本-第8讲-矩阵分块法矩阵运算习题

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1、第 1页 矩 阵 分 块 法 典 型 习 题 矩 阵 的 概 念 矩 阵 的 运 算 逆 矩 阵第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 第 2页 典 型 习 题 矩 阵 的 概 念 矩 阵 的 运 算 逆 矩 阵第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 矩 阵 分 块 法 第 3页 分 块 矩 阵 的 概 念 bbaaA 110 101 000 001 bbaaA 110 101 000 001 bbaaA 110 101 000 001 把 矩 阵 A用 若 干 条 纵 线 和 横 线 分 成 许 多 小 矩 阵 每 个 小 矩 阵称 为 A的 子 块 形 式 上 以 子 块 为 元 素 的 矩 阵

2、称 为 分 块 矩 阵 .例如 321BBB BE OA bbaaA 110 101 000 001 按 行 分 块 按 列 分 块 第 4页 分 块 矩 阵 的 运 算 规 则1. 加 法2. 数 乘3. 乘 法4. 转 置 第 5页.11 111111 srsrss rr BABA BABABA srs rsrs r BB BBBAA AAA 1 1111 111 , 设 A与 B是 同 型 矩 阵 ， 采 用 相 同 的 分 块 法 ， 有其 中 Aij与 Bij的 行 数 相 同 ， 列 数 相 同 ， 那 么加 法 第 6页 数 乘 .1 111 srs rAA AAA 11 11

3、rs srA AA A A设 , 为 数 ,那 么 第 7页 乘 法 , 1 1111 111 trt rsts t BB BBBAA AAA srs rCC CCAB 1 111 .其 中 ij i1 1j i2 2j it tjC = A B + A B + + A B 设 A为 m l矩 阵 ， B为 l n矩 阵 ， 分 块 成其 中 Ai1, Ai2, ,Ait的 列 数 分 别 等 于 B1j, B2j, ,Btj行 数 ,那 么 第 8页 乘 法例 计 算 AB， 其 中1 0 0 00 1 0 0 ,1 2 1 01 1 0 1A 1 0 1 01 2 0 1 ,1 0 4 1

4、1 1 2 0B 1E OA E 1121 22B EB B 第 9页 转 置 TsA1TrA1 .11 TsrTT AAA 则 第 10页 分 块 对 角 矩 阵 具 有 如 下 形 式 的 分 块 矩 阵 称 为 分 块 对 角 矩 阵 ，其 中 Ai (i=1,2,s)都 是 方 阵 . ,21 sAAAA O O1 0 0 01 2 0 0 0 0 3 00 0 4 2A 1 4 0 0 01 2 0 0 00 0 2 0 00 0 0 3 00 0 0 1 2A 第 11页 分 块 对 角 矩 阵 的 性 质1 2 sA A A A 0, 0,iA A 若 则 且性 质 1性 质 2

5、性 质 3 11 11 2 1sA O OO A OA O O A 1 1 1 12 2 2 2s s s sA O O B O O AB O OO A O O B O O AB OO O A O O B O O AB 1 2k kk ksA O OO A OA O O A 第 12页 例 5 0 00 3 1 ,0 2 1A 设 1 2 6, .A A A求 和解 1 2 ,A OA O A 12 1 1 ;2 3A 11 1 ;5A 11 1 12A OA O A 15 0 00 1 1 .0 2 3 22 1 22A OA O A 22 11 4 ;8 3A 21 25 ;A 25 0

6、00 11 4 .0 8 3 6A 6A 61 2A A 65 1 65 . 第 13页 线 性 方 程 组 的 矩 阵 表 示 形 式 AxbA(aij)称为系数矩阵11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2 , ,n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b x(x1 x2 xn)T 称为未知数向量b(b 1 b2 bm)T 称为常数项向量B(A b)称 为增广矩阵解向量 第 14页 小 结1. 矩 阵 分 块 法 是 矩 阵 运 算 的 一 种 技 巧 .其 好 处 ： (1)把 大 矩 阵 的 运

7、 算 化 为 小 矩 阵 的 运 算 ; (2)矩 阵 分 块 后 能 突 出 矩 阵 的 结 构 ， 从 而 可 利 用 它的 特 殊 结 构 ， 使 运 算 简 化 ；2. 分 块 矩 阵 是 形 式 上 的 矩 阵 ， 其 运 算 规 则 与 普通 矩 阵 的 类 似 . (3)可 为 某 些 命 题 的 证 明 提 供 方 法 . 第 15页 矩 阵 分 块 法 矩 阵 的 概 念 矩 阵 的 运 算 逆 矩 阵第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 典 型 习 题 第 16页 学 习 要 求1. 理 解 矩 阵 的 概 念 ， 了 解 一 些 特 殊 矩 阵 的 特 点 。 2. 熟 练

8、 掌 握 矩 阵 的 各 种 运 算 及 相 应 的 运 算 规 律 。3. 理 解 并 掌 握 可 逆 矩 阵 的 概 念 、 性 质 以 及 矩 阵 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 。4. 理 解 伴 随 矩 阵 的 概 念 ， 掌 握 其 性 质 ， 会 用 伴 随矩 阵 求 矩 阵 的 逆 矩 阵 。5. 知 道 分 块 矩 阵 及 其 运 算 规 律 。 第 17页 基 本 题 型 2 3 4 2 3 42 4 , , , , , , , ,A r r r B r r r . 设 阶 方 阵 其 中2 3 4, , , , , , ,r r r A m B n 均 为 列 向 量

9、 且 已 知v与 方 阵 的 行 列 式 相 关 的 运 算 . 20 3 41 1 0 00 2 1A k kA . 设 ， 为 非 零 常 数 ， 计 算 。2 .A B试 求 行 列 式 的 值 v具 体 矩 阵 的 各 类 运 算 . A B A B 第 18页 基 本 题 型v与 伴 随 矩 阵 和 可 逆 矩 阵 相 关 的 计 算 . 1 * *1 0 04. 2 3 0 ? ?4 5 6A A A 设 ， 则 1 *13. 3 (2 ) 5 .2A A A A 设 为 阶 矩 阵 ， ， 求* 1 15. diag(1,1,1,8) 3. A A ABA BA EB 已 知 的

10、 伴 随 阵 ,且 ,求 1 nAA 第 19页 基 本 题 型v关 于 抽 象 矩 阵 求 逆 矩 阵 的 计 算 和 证 明 .26. 2 3 , .A A A E O A 设 方 阵 满 足 方 程 证 明 可 逆 ,并 求 逆 矩 阵 1 2 17. ( ) ( ) .k kA O k E A E A A A 设 为 正 整 数 ,证 明( 2 ) 3A A E E 1 1 ( 2 )3A A E 2 1( )( )kE A E A A A EkE A 2 1 2 1( )k k kE A A A A A A A 证 1 2 1( ) .kE A E A A A 证 第 20页 基 本

11、 题 型v对 称 矩 阵 的 证 明 . .A B n AB AB BA 8.设 ， 都 是 阶 对 称 阵 ， 证 明 是 对 称 阵v计 算 A的 n次 幂 .1. nA A 根 据 所 给 矩 阵 ， 找 出 所 满 足 的 关 系 式 ； 2 32. , ,A A A 通 过 具 体 计 算 等 ， 找 出 的 幂 次 的 规 律 利 用 数 学 归 纳 法 ；1 13. , .k kA P P A P P 如 果 则 1 3 2 1(1,2,3) (3,2,1) 10 6 4 29 6 3nT nA B A B ， ， 则1 2 1 2diag( , , , ) diag( , , , )k k k kn n 设 ， 有 1 1 1 11 2diag( , , , ).n 第 21页 ,(1) ,1 3 0(2) 2 1 0 .0 0 2n A B A B ABA E B E E nB A 设 阶 矩 阵 和 满 足证 明 可 逆 ， 其 中 是 阶 单 位 阵 ；已 知 ， 求 矩 阵思 考 题