二阶矩阵课件.ppt

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1、第 二 章 矩 阵第 一 节 矩 阵 的 定 义第 二 节 矩 阵 的 运 算第 三 节 矩 阵 的 逆第 四 节 矩 阵 的 分 块第 五 节 矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵第 六 节 用 初 等 变 换 求 逆 矩 阵第 七 节 矩 阵 的 秩 1 矩 阵 的 定 义定 义 1 给 出 mn个 数 ,排 成 m行 n列 的 矩 形 数 表 mnmm nnaaa aaa aaa 21 22221 11211此 数 表 叫 做 m行 n列 矩 阵 ,简 称 mn矩 阵 。记 为 nmij nmijAaA aA 或或亦 记 为 )( )( mnmm nnaaa aaa aaaA

2、21 22221 11211 返 回 上 一 页 下 一 页 如 果 矩 阵 A的 元 素 aij全 为 实 (复 )数 ,就 称 A为 实 (复 )数 矩 阵 。只 有 一 行 的 矩 阵 A=(a1 a2 . an)叫 做 行 矩 阵 , 行 矩 阵 也 记 作 A=(a1 ,a2 ,. ,an)。只 有 一 列 的 矩 阵 mbbbB 21 叫 做 列 矩 阵 。两 个 矩 阵 的 行 数 相 等 ,列 数 也 相 等 ,就 称 它 们 是 同 型 矩 阵 。元 素 都 是 零 的 矩 阵 称 为 零 矩 阵 ,记 作 O。 下 一 页上 一 页返 回 1.三 角 矩 阵 11 12 1

3、21 200 0 nnnna a aa aA a 下 一 页上 一 页返 回如 果 n阶 方 阵 中 元 素 满 足 条 件 即 A的 主 对 角 线 以 下 的 元 素 全 为 零 ， 则 称 A为 n阶 上三 角 矩 阵 .即 0 , 1,2, , ,ija i j i j n 下 一 页上 一 页返 回1121 221 20 00n n nnaa aA a a a 如 果 n阶 方 阵 中 元 素 满 足 条 件 即 的 主 对 角 以 上 的 元 素 全 为 零 ， 则 称 为 n阶 下 三 角 矩阵 .即 0 , 1,2, , ,ija i j i j n 下 一 页上 一 页返 回

4、 2.对 角 矩 阵 11 220 00 00 0 nna aA a 如 果 n阶 方 阵 中 元 素 满 足 条 件即 的 主 对 角 线 以 外 的 元 素 全 为 零 ， 则 称 为 n阶 对 角 矩阵 .即 0 ,ija i j ijA a 下 一 页上 一 页返 回 3.数 量 矩 阵 0 00 00 0a aA a 如 果 n阶 对 角 矩 阵 中 元 素 满 足 则 称 为 数 量 矩 阵 .即 1,2, , ,iia a i n ijA a 下 一 页上 一 页返 回 4.单 位 矩 阵 1 0 00 1 00 0 1 nE 如 果 n阶 对 角 矩 阵 中 元 素 满 足 则

5、 称 为 n阶 单 位 矩 阵 ， 记 为 .即 1 1,2, , ,iia i n ijA a nE 2 矩 阵 的 运 算一 、 矩 阵 的 加 法定 义 2 设 有 两 个 mn矩 阵 A=(aij), B=(bij),那 么 A与 B的和 记 为 A+B,规 定 为 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababaBA 2211 2222222121 1112121111注 意 :只 有 当 两 个 矩 阵 同 型 时 ,才 能 进 行 加 法 运 算 。加 法 满 足 运 算 规 律 : (1) A+B= B + A; (交 换 律 ) (2) (A + B)+

6、C= A +(B +C) . (结 合 律 ) 下 一 页上 一 页返 回 二 、 数 与 矩 阵 相 乘定 义 3 数 与 矩 阵 A的 乘 积 记 做 A,规 定 为 mnmm nnaaa aaa aaaA 21 22221 11211数 乘 矩 阵 满 足 运 算 规 律 :)()(1( AA AAA )(2( BABA )()3( 下 一 页上 一 页返 回 设 矩 阵 A=(aij),记 -A =(-1)A=(-1aij)= (-aij), -A称 为 A的负 矩 阵 ,显 然 有 A+(-A)=O.其 中 O为 各 元 素 均 为 0的 同 型 矩 阵 ,由 此 规 定 A-B=A

7、+(-B). 下 一 页上 一 页返 回 三 、 矩 阵 与 矩 阵 相 乘定 义 4 设 A=(aij) ms,B=(bij) sn那 么 规 定 矩 阵 A与 B的乘 积 是 C=(cij) m n,其 中 sk kjiksjisjijiij babababac 12211 并 把 此 乘 积 记 作 C=AB。行 矩 阵 与 列矩 阵 相 乘 )(, 22112121 sjisjijisjjjisii babababbbaaa 注 意 ： 只 有 当 第 一 矩 阵 （ 左 矩 阵 ） 的 列 数 与 第 二 矩 阵（ 右 矩 阵 ） 的 行 数 相 等 时 ， 两 个 矩 阵 才 能

8、相 乘 。 下 一 页返 回 上 一 页 例 4 cbaA 000 000111cbaB求 ： AB和 BA。解 ： 000 111 ccbbaaAB 000 000 000BA注 ： 表 明 矩 阵 乘 法 不 满 足 交 换 律 。 AB 0推 不 出 A 0或 B 0 AC BC且 C不 为 0,推 不 出 A=B (不 满 足 消 去 律 )下 一 页上 一 页返 回 矩 阵 的 乘 法 满 足 运 算 律 ： )()()1( BCACAB 结 合 律 CABAACB ACABCBA )( )()2( 右 分 配 律左 分 配 律 BAAB )()()3( 对 于 单 位 矩 阵 ，

9、有 nmnnmnmnmm AEAAAE ,一 般 称 k kA A A A 为 方 阵 的 k次 幂 。规 定 ； EA 0 下 一 页上 一 页返 回 解 12 2 1 2 ,1 A= 2 1 12 2, 1,2 2 2 1 2 21 1 A = A, 下 一 页上 一 页返 回 例 8 已 知 矩 阵 求2 1 24 2 4 ,2 1 2 A .nA 11 1 112 2 22 2 2 2 .2 2 2n n nn n n n nn n n A = A= 四 、 矩 阵 的 转 置定 义 5 把 矩 阵 A的 行 换 成 同 序 数 的 列 ,得 到 的 新 矩阵 称 为 A的 转 置 矩

10、 阵 ,记 作 A 。 cbaA 000 cbaA 000满 足 运 算 律 ：AA )(1( BABA )(2( AA )(3( nn AAABAB )()(,)(4( 下 一 页上 一 页返 回 nnijnmij nsijsmij dDABcCAB bBaA )(,)( ,)(,)(记设 有 sk kijkij bac 1 sk kijkjksk ki jsjjsiiiij baabaaabbbd 112121 ),( 所 以 ),2,1;,2,1( mjnicd jiij ABABDC )(,或即 下 一 页上 一 页返 回 设 A为 n阶 方 阵 ,若 A=A,即 aij= aji (

11、i,j=1,2, ,n),那 么 ,A称 为 对 称 矩 阵 ;若 A= -A,即 aij= - aji (i,j=1,2, ,n),那 么 ,A称 为 反 对 称 矩 阵 。 对 称 矩 阵 的 特 点 是 : 它 的 元 素 以 主 对 角 线 为 对 称 轴 对 应 相 等 。反 对 称 矩 阵 的 特 点 是 : 以 主 对 角 线 为 对 称 轴 的 对 应 元 素 绝 对 值 相 等 ,符号 相 反 ,且 主 对 角 线 上 各 元 素 均 为 0 。 下 一 页上 一 页返 回 例 9 设 1 1 2 1 11 0 3 , 2 1 ,1 2 1 3 2 A= B=那 么 5 61

12、0 7 ,0 5 AB = 下 一 页上 一 页返 回1 1 1 1 2 31 0 2 , ,1 1 22 3 1 A = B =5 10 0 ( ) .6 7 5 B A = AB 五 、 方 阵 的 行 列 式 定 义 6 由 n阶 方 阵 A的 元 素 构 成 的 行 列 式 (各 元 素位 置 不 变 ),称 为 方 阵 A的 行 列 式 ,记 作 |A|或 detA 。设 A,B为 n阶 方 阵 ,为 实 数 ,则 有 下 列 等 式 成 立 AA n )2(1) A A BAAB )3( 个 方 阵 的 情 形 ：推 广 n nn AAAAAA . 2121 下 一 页上 一 页返

13、 回 EA 由 于解 )( AEAAAA )( AEAEA ,A E 00 EA EA 2 即所 以 下 一 页上 一 页返 回 n 1 .A AA EA A E 设 是 阶 方 阵 ， 满 足 ，且 ， 求例 11 3 矩 阵 的 逆 定 义 7 对 于 n阶 方 阵 A,如 果 有 一 个 n阶 方 阵 B,满 足 AB=BA=E,则 称 方 阵 A可 逆 ,且 把 方 阵 B称 为 A的 逆 矩 阵 ,记 作 B=A-1 。如 果 A是 可 逆 的 ,则 A的 逆 矩 阵 唯 一 。设 B,C都 是 A的 逆 矩 阵 ,则 一 定 有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C. 下 一

14、 页上 一 页返 回 EAAAAA *0A因 为 EAAAAAA )1()1( *有说 明 A是 可 逆 的 。 下 一 页上 一 页返 回定 理 1 设 A是 n阶 方 阵 , 则 A可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是1 * *10, , .A A A A AA 且 其 中 为 的 伴 随 矩 阵证 先 证 必 要 性 。 由 于 A是 可 逆 的 ， 则 有 1A A E 1 1| | | | 1, | | | | 1. | | 0.A A E A A A 故 即 所 以下 证 充 分 性 .设 由 伴 随 矩 阵| | 0.A ,的 性 质 有A AAA 111 )(,)1( 且亦

15、可 逆 11 1)(,)2( AAA 且亦 可 逆 11111 111 . .,.2,1 )(,)3( AAAAAA AAAnA ABABAB nn1n21 n21i i ）且 （ 也 可 逆 ，可 逆 ， 则）（若 一 般 地 有 ：且亦 可 逆 nn AAAABA )()(,)()(, 112112 一 般 有则若 )()(,)4( 11 AAA 且亦 可 逆 下 一 页上 一 页返 回 推论 对于n阶方阵 ，若存在n阶方阵 ，使 则 一定可逆，且 A B ,AB E BA E 或 A 1.AB 例 12 求 方 阵 631 321 222A 的 逆 矩 阵 。解 因 为 02A所 以 A

16、-1存 在 ,先 求 A的 伴 随 矩 阵 A* A11=3, A12=-3, A13=1,A21=-6, A22=10, A23=-4, A31=2, A32=-4, A33=2 241 4103 263 *A 241 4103 263211 *1 AAA 下 一 页上 一 页返 回 下 一 页上 一 页返 回 1 32 03 1C 设1 2 3 2 1A= 2 2 1 B= 5 33 4 3求 矩 阵 X使 满 足 AXB=C例 13解 若 均 存 在 ， 则 用 左 乘 上 式 ， 右乘 上 式 ， 有1 1 、A B 1A 1B 1 1 1 1, A AXBB A CB1 1. 即 X

17、 A CB 下 一 页上 一 页返 回 1 1 3 23 53 ,2 21 1 1 A 1 3 1 ,5 2 B =1 1 1 3 2 1 3 3 13 53 2 0 5 22 2 3 11 1 1 X = A CB由 于 ， 故 存 在 ， 且 1 1 、A B2 1|A|= ,|B|= 1 1 2 13 10 2 10 4 .5 20 2 10 4 1 * * ,A A A B A B B 设 可 逆 , 为 其 转 置 矩 阵 ,且 证 明例 15 可 逆 。，解 ： EBABABA 11* ,)* 1 ABEA( ,* 1 0 ABEA 于 是 ,0 B所 以 可 逆 。故 B 下 一

18、 页上 一 页返 回2 6 00 2 60 0 2 当 时 ， 求A= B.1 1 1( ) ( ) B= A E A = A A E A E A 1 1 06 0 1 10 0 1 =其 中 8 2 6 08 0 2 68 0 0 2 A E A= 1 1 11 0 1 16 0 0 1 B= 下 一 页上 一 页返 回 4 矩 阵 的 分 块 定 义 将 矩 阵 A用 若 干 条 纵 线 和 横 线 分 成 许 多 个 小矩 阵 ,每 个 小 矩 阵 称 为 A的 子 块 ,以 子 块 为 元 素 的 矩 阵称 为 分 块 矩 阵 。 34333231 24232221 14131211

19、aaaa aaaa aaaaA列 举 三 种 分 块 形 式 ： 34333231 24232221 14131211)1( aaaa aaaa aaaa 2221 1211 AA AAA 下 一 页上 一 页返 回 34333231 24232221 14131211)2( aaaa aaaa aaaa 34333231 24232221 14131211)3( aaaa aaaa aaaa分 块 矩 阵 的 运 算 法 则 :(1)矩 阵 A与 B为 同 型 矩 阵 ,采 用 同 样 的 分 块 法 ,有 srss rrsrss rr BBB BBB BBBBAAA AAA AAAA 21

20、 22221 1121121 22221 11211 , srsrssss rr rr BABABA BABABA BABABABA 2211 2222222121 1112121111 下 一 页上 一 页返 回 11 12 121 22 21 2 rrs s srA A AA A AA kA A A 设 为 数 ， 那 么11 12 1 21 22 21 2 rrs s srkA kA kAkA kA kAkA kA kA kA 下 一 页上 一 页返 回 (2)A为 ml矩 阵 ,B为 ln矩 阵 ,将 A,B分 成 trt rsts t AA BBBAA AAA 1 1111 111

21、,其 中 Ai1,Ai2,Ait的 列 数 分 别 等 于 B1j,B2j,Bij的 行 数 ,则 有 srs rCC CCAB 1 111 ),.,2,1;,.,2,1(1 rjsiBAC tk kjikij 其 中 下 一 页上 一 页返 回 ,0211 1401 1021 0101,1011 0121 0010 0001 BA例 16求 AB.解 A,B分 块 成 EAEA 1 01011 0121 0010 0001 2221110211 1401 1021 0101 BB EBB 下 一 页上 一 页返 回 22121111 112221111 0 BABBA EBBB EBEAEA

22、B 11 4221 0120 43 11 0121 0111 2121111 BBA 13 3302 1411 21 221 BA .1311 3342 1021 0101 AB 下 一 页上 一 页返 回 (3)设 srss rrAAA AAA AAAA 21 22221 11211 则 srrr ssAAA AAA AAAA 21 22212 12111(4)设 方 阵 A的 分 块 矩 阵 为 mAAAA 0 021除 主 对 角 线 上 的 子 块 不 为 零 子 块 外 ,其 余 子 块 都 为 零矩 阵 ,且 Ai(i=1,2,m)为 方 阵 ,则 A称 为 分 块 对 角 矩 阵

23、(或 准 对 角 矩 阵 ). i) 准 对 角 矩 阵 的 行 列 式 为 mAAAA 21det 下 一 页上 一 页返 回 ii) 若 有 与 A同 阶 的 准 对 角 矩 阵 mBBBB 0 021其 中 Ai与 Bi (i=1,2,m)亦 为 同 阶 矩 阵 ,则 有 mmBABABAAB 0 02211iii) 若 A可 逆 ,则 有 112111 0 0 mAAAA 下 一 页上 一 页返 回 ,120 130 005 A 求 A-1 .例 17 设解 32 11,12 13;51),5( 1 2211 AAAA 210 0120 130 005 AAA .320 110 005

24、11 A 下 一 页上 一 页返 回 均 可 逆 ， 则若 子 矩 阵 i AA A AAiv n 2 1 11 11 11 A A AA n n 下 一 页上 一 页返 回 矩 阵 的 初 等 行 变 换 都 是 可 逆 的 ,且 其 逆 变 换 也 是同 类 的 初 等 行 变 换 。定 义 10 下 面 的 三 种 变 换 称 为 矩 阵 的 初 等 行 变 换 : (1)交 换 矩 阵 两 行 的 位 置 交 换 第 i行 和 第 j行 的 位 置 记 为 r(i,j). (2)矩 阵 的 某 行 所 有 元 素 同 乘 以 一 个 非 零 常 数 第 i行 乘 以 k记 为 r i(

25、k) (3)把 矩 阵 一 行 所 有 元 素 的 k倍 加 到 另 一 行 对 应 的 元 素 上 去 第 i行 的 k倍 加 到 第 j行 上 去 记 为 r j+i(k)返 回 上 一 页 下 一 页 5 矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 定 义 11 如 果 矩 阵 A经 有 限 次 初 等 变 换 化 成 B， 就 称矩 阵 A与 B等 价 。 返 回 上 一 页 下 一 页 矩 阵 的 等 价 关 系 具 有 下 列 性 质 ： (1)反 身 性 ： A与 A等 价 。 (2)对 称 性 ： 如 果 A与 B等 价 ， 那 么 B与 A等 价 。 (3)传 递 性 ：

26、 如 果 A与 B等 价 ， B与 C等 价 ， 那 么 A与 C等 价 。 返 回 上 一 页 下 一 页 例 19 已 知 ， 对 其 做 如 下 初 等行 变 换 ： 3 2 9 61 3 4 171 4 7 31 4 7 3A (1,3) 1 4 7 31 3 4 173 2 9 61 4 7 3rA 2 1 13 1 34 1 1 1 4 7 30 1 3 140 10 30 30 0 0 0rrr 3 2 10 1 4 7 30 1 3 140 0 0 1430 0 0 0r B A B则 我 们 称 矩 阵 B为 一 个 行 阶 梯 形 矩 阵 ， 它 具 有 下 列 特 征 ：

27、（ 1） 元 素 全 为 零 的 行 （ 简 称 为 零 行 ） 位 于 非 零 行 的下 方 ；（ 2） 各 非 零 行 的 首 非 零 元 （ 即 从 左 至 右 的 第 一 个 不为 零 的 元 素 ） 的 列 标 随 着 行 的 增 大 而 严 格 增 大 （ 即 首非 零 元 的 列 标 一 定 不 小 于 行 标 ） . 返 回 上 一 页 下 一 页 对 矩 阵 B再 作 初 等 行 变 换 ：13 143 1 4 7 30 1 3 140 0 0 10 0 0 0rB 1 2 4 1 0 5 590 1 3 140 0 0 10 0 0 0r 返 回 上 一 页 下 一 页 1

28、 3 592 3 14 1 0 5 00 1 3 0 .0 0 0 10 0 0 0rr C , .B C A C则 有 从 而 我 们 称 矩 阵 C为 行 最 简 形 矩 阵 ， 它 具 有 下 列 特 征 ： 返 回 上 一 页 下 一 页 （ 1） 是 行 阶 梯 形 矩 阵（ 2） 各 非 零 行 的 首 非 零 元 都 是 1； （ 3） 每 个 首 非 零 元 所 在 列 的 其 余 元 素 都 是 零 . 定理2 任何一个矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进一步化为行最简形矩阵。 定理3 任何一个矩阵都有等价标准形，矩阵A与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准

29、形. 定 义 12 由 单 位 矩 阵 E经 过 一 次 初 等 变 换 得 到 的 矩 阵称 为 初 等 矩 阵 。初 等 矩 阵 都 是 方 阵 ， 交 换 E的 第 i行 与 第 j行 （ 或 者 交换 E的 第 i列 与 第 j列 ） 的 位 置 ， 得 , 第 （ i） 行 1101 11 1011 第 （ j） 行E (i ,j) 返 回 上 一 页 下 一 页 用 常 数 k乘 E的 第 i行（ 或 i列 ） ， 得把 E的 第 j行 的 k倍 加到 第 i行 （ 或 第 i列 的 k倍 加 到 第 j列 ） 得 行 ；第 i1111)( kkiE 行第 行第 ji 1111)(

30、 kkjiE 返 回 上 一 页 下 一 页 这 三 类 矩 阵 就 是 全 部 的 初 等 矩 阵 ， 有 E(i,j)-1 E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 定 理 4 对 一 个 m n矩 阵 A作 一 初 等 行 变 换 就 相 当 于 在A的 左 边 乘 上 相 应 的 m m初 等 矩 阵 ； 对 A作 一 初 等 列变 换 就 相 当 于 在 A的 右 边 乘 上 相 应 的 n n初 等 矩 阵 。 detE(i,j) -1detE(i(k)=idetE(i+j(k)=1AjiEBBA jir ）（ 则 若 ,),( Ak

31、iEBBA kir ）（ 则 若 )()( AkijEBBA kijr ）（ 则 若 )()( 返 回 上 一 页 下 一 页 推 论 1 矩 阵 A与 B等 价 的 充 分 必 要 条 件 是 有 初 等 方 阵P1， P2， ， Ps， Q1， ， Qt使 A P1P2PsBQ1Qt ）（ 则 若 jiAEBBA jic ,),( ）（ 则 若 )()( kiAEBBA kiC ）（ 则 若 )()( kijAEBBA kijC 返 回 上 一 页 下 一 页 定理 5 设A是n阶方阵，则下面的命题的等价的：（ 4） A可 经 过 一 系 列 初 等 行 （ 列 ） 变 换 化 为 E.

32、6 用 初 等 变 换 求 逆 矩 阵（ 1） A是 可 逆 的 ； 返 回 上 一 页 下 一 页（ 2） 是 n阶 单 位 矩 阵 ； ,A E E（ 3） 存 在 n阶 初 等 矩 阵 ， 使 1 2, , , sP P P1 2 ;sA PP P 设 A为 可 逆 矩 阵 ， 由 推 论 必 存 在 有 限 个 初 等 方 阵 P1,P2Pm， 使 得 P1P2PmA E （ ） 所 以 P1P2PmE A-1 （ 2） （ ） 表 明 E经 过 同 样 有 限 次 初 等 行 变 换 变 成 A （ ） 表 明 A经 过 有 限 次 初 等 行 变 换 变 成 E故 可 用 初 等

33、行 变 换 求 逆 阵 ： 即 初 等 行 变 换 1 AEEA 返 回 上 一 页 下 一 页 例 20 设 012 411 210A 求 A-1。 解 对 (AE)作 初 等 行 变 换 100 010 001012 411 210)( EA 100012 001210 001411)2,1(r 123200 001210 010411)3(23(r 120830 001210 010411)2(13(r 21123100 124010 112001)1(21( )2(31( )1(32(rrr 返 回 上 一 页 下 一 页 21123 124 1121A 21123100 124010

34、 112001)( EA补 充 ： 也 可 用 初 等 列 变 换 求 逆 阵 ： 1AEEA 初 等 列 变 换 返 回 上 一 页 下 一 页 返 回 上 一 页 下 一 页 7 矩 阵 的 秩定义13 在一个 矩阵A中 任 意 选 定 k行 和 k列 ，位 于 这 些 选 定 的 行 和 列 的 交 叉 位 置 的 个 元 素 按 原来 的 次 序 所 组 成 的 k阶 行 列 式 ， 称 为 A的 一 个 k阶 子 式 . s n 2k定义14 设A为 矩 阵 ， 如 果 至 少 存 在 A的 一 个 r阶 子 式 不 为 0， 而 A的 所 有 阶 子 式 （ 如 果 存 在 的话

35、） 都 为 零 ， 则 称 数 r为 矩 阵 A的 秩 ， 记 为 .并 规定 零 矩 阵 的 秩 等 于 0.s n r+1 R A 返 回 上 一 页 下 一 页 1 2 32 3 54 7 1A 例 22 求 矩 阵 的 秩 .解 在 A中 ， 存 在 一 个 2阶 子 式 1 3 0,2 5 又 A的 3阶 子 式 只 有 一 个 ， 且 A1 2 32 3 5 0.4 7 1A 故 2.R A 下 一 页上 一 页返 回 2 1 0 3 20 3 1 2 50 0 0 4 30 0 0 0 0A 例 24 求 矩 阵 的 秩 . 解 A是 一 个 行 阶 梯 形 矩 阵 ， 其 非 零 行 只 有 3行 ， 故知 A的 所 有 4阶 子 式 全 为 零 .此 外 ， A存 在 一 个 3阶 子 式 2 1 30 3 2 24 0. 0 0 4A 所 以 . 3R A 下 一 页上 一 页返 回 定理6 两个同型矩阵等价的充分必要条件是：它们的秩相等. 例 26 设 ,已 知 ， 求 与 的 值 . 1 1 1 23 1 25 3 6A 2R A 解 2 1 33 1 51 1 1 2 1 1 1 23 1 2 0 3 4 45 3 6 0 8 5 4rrA 3 2 1 1 1 1 20 3 4 4 .0 5 1 0r 2R A 5, 1.