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1、用 函 数 的 导 数 判 断 函 数 单 调 性 的 法 则 ：1 如 果 在 区 间 (a， b)内 ， ， 则 f(x)在此 区 间 是 增 函 数 ， (a， b)为 f(x)的 单 调 增 区 间 ；2 如 果 在 区 间 (a， b)内 ， ， 则 f(x)在此 区 间 是 减 函 数 ， (a， b)为 f(x)的 单 调 减 区 间 ；3.如 果 恒 有 ， 则 是 ?。)(xf0)( xf 常 数 0)(/ xf 0)(/ xf 什 么 条 件 ？ 为 增 （ 减 ） 函 数 的是 函 数或、 )()0(0)(4 / xfxf 充 分 不 必 要 条 件 2.求 函 数 单
2、调 性 的 一 般 步 骤 求 函 数 的 定 义 域 ; 求 函 数 的 导 数 f/（ x） ; 解 不 等 式 f/（ x） 0 得 f(x)的 单 调递 增 区 间 ; 解 不 等 式 f/（ x） 0).0)( xf当 x变 化 时 , ,f(x)的 变 化 情 况 如 下 表 :)(xf 例 3 求 函 数 y=x4 2x2+5在 区 间 2， 2上 的最 大 值 与 最 小 值 当 x= 2时 ， 函 数 有 最 大 值 13， 当 x= 1时 ， 函 数 有 最 小 值 4 1.函 数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既 有 极 大 值 ， 又有 极 小 值 ， 则
3、 a的 取 值 范 围 为 .2.函 数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3在 区 间 （ -2， ,2）上 既 有 极 大 值 ， 又 有 极 小 值 ， 则 a的 取 值 范 围为 .156 a3、 已 知 函 数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1处 有 极 值为 10,求 a、 b的 值 .极 值 逆 用 a=4,b=-11. 1、 下 图 是 导 函 数 的 图 象 , 在 标 记 的 点 中 , 在 哪 一点 处(1)导 函 数 有 极 大 值 ?(2)导 函 数 有 极 小 值 ?(3)函 数 有 极 大 值 ?(4)函 数 有 极 小 值 ?)(xfy )(
4、xfy )(xfy )(xfy )(xfy 2xx 1xx 4 xx 或 3xx 5xx （ 2） 函 数 cosy x x 的 导 函 数 ( )f x 在 区 间 ， 上 的 图 象 大 致 是 （ ） A 3 函 数 f(x)=x 的 极 值 情 况 是 ( ) (A) 当 x=1时 取 极 小 值 2， 但 无 极 大 值 (B) 当 x= 1时 取 极 大 值 2， 但 无 极 小 值 (C) 当 x= 1时 取 极 小 值 2， 当 x=1时 取极 大 值 2 (D) 当 x= 1时 取 极 大 值 2， 当 x=1时 取极 小 值 2 1x D 4.（ 2006年 天 津 卷 )
5、函 数 的 定 义 域 为 开 区 间( )f x导 函 数 在 内 的 图 像 如 图 所 示 ， 则 函 数在 开 区 间 内 有 （ ） 个 极 小 值 点 。 ( )f x ( , )a b( , )a b( , )a b ( )f x(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 a b x y )(xfy O 练 习 :求 函 数 的 极 值 .216xxy 解 : .)1( )1(6 222xxy 令 =0,解 得 x1=-1,x2=1.y当 x变 化 时 , ,y的 变 化 情 况 如 下 表 :y x (- ,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ) y - 0 + 0 - y
6、 极 小 值 -3 极 大 值 3 因 此 ,当 x=1时 有 极 大 值 ,并 且 ,y 极 大 值 =3;而 ,当 x=-1时 有 极 小 值 ,并 且 ,y极 小 值 =- 3. 5、 已 知 函 数 f(x)=-x3+ax2+b. (1)若 函 数 f(x)在 x=0,x=4处 取 得 极 值 ,且 极 小 值 为 -1, 求 a、 b的 值 . (2)若 ,函 数 f(x)图 象 上 的 任 意 一 点 的 切 线 斜 率 为 k,试 讨 论 k-1成 立 的 充 要 条 件 . 1,0 x解 :(1)由 得 x=0或 x=4a/3.故 4a/3=4, a=6. 023)( 2 axxxf由 于 当 x0时 , 故 当 x=0时 ,f(x)达 到 极 小 值 f(0)=b,所 以 b=-1. .0)(,0)( xfxf(2)等 价 于 当 时 ,-3x2+2ax-1恒 成 立 ,即 g(x)= 3x 2-2ax-10对 一 切 恒 成 立 .1,0 x 1,0 x由 于 g(0)=-10,故 只 需 g(1)=2-2a0,即 a1.反 之 ,当 a1时 ,g(x)0对 一 切 恒 成 立 .1,0 x所 以 ,a1是 k-1成 立 的 充 要 条 件 .
利用导数研究函数的极值(上课用)
