 果 ， 排 列是 选 择 后 再 排 序 的 结 果 . 1.从 a , b , c三 个 不 同 的 元 素 中 取 出 两 个 元素 的 所 有 组 合 分 别 是 :2.已 知 4个 元 素 a , b , c , d ,写 出 每 次 取 出两 个 元 素 的 所 有 组 合 .ab c d b c d cd (3个 )(6个 )小 试 身 手 ab,ac,bcab,ac,ad,bc,bd,cd 24 6C 如 :

9、从 a , b , c三 个 不 同 的 元 素 中 取 出 两 个 元素 的 所 有 组 合 是 :如 :已 知 4个 元 素 a 、 b 、 c 、 d ,写 出 每 次 取出 两 个 元 素 的 组 合 数 是 ： 组 合 数 :注 意 ： 是 一 个 数 ， 应 该 把 它 与 “ 组 合 ” 区 别 开 来 mnC 概 念 讲 解 ab,ac,bcmnC 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m（ mn） 个 元 素 的 所有 组 合 的 个 数 ， 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个 元 素 的 组 合 数 ， 用 符 号 表 示 . 写 出 从 a,b,c,d 四

10、 个 元 素 中 任 取 三 个 元 素的 所 有 组 合 . abc， abd, acd, bcd .b c ddcba cd 34 4C 组 合 排 列abcabdacdbcd abc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不 写 出 所 有 组 合 ， 怎 样 才 能 知 道 组 合 的 种 数 ？你 发 现 了什 么 ? 组 合 数 公 式 推 导排 列 与 组 合 是 有 区 别 的 ， 但 它 们 又 有 联 系 一 般 地 ， 求 从 n个 不 同 元

11、 素 中 取 出 m个 元 素 的 排列 数 ， 可 以 分 为 以 下 2步 ： 第 1步 ,先 求 出 从 这 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个 元 素 的 组 合 数 1 mnm C根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 得 到 1 2m m mn n mm mA C A 这 里 ， 且 ， 这 个 公式 叫 做 *m n N、 m n第 2步 ,求 每 个 组 合 中 m个 元 素 的 全 排 列 数 2 mmm A因 此 ： ( -1)( -2) ( - 1)!mm nmn m n n n n mmAC A 概 念 讲 解 组 合 数 公 式 : 0 1.nC 我 们 规 定

12、： 概 念 讲 解 ( 1)( 2) ( 1)!m m nn mmA n n n n mC A m !( )!mn nC m n m !( )!mn nn mA 例 1.甲 、 乙 、 丙 、 丁 4支 足 球 队 举 行 单 循 环 赛 ，(1)列 出 所 有 各 场 比 赛 的 双 方 ；（ 2)列 出 所 有 冠 亚 军 的 可 能 情 况 .解 ：(1)甲 乙 、 甲 丙 、 甲 丁 、 乙 丙 、 乙 丁 、 丙 丁（ 2） 甲 乙 、 甲 丙 、 甲 丁 、 乙 丙 、 乙 丁 、 丙 丁 乙 甲 、 丙 甲 、 丁 甲 、 丙 乙 、 丁 乙 、 丁 丙 例 2.求 值 或 解

13、方 程 ：47(1)C 3 2 , (3) nn nC A已 知 求 7 6 5 44 35.(1) 7 4 3 2 1 C 解 ： 3 28 5(2) 3 2 C C3 2 8 52 3 23 8 7 6 2 5 43 2 1 2 1148. C C 解 ： 8n 2 6n 即 3 23) ,nn C A解 ： 由 有( 1)( 2) ( 1)6n n n n n 例 题 分 析 例 3 11m mn nm: n mC C 求 证 1 !( 1)! ( )( 1)!m n m n m n m !( ) !n m n m !( )!mn nm n mC 证 明 ： 11 1 !( 1)!( 1

14、)!m nm m nn m n m m n mC 11m mn nmn mC C 4 17 , ,11 , :1 17?例 一 位 教 练 的 足 球 队 共 有 名 初 级 学 员 他 们 中以 前 没 有 一 人 参 加 过 比 赛 按 照 足 球 比 赛 规 则 比 赛时 一 个 足 球 队 的 上 场 队 员 是 人 问这 位 教 练 从 这 名 学 员 中 可 以 形 成 多 少 种 学 员上 场 方 案 11171 ,12376 .C 种解 : 由 于 上 场 学 员 没 有 角 色 差 异 所 以 可 以 形 成的 学 员 上 场 方 案 有 2 :教 练 员 可 以 分 两 步

15、 完 成 这 件 事 情11171 , 17 11 ,;C第 步 从 名 学 员 中 选 出 名 组 成 上 场 小 组共 有 种 选 法1112 , 11 1 ,.C第 步 从 选 出 的 人 中 选 出 名 守 门 员共 有 种 选 法 11 117 11 136136C C 种所 以 教 练 员 做 这 件 事 情 的 方 法 数 有 2 , ?探 究 对 于 本 题 的 你 还 能 想 到 别 的 解 决 方 法 吗 1 1017 16 136136C C 种 2 11 , ?如 果 在 选 出 名 上 场 队 员 时 还 要 确 定 其 中 的 守门 员 那 么 教 练 员 有 多

16、少 种 方 式 做 这 件 事 情 例 5： 在 100件 产 品 中 有 98件 合 格 品 ， 2件 次 品 。产 品 检 验 时 ,从 100件 产 品 中 任 意 抽 出 3件 。(1)一 共 有 多 少 种 不 同 的 抽 法 ?(2)抽 出 的 3件 中 恰 好 有 1件 是 次 品 的 抽 法 有 多 少 种 ?(3)抽 出 的 3件 中 至 少 有 1件 是 次 品 的 抽 法 有 多 少 种 ?说 明 ： “ 至 少 ” “ 至 多 ” 的 问 题 ， 通 常 用 分 类 法 或 间接 法 求 解 。 2.已 知 平 面 内 A,B,C,D这 4个 点 中 任 何 3点 都不

17、 在 一 条 直 线 上 ， 由 其 中 每 3点 为 顶 点 的 三 角形 有 个 ？34 4 3 2 43 2 1=C 1.有 5本 不 同 的 书 ,某 人 要 从 中 借 2本 ,有 种 不 同 的 借 法 ?25 5 4 102 1= C 巩 固 练 习 ： 3 2 3 28 7 7 8.( )( )A C C C C 3 2 3 28 7 7 8.( ) ( )B C C C C 3 2 3 28 7 7 8.C C C C C 3 2 18 7 11.D C C C3、 要 从 8名 男 医 生 和 7名 女 医 生 中 选 5人 组 成一 个 医 疗 队 ， 如 果 其 中 至

18、 少 有 2名 男 医 生 和 至少 有 2名 女 医 生 ， 则 不 同 的 选 法 种 数 为 （ ）3 2 3 2 3 2 3 28 7 7 8 8 7 7 83 2 3 2 3 2 18 7 7 8 8 7 11.( )( ) .( ) ( ). .A C C C C B C C C CC C C C C D C C C C4.(1)凸 五 边 形 有 多 少 条 对 角 线 ？(2)凸 n（ n3） 边 形 有 多 少 条 对 角 线 ？25C -5 2nC -n 5.(1)平 面 内 有 10个 点 ， 以 其 中 每 2个 点 为 端 点 的 线 段 共 有 多 少 条 ？ (2

19、)平 面 内 有 10个 点 ， 以 其 中 每 2个 点 为 端 点 的 有 向 线 段 共 有 多 少 条 ？ 210: 1 10 2, 10 2,10 9 45 .2C 条解 以 平 面 内 个 点 中 每 个 点 为 端 点 的 线线 的 条 数 就 是 从 个 不 同 的 元 素 中 取 出 个 元素 的 组 合 数 即 线 段 共 有 2102 , 10 , 102 ,A =10 9=90 . 条由 于 有 向 线 段 两 端 点 中 一 个 是 起 点 另一 个 是 终 点 以 平 面 内 个 点 中 每 两 个 点为 端 点 的 有 向 线 段 的 条 数 就 是 从 个 不同 元 素 中 取 出 个 元 素 的 排 列 数 即 有 向线 段 共 有 排 列 组 合 组 合 的 概 念组 合 数 及 公 式组 合 是 选 择 的结 果 ， 排 列 是选 择 后 再 排 序的 结 果联 系 课 堂 小 结 作 业 课 本 P27， 习 题 1.2A组 9， 12