平均数、标准差和变异系数

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1、 x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平 均 数 = 5 平 均 数 = 6 1 2 3 4 5 6 7 14 中 位 数 : 将 资 料 内 所 有 观 察 值 从 大 到 小 排 序 ， 居 中 间 位 置 的 观 察值 称 为 中 数 (median)， 计 作 Md。 当 观 测 值 的 个 数 是 偶 数 时 ， 则 以 中 间两 个 观 测 值 的 平 均 数 作 为 中 位 数 。 当 所 获 得 的 数 据 资 料 呈 偏 态 分 布 时 ，中 位 数 的 代 表 性 优 于 算 术 平 均 数 。 中 位 数 的 计 算 方 法 因 资 料 是 否 分 组 而 有

2、所 不 同 。 对 于 未 分 组 资 料 ，先 将 各 观 测 值 由 小 到 大 依 次 排 列 ， 找 到 中 间 的 1个 数 （ n为 奇 数 ） 或 2个数 （ n为 偶 数 ） ， 之 后 求 平 均 即 可 。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10中 位 数 = 5 中 位 数 = 5 众 数 : 资 料 中 最 常 见 的 一 数 ， 或 次 数 最 多 一 组 的 中 点 值 ， 称为 众 数 (mode)， 记 为 M0。 如 棉 花 纤 维 检 验 时 所 用 的 主 体 长 度 即为 众 数 。 众 数

3、 可 能 不 存 在 可 能 有 多 个 众 数 多 用 于 属 性 数 据0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 众 数 = 9 没 有 众 数 其 计 算 公 式 如 下 ： nnn n xxxxxxxxG 1)( 321321 为 了 计 算 方 便 ， 可 将 各 观 测 值 取 对 数 后 相 加除 以 n， 得 lgG， 再 求 lgG的 反 对 数 ， 即 得 G值 ，即 ： )lglg(lg1lg 211 nxxxnG 调 和 平 均 数 :（ harmonic mean） 各 观 测值 倒 数 的 算 术 平 均 数 的 倒 数 ， 称 为 调

4、和 平 均数 ， 记 为 H 。 即 （ 4.6） xnxxxn nH 111111 1)( 121 对 于 同 一 资 料 ： 算 术 平 均 数 几 何 平 均 数 调 和 平 均 数 上 述 五 种 平 均 数 ， 最 常 用 的 是 算 术 平 均 数 。 算 术 平 均 数 可 根 据 样 本 大 小 及 分 组 情 况 而采 用 直 接 法 或 加 权 法 计 算 。(一 )直 接 法主 要 用 于 未 经 分 组 资 料 平 均 数 的 计 算 。 设 某 一 资 料 包 含 n个 观 测 值 ： x1、 x2、 、 xn， 则 样 本 平 均 数 可 通 过 下 式 计 算 ：

5、 nxn xxxx ni in 121 nxx （ 4.1）简 写 ： 【 例 1】 某 植 保 站 测 得 10只 某 类 害 虫 的 体 重 分 别 为 500、520、 535、 560、 585、 600、 480、 510、 505、 490（ mg） ， 求 其 平 均 数 。 .5(mg)528105285 nxx由 于 x = 500 + 520 + 535 + 560 + 585 + 600 + 480 + 510 + 505 + 490 = 5285， n =10得 ：即 10只 害 虫 的 平 均 体 重 为 528.5 mg。 （ 二 ） 加 权 法 ffxfxffff

6、 xfxfxfx ki iki iik kk 1121 2211 （ 4.2）式 中 ： xi -第 i 组 的 组 中 值 ； fi -第 i组 的 次 数 ； k -分 组 数 第 i组 的 次 数 fi 是 权 衡 第 i组 组 中 值 xi 在 资 料 中 所 占比 重 大 小 的 数 量 ， 因 此 将 fi 称 为 是 xi 的 “ 权 ” ， 加 权法 也 由 此 而 得 名 。 对 于 样 本 含 量 n30 以 上 且 已 分 组 的 资 料 ， 可 以在 次 数 分 布 表 的 基 础 上 采 用 加 权 法 计 算 平 均 数 ， 计 算公 式 为 ： 【 例 2】 从

7、A、 B两 小 区 分 别 抽 取 4个 和 5个 小 麦 麦 穗 ，测 得 其 样 本 如 下 ， 用 两 种 方 法 计 算 其 平 均 值 ， 并 比 较 计算 结 果 。 小 区 每 穗 小 穗 数 平 均 数 （ x ） xf A 13 14 15 17 14.75 59 B 16 16 17 18 18 17.00 85 144 144 144 / 9 = 16 144 / 9 = 16 【 例 3】 140行 水 稻 产 量 （ P38） ， 用 两 种 方 法 求 其平 均 数 ， 并 比 较 计 算 结 果 。（ 1） 直 接 法 ： )(48.15714022047 140

8、 159.215177 gn xx 分 组 数 列 组 中 值 (x) 次 数 (f ) fx 67.582.5 75 2 150 82.597.5 90 7 630 97.5112.5 105 7 735 112.5127.5 120 14 1680 127.5142.5 135 17 2295 142.5157.5 150 20 3000 157.5172.5 165 24 3960 172.5187.5 180 21 3780 187.5202.5 195 13 2535 202.5217.5 210 9 1890 217.5232.5 225 3 675 232.5247.5 240

9、2 480 247.5262.5 255 1 255 140 22065 22065 / 140 = 157.61 1、 算 术 平 均 数 的 计 算 与 每 一 个 数 （ 值 ） 都 有关 。 2、 如 果 是 n1个 值 的 平 均 数 , 是 n2个 值的 平 均 数 ， 那 么 全 部 n1 n2个 值 的 算 术 平 均 数 是 （ 加 权 平 均 数 ）1x 2x 21 2211 nn xnxnx 3、 样 本 各 观 测 值 与 平 均 数 之 差 的 和 为 零 ，即 离 均 差 之 和 等 于 零 。 或 简 写 成 0)(1 xxni i 0)( xx 4、 样 本 各

10、 观 测 值 与 平 均 数 之 差 的 平 方 和 为 最 小 ，即 离 均 差 平 方 和 为 最 小 。 2121 )()( ni ini i xxx （ 常 数 ）x 22 )()( xxx或 简 写 为 ： 5、 若 A为 任 意 常 数 ， 甲 村 乙 村 面 积 单 产 面 积 单 产 山 地 100 100 900 160 丘 陵 500 400 600 500 平 地 400 500 500 600 6、 平 均 数 是 有 单 位 的 数 值 ， 与 原 资 料 单 位 相 同 。注 意 ： 必 须 性 状 同 质 时 ， 才 有 代 表 性 。x S AY S AY S

11、AY S AY 山 地 100 100 10000 900 160 144000 丘 陵 500 400 200000 600 500 300000 平 地 400 500 200000 500 600 300000 1000 410000 2000 744000 x 410000/1000=410 744000/2000=372 平 均 数 是 描 述 观 测 资 料 的 重 要 特 征 数 ，它 的 作 用 主 要 有 以 下 两 点 ： 1. 指 出 数 据 资 料 的 中 心 位 置 ， 标 志 着 资 料 所代 表 性 状 的 数 量 水 平 和 质 量 水 平 。 2. 可 以 作

12、 为 样 本 或 资 料 的 代 表 数 据 与 其 他 资料 进 行 比 较 。 对 于 总 体 而 言 ， 通 常 用 表 示 总 体 平 均 数 ， 有 限 总 体 的 平 均数 为 ： （ 4.3） 式 中 ， N 表 示 总 体 所 包 含 的 个 体 数 。 当 一 个 统 计 量 的 数 学 期 望 等 于 所 估 计 的 总 体 参 数 时 ， 则 称 此统 计 量 为 该 总 体 参 数 的 无 偏 估 计 量 。 统 计 学 中 常 用 样 本 平 均 数 （ ） 作 为 总 体 平 均 数 （ ） 的 估计 量 ， 并 已 证 明 样 本 平 均 数 是 总 体 平 均

13、数 的 无 偏 估 计 量 。NxNi i 1 x 为 了 准 确 地 表 示 样 本 内 各 个 观 测 值 的 变 异 程 度 ，人 们 首 先 会 考 虑 到 以 平 均 数 为 标 准 ， 求 出 各 个 观 测值 与 平 均 数 的 离 差 ， ( ) ， 称 为 离 均 差 。 虽 然 离 均 差 能 表 示 一 个 观 测 值 偏 离 平 均 数 的 性 质和 程 度 ， 但 因 为 离 均 差 有 正 、 有 负 ， 离 均 差 之 和 为零 ， 即 ( ) = 0 ， 因 而 不 能 用 离 均 差 之 和 ( )来 表 示 资 料 中 所 有 观 测 值 的 总 偏 离 程

14、 度 。xx xx xx 为 了 解 决 离 均 差 有 正 、 有 负 ， 离 均 差 之 和 为 零 的问 题 ， 可 先 求 离 均 差 的 绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除 以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离 差 ，即 |x x |/n。 虽 然 平 均 绝 对 离 差 可 以 表 示 资 料 中 各 观测 值 的 变 异 程 度 ， 但 由 于 平 均 绝 对 离 差 包 含 绝 对 值 符号 ， 使 用 很 不 方 便 ， 在 统 计 学 中 未 被 采 用 。 我 们 还 可 以 采 用 将 离 均 差 平 方 的 办 法 来 解 决离

15、 均 差 有 正 、 有 负 ， 且 离 均 差 之 和 为 零 的 问 题 。 先 将 各 个 离 均 差 平 方 ， 即 ( )2 ， 再 求 离 均 差 平 方 和 ， 即 ， 简 称 平 方 和 ， 记为 SS； 由 于 离 差 平 方 和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ， 为 了 消 除 样 本 大 小 的 影 响 ， 用 平方 和 除 以 样 本 大 小 ， 即 ， 求 出 离均 差 平 方 和 的 平 均 数 ； xx 2)( xx nxx /)( 2 为 了 使 所 得 的 统 计 量 是 相 应 总 体 参 数 的 无 偏估 计 量 ， 统 计 学 证 明 ， 在 求

16、离 均 差 平 方 和 的 平 均数 时 ， 分 母 不 用 样 本 含 量 n， 而 用 自 由 度 n-1， 于 是 ， 我 们 采 用 统 计 量 表 示 资 料 的变 异 程 度 。 统 计 量 称 为 均 方 （ mean square, 缩 写 为 MS） , 又 称 样 本 方 差 ， 记 为 S2， 即 S2= （ 4.7） )1/()( 2 nxx )1/()( 2 nxx )1/()( 2 nxx 相 应 的 总 体 参 数 叫 总 体 方 差 ， 记为 2。 对 于 有 限 总 体 而 言 ， 2的 计 算公 式 为 ： （ 4.8）Nx /)( 22 1)( 2 n y

17、ys Ny 2)( 由 于 样 本 方 差 带 有 原 观 测 单 位 的 平 方 单 位 ， 在 仅 表 示 一个 资 料 中 各 观 测 值 的 变 异 程 度 而 不 作 其 它 分 析 时 ， 常 需 要 与平 均 数 配 合 使 用 ， 这 时 应 将 平 方 单 位 还 原 ， 即 应 求 出 样 本 方差 的 平 方 根 。 统 计 学 上 把 样 本 方 差 S2 的 平 方 根 叫 做 样 本 标 准差 ， 记 为 S， 即 ： 1 )( 2 n xxS 由 于 )2()( 222 xxxxxx 22 2 xnxxx 222 )()(2 nxnnxx nxx 22 )( 1

18、2)(2 nxS nx所 以 （ 4.9 ） 式 可 改 写 为 ： （ 4.10） 相 应 的 总 体 参 数 叫 总 体 标 准 差 ， 记 为 。 对于 有 限 总 体 而 言 ， 的 计 算 公 式 为 ： （ 4.11） 在 统 计 学 中 ， 常 用 样 本 标 准 差 S估 计 总 体 标准 差 。 Nx /)( 2 %100 xSCV 【 例 7】 已 知 某 甲 品 种 猪 平 均 体 重 为 190kg， 标 准 差 为 10.5kg， 而 乙 品 种 猪 平 均 体 重 为 196kg，标 准 差 为 8.5kg， 试 问 两 个 品 种 的 猪 ， 那 一 个 体重 变

19、 异 程 度 大 。 由 于 ， 甲 品 种 猪 体 重 的 变 异 系 数 ： 乙 品 种 猪 体 重 的 变 异 系 数 ： 所 以 ， 甲 品 种 猪 体 重 的 变 异 程 度 大 于 乙 品种 猪 。 %53.5%1001905.10 VC %34.4%1001965.8 VC 注 意 ： 变 异 系 数 的 大 小 ， 同 时 受 平 均 数 和 标 准 差两 个 统 计 量 的 影 响 ， 因 而 在 利 用 变 异 系 数 表示 资 料 的 变 异 程 度 时 ， 最 好 将 平 均 数 和 标 准差 也 列 出 。课 后 作 业 ， 教 材 23页 ：习 题 2.2； 习 题 2.3； 习 题 2.4； 习 题 2.9