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1、第 三 节 定 义 若 二 维 随 机 向 量 ( X, Y ) 具 有 概 率 密 度记 作 .),(),( 22212 1NYX则 称 ( X,Y)服 从 参 数 为 的 二 维 正 态 分 布 . , 21211|,0,0 21 其 中 均 为 常 数 , 且 , 2121 ),( yxf 221 12 1 22 2221 2121 212 )(2 )(2)()1(2 1e yyxx 可 以 证 明 , 若 ),(),( 222121 NYX 则,),( 211 NX .),( 222 NY 这 就 是 说 , 二 维 正 态 分 布 的 两 个 边 缘 分 布 仍 然为 正 态 分 布
2、 , 而 且 其 边 缘 分 布 不 依 赖 于 参 数 . 因此 可 以 断 定 参 数 描 述 了 X与 Y之 间 的 某 种 关 系 !由 联 合 分 布 可 以 确 定 边 缘 分 布 ；但 由 边 缘 分 布 一 般 不 能 确 定 联 合 分 布 .再 次 说 明 联 合 分 布 和 边 缘 分 布 的 关 系 : 解 例 1 设 随 机 变 量 X 和 Y 的 联 合 概 率 密 度 为 8822exp),( 22 yyxCyx试 求 常 数 C 和 各 参 数 的 值 ),( yxf 221 12 1 22 2221 2121 212 )(2 )(2)()1(2 1e yyxx
3、 ;41 )2(4121exp),( 22 yxCyx ,041,241,0 222211 ， 解 8822exp),( 22 yyxCyx试 求 常 数 C 和 各 参 数 的 值 ;41 )2(4121exp),( 22 yxCyx ,041,241,0 222211 ， .212 1 221 C例 1 设 随 机 变 量 X 和 Y 的 联 合 概 率 密 度 为 ),( yxf 221 12 1 22 2221 2121 212 )(2 )(2)()1(2 1e yyxx可 以 证 明 ， ,),(),( 22212 1NYX若则 其 中 的 参 数 即 为 X、 Y 的 相 关 系
4、数 ， 证 明 略 .若 = 0， 则 有 )()(2121 22 2221 21e2 1),( yxyxf ,e21e21 22 2221 21 2 )(22 )(1 yx ,)()(),( yfxfyxf YX 前 面 说 明 , 若 ),(),( 222121 NYX 则,),( 211 NX .),( 222 NY所 以 = 0时 ， 有即 若 X 与 Y 不 相 关 性 ， 则 X 与 Y 必 独 立 . 所 以 在 正 态 分 布 的 场 合 ,独 立 性 与 不 相 关 性 是 等 价 的 . 22 2221 21 2 )(22 )(1 e21e21),( yxyxf ),4,0()3,1( 22 NNYX 和分 别 服 从 正 态 分 布与已 知 相 互 独 立 ，与， 知由 YXXY 0例 2解 .),(,0 的 联 合 密 度求若 YXXY )()(),( yfxfyxf YX 的 联 合 密 度 为所 以 ),( YX 2222 4232 )1( e24 1e23 1 yx .e241 3218)1( 22 yx 例 3解 由 题 意 知 ,所 以 (X,Y )的 协 方 差 矩 阵 为)( YXD ,),(Cov2)()( YXYDXD ,1 DYDX ,0)( YXD而 得 ,1),cov( YX .11 11 V 练 习 ：P114 习 题 三
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