高等数学洛必达法则教学ppt

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1、第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 第 三 章 导 数 的 应 用 第 一 节 微 分 中 值 定 理 第 二 节 函 数 的 性 质 第 三 节 洛 必 达 法 则 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 第 三 节 洛 必 达 法 则 一 .未 定 式二 .洛 必 达 法 则本 节 主 要 内 容 :三 .其 他 类 型 未 定 式 的 极 限 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 如 果 当 xx0（ 或 x ） 时 ， 两 个 函 数 f(x)和 g(x) 的 极 限 都 为 零 或 都 趋 于 无 穷 大

2、， 极 限 )( )(lim()( )(lim xg xfxg xf xxx 或0通 常 称 为 未 定 式 ， 分 别 记 为 。 和00（ 1） 0 ,0 （ 2） 0 , （ 3） 0 00 , ,1一 、 未 定 式 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 )00( )( 例 如 , ,tanlim0 x xx ,sinlnsinlnlim0 bxaxxlim x x x e ， 0lim xx x ， 120 arcsinlim( )xx xx0 1lim(ln )xx x 1 1lim( )1 lnx xx x 0 00 10 第 三 章 导 数 的 应 用

3、 第 三 节 洛 必 达 法 则 定 理 3.3.1（ 洛 必 达 法 则 ） 设 函 数 f(x) 、 g(x) 满 足 ：（ 1） ；（ 2） f(x) 、 g(x)在 x0的 某 去 心 邻 域 内 可 导 ，且 g(x) 0；（ 3） （ A为 有 限 数 ， 也 可 为 无 穷 大 ） 则 0 0lim ( ) 0, lim ( ) 0 x x x xf x g x 0( , )N x 0 ( )lim ( )x x f x Ag x 0 0( ) ( )lim lim( ) ( )x x x xf x f x Ag x g x 二 、 洛 必 达 法 则 第 三 章 导 数 的 应

4、 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 1) 应 用 洛 必 达 法 则 时 ， 是 通 过 分 子 与 分 母 分 别 求导 数 来 确 定 未 定 式 的 极 限 ， 而 不 是 求 商 的 导 数 .2)上 述 定 理 对 “ ” 型 或 “ ” 型 的 极 限 均 成立 ， 其 它 类 型 的 不 定 型 需 要 转 化 为 以 上 两 种 类 型 后才 能 使 用 洛 必 达 法 则 。00 定 理 的 证 明 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 不 是 未 定 式 不 能 用 洛 必 达 法 则 !例 1 求 0 sin2lim 3x xx 0 sin2l

5、im 3x xx 0 (sin2 )lim (3 )x xx 0 2cos2lim 3x x 23)00( 0 02cos2 (2cos2 )lim lim3 (3)x xx x 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 方 法 一 ：例 2 求 42 16lim 2x xx 4 2 16lim 2x xx 32 4lim 1x x 32)00(方 法 二 ：42 16lim 2x xx 22 ( 2)( 2)( 4)lim 2x x x xx 2 2 ( 2)( 4)lim 1x x x 32 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 si

6、n5lim sin2 x xx例 3 求 sin5lim sin2x xx (sin5 )lim (sin2 ) x xx 5cos5lim 2cos2x xx 5 52 2 )00(解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 2lim 1x x x 21limx xx 用 洛 必 达 法 则3) 在 很 多 情 况 下 ， 要 与 其 它 求 极 限 的 方 法 （ 如21limx xx 例 如 ,而 21limx xx 21lim 1x x 1才 能 达 到 运 算 简 捷 的 目 的 .等 价 无 穷 小 代 换 或 重 要 极 限 等 ） 综 合 使 用 ，注

7、意 ： 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 20 sinlim sinx x xx x 例 4 求 20 sinlim sinx x xx x 20 sinlimx x xx x 30 sinlimx x xx 20 1 coslim 3x xx )00(等 价 无 穷 小 代 换 洛 必 达 法 则220 12lim 3x xx 16 0 0sin 1lim lim6 6 6x xx xx x 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 arctan2lim 1 x xx 例 5 求 arctan2lim 1x xx 2 211lim 1x

8、 xx 2lim 12x xx 2 2lim 1x xx )00( 可 多 次 使 用 洛 必 达 法 则 ， 但 在 反 复 使 用 法 则 时 ， 要 时刻 注 意 检 查 是 否 为 未 定 式 ， 若 不 是 未 定 式 ， 不 可 使 用法 则 。解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 0 lntan3lim lntan2x xx例 6 求 0 lntan3lim lntan2x xx 22 0 tan2 3sec 3lim tan3 2sec 2x x xx x 03 2lim2 3x xx 03 tan2lim2 tan3x xx( ) 1解 第 三

9、章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 例 7 求 lim nxx xelim n xx xe 1lim n xx nxe 22( 1)lim nxx n n xe ( )0 !lim n xx ne 使 用 n次 洛 必达 法 则 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 lnlim x xx例 8 求 lnlim ( 0)x xx 11limx xx 1limx x( )0解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 4)若 不 存 在 ()0 ( )lim ( )x x f xg x 0 0( ) ( )lim lim( )

10、 ( )x x x xf x f xg x g x 洛 必 达 法 则 失 效 ！例 如 , sinlimx x xx 极 限 不 存 在sinlim (1 )x xx 1 1 coslim 1x x 注 意 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 sinlim sin x x xx x 例 9 求 sinlim sinx x xx x 1 coslim 1 cos x xx sin1lim 1sin1x xxxx ( ) 不 存 在 ()洛 必 达 法 则 失 效 ！sinlim sinx x xx x 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法

11、则 0 sinlim (1 cos ) 1xx x xx e 例 10 求 0 sinlim (1 cos ) 1xx x xx e 0 2sinlim 12x x xx x 0 21 coslim 32x xx 能 用 等 价 无 穷 小 代换 的 先 代 换 0 3sinlim 12x x xx 20 21 12lim 3 32x xx 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 0 1 12 sin coslim xx x x xe 原 式例 11 求 20 1sinlim 1xx x xe 20 01sin 1lim lim sin1 1x xx xx xx x

12、e e x 但 1 0 0 分 母 1， 分 子 振 荡 而 没 有 极 限 L.H ospital法 则 “ 失 效 ”解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 0 00 , ,0 ,1 , 00将 其 它 类 型 未 定 式 化 为 洛 必 达 法 则 可 解 决 的类 型 ： 或1. 0步 骤 ： ,10 .0100 或三 、 其 他 类 型 未 定 式 的 极 限关 键 ： 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 0lim lnx x x 例 12 求 0lim lnx x x0 lnlim 1x xx 0lim( )x x 0 21l

13、im 1x xx 0 0注 意 到 ： 求 导 比 求 导 简 单 1ln x1x解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 2lim .xx x e例 13 求 2lim .xx x e 2lim xx ex lim 2xx ex lim 2xx e 0解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 2. 步 骤 ： 0101 .00 00 1 1lim 1 lnx xx x 例 14 求 1 1lim 1 lnx xx x 1 ln 1lim ( 1)lnx x x xx x 1 ( ln 1)lim ( 1)ln x x x xx x 1 ln

14、 1 1lim ln 2 2x xx 1 11 ln 1 ( ln )lim lim1 1 lnlnx xx x xx x x xxx 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 0 1 1lim( ).sinx x x 例 15 求 0 1 1lim( ).sinx x x 0 sinlim sinx x xx x 0 1 coslim sin cosx xx x x 0解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 0 03. 0 1步 骤 ： ( ) 0 ( ) 0( )( ) ( ) ( ) 0 ln ( )ln ( )( ) 1 ( )f

15、x g xg xy f x f x g x y g x f xf x g x ln ( )limln lim ( )ln ( ) lim 1( )f xy g x f x g x ln0 1ln0ln010 00 取 对 数 .0 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 0lim lnln0 0lim lim e ex x xx x xx xx 例 16 求 0lim xx x0 0 0 021lnlim ln lim lim lim( ) 01 1x x x xx xx x xx x 00lim e 1xx x 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必

16、达 法 则 1limx xx例 17 求 1lim xx x1lim ln x xx 01lim e 1x xx 1 lnlimx x xe lim 1 lnx x xe lnlimx xx 1lim 0 x x 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 111limln xx x 例 18 求 111lim xx x 1 1lim ln1x xx 1 lnlim1x xx 1 1 1limx x 解 第 三 章 导 数 的 应 用 第 三 节 洛 必 达 法 则 例 19 求 0 1 1limcot sinx x x x 20 3cos1lim x xx 30 lim xx原 式 xsin x1coslim 0 xxxx sin22210 3lim xxx xcos1 221 x61 xx xxxx 20 sin )sin(coslim 解